一、线性规划
1.1线性规划的实例与定义
1.2线性规划的Matlab标准形式
线性规划的目标函数可以是求最大值,也可以是求最小值,约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便,Matlab中规定线性规划的标准形式为
其中c和x为n维列向量,A,Aeq为适当维数的矩阵,b、beq为适当维数的列向量。
1.3线性规划问题的解的概念
一般线性规划问题的标准型为
可行解:
满足约束条件(4)的解x=(x1,x2,…,xn),称为线性规划问题的可行解,使目标函数(3)达到最大值的可行解叫最优解
可行域:
所有可行解构成的集合称为问题的可行域,记为R。
1.4线性规划的图解法
从上面的图解过程可以看出以下断言:
①可行域R可能会出现多种情况。R可能是空集也可能是非空集合,当R非空时,它必是若干个半平面的交集(除非遇到空间维数的退化)。R既可能是有界区域,也可能是无界区域。
②在R非空时,线性规划既可以存在有限最优解,也可以不存在有限最优解(其目标函数值无界)
③若线性规划存在有限最优解,则必可找到具有最优目标函数值的可行域 R 的“顶点”。
1.5求解线性规划的Matlab解法
基本函数形式为linprog(c,A,b),它的返回值是向量x的值。还有其他的一些函数调用形式(在Matlab指令窗口运行help linprog可以看到所有的函数调用形式),如:
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)
这里fval返回目标函数的值,LB和UB分别是变量x的下界和上界,x0是x的初始值,OPTIONS是控制参数。
1.6可以转化为线性规划的问题
二、运输问题(产销平衡)
三、指派问题
3.1指派问题的数学模型
3.2求解指派问题的匈牙利算法
四、对偶理论与灵敏度分析
4.1原始问题和对偶问题
考虑下列一对线性规划模型:
4.2 对偶问题的基本性质
1、对称性:对偶问题的对偶是原问题
2、弱对偶性:若x是原问题的可行解,y是的对偶问题的可行解。则存在
3、无界性:若原问题(对偶问题)为无界解,则其对偶问题(原问题)无可行解。
4、可行解是最优解时的性质:设x是原问题 的可行解,y是对偶问题的可行解,当,x、y是最优解。
5、对偶定理:若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解 ;且目标函数值相同。
6、互补松弛性:若x、y分别是原问题和对偶问题的最优解,则
4.3灵敏度分析
4.4参数线性规划
五、投资的收益和风险
5.1问题提出
5.2符号规定和基本假设
5.3模型的分析与建立
5.4模型的求解
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5.5结果分析
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