数学建模：灰色预测模型-Toy模板网

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数学建模：灰色预测模型

灰色预测

三个基本方法：

累加数列：计算一阶累加生成数列

$x^{(1)}(k)=\sum_{i=1}^kx^{(0)}(i),k=1,2,\cdots,n,$

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累减数列：计算一阶累减生成数列

$x^{(0)}(k)=x^{(1)}(k)-x^{(1)}(k-1),k=2,3,\cdots,n,$
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加权累加：计算一阶等权邻接生成数，图片描述有误，此处计算的是一次累加的加权邻值生成

$z^{(0)}(k)=0.5x^{(1)}(k)+0.5x^{(1)}(k-1),k=2,3,\cdots,n,$

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算法步骤

进行级比检验，检查是否满足建立微分方程的前提条件。

$\lambda(k)=\frac{x^{(0)}(k-1)}{x^{(0)}(k)}$

对原数据做一次累加，计算加权邻值生成数
构造数据矩阵 $B$ ，与数据向量 $Y$

$B~=\left[\begin{array}{ccccc}-\dfrac{1}{2}\big(x^{(1)}\big(1\big)+x^{(1)}\big(&2\big)&\\-\dfrac{1}{2}\big(x^{(1)}\big(2\big)+x^{(1)}\big(&3\big)&\big)&1\\&\vdots&&\vdots\\-\dfrac{1}{2}\big(x^{(1)}\big(n-1\big)+x^{(1)}\big(&n\big)&\big)&\end{array}\right],Y~=\left[\begin{array}{ccc}x^{(0)}\big(&2\big)\\x^{(0)}\big(&3\big)\\\vdots\\x^{(0)}\big(&n\big)\end{array}\right]$

计算 $a$ 与 $b$ 的值

$\hat{u}=(\hat{a},\hat{b})^T=(B^T\cdot B)^{-1}B^TY$

构建模型

$x^{(1)}(t)=(x^{(0)}(1)-\frac ba)e^{-a(t-1)}+\frac ba.$

计算生成模型值 $\hat{x}^{(1)}(k)$ 和模型还原值 $\hat{x}^{(0)}(k)$ 并且带入预测

$\hat{x}^{(0)}(k)=\hat{x}^{(1)}(k)-\hat{x}^{(1)}(k-1)$

检验预测值

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代码实现

%95至04年数据
clc;clear;
data = [174 179 183 189 207 234 220.5 256 270 285];
n = length(data);
 
%% 级比检验通过
check = [];
for k = 2:n
    lambda(k) = data(k-1)/data(k);
    if (exp(-2/(n+1))<lambda(k))&&(lambda(k)<exp(2/(n+1)))
        check(end+1) = 1;
    else check(end+1) = 0;
    end
end 
 
%% 计算累加数列
X1 = cumsum(data);

%% 计算加权
for i=2:n
    z(i) = 0.5*(X1(i-1)+X1(i));
end
 
%% 数据矩阵B及数据向量Y
Y = data(2:n)';
B = [-z(2:n)',ones(n-1,1)];
u = (B'*B)\B'*Y;
% u = B\Y; 表示B的逆 乘以 Y
a = u(1,1);
b = u(2,1);
 
%% 构造模型并且带入预测值
% 生成预测一次累加数列
f_X1 = [];
f_X0 = [];
for k=1:n-1
    f_X1(1)=data(1);
    f_X1(k+1) = (data(1)-b/a)*exp(-a*k) + b/a;
end
% 前缀和反推原始数据
for k=2:n
    f_X0(1)=data(1);
    f_X0(k)=f_X1(k)-f_X1(k-1);
end
 
%% 残差检验 与 级比偏差值检验
for k=1:n-1
    sigma(k)=abs((data(k)-f_X0(k))/data(k));
    rho(k+1)=abs(1-((1-0.5*a)*lambda(k+1))/(1+0.5*a));
end

%% 预测下n个值
test = input('nums:');
nums = 5;
n=n+test;
f_f_X1 = [];
f_f_X0 = [];
for k=1:n-1
    f_f_X1(1)=data(1);
    f_f_X1(k+1) = (data(1)-b/a)*exp(-a*k) + b/a;
end
for k=2:n
    f_f_X0(1)=data(1);
    f_f_X0(k)=f_f_X1(k)-f_f_X1(k-1);
end

%% 绘图
xAxis = 1995:2004;
xAxisPredict = 1995:1995+n-1; 
h = plot(xAxis,data,'o',xAxisPredict,f_f_X0,'-');
set(gca, 'XScale', 'log', 'YScale', 'log');
set(h,'LineWidth',1.5);