数学建模：模糊综合评价分析-Toy模板网

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数学建模：模糊综合评价分析

综合评价分析

构成综合评价类问题的五个要素：

被评价对象
评价指标
权重系数
综合评价模型
评价者

综合评价的一般步骤：

确定综合评价的目的（分类？排序？实现程度）
建立评价指标体系
对指标数据进行预处理：一致化和无量纲化处理
确定各个指标的权重
求综合评价值

常用评价方法

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一级模糊综合评价

评价对象为 $X$ ，其具有评价指标集: $\left \{u_1,u_2,...u_m \right \}$ , 具有评价等级集：V = $\left \{v_1,v_2 , ... v_n \right\}$
1. $m$ 表示指标（因素） $n$ 表示评语的总个数。
对 U 中每一指标根据评判集中的等级指标进行模糊评判，得到相对偏差模糊矩阵 $R$ ，其中 $i, j$ 表示第 $i$ 个指标处于 $j$ 评语的隶属度是 $R_{ij}$

$R=\begin{bmatrix}r_{11},r_{12},\cdots,r_{1n}\\r_{21},r_{22},\cdots,r_{2n}\\r_{m1},r_{m2},\cdots,r_{mn}\end{bmatrix}$

自此 $\left \{ U,V,R \right \}$ 构成一个模糊综合评价模型，然后确定各指标的权系数向量，记为 : $A$

$A=\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}$

利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价结果，合成评价结果 $B$ ：

运算为模糊乘法,逻辑乘∧（取最小）和逻辑加∨（取最大）

$A\cdot R$

归一化（标准化）后，得到：

$B=\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{m}\}$

因此便可以根据 $B$ 来判断评价结果。

如何得到相对偏差模糊矩阵 $R$ ？

相对偏差评价法：
1. 虚拟化理想方案 $u$
  
  $u{=}(u_1,u_2,\cdots,u_n)\\\\{u_i=\begin{cases}\max_j\left\{a_{ij}\right\},&a_{ij}\text{为效益型指标}\\\min_j\left\{a_{ij}\right\},&a_{ij}\text{为成本型指标}&\end{cases}}$
2. 建立相对偏差模糊矩阵 $R$ ：
  
  $\begin{gathered}\text{R} =\left(\begin{array}{cccc}r_{11}&r_{12}&\cdots&r_{1n}\\r_{21}&r_{22}&\cdots&r_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\r_{m1}&r_{m2}&\cdots&r_{mn}\end{array}\right) \\\\\boldsymbol{r_{ij}} =\frac{\left|a_{ij}-u_i\right|}{\max_j\left\{a_{ij}\right\}-\min_j\left\{a_{ij}\right\}} \end{gathered}$
相对优属度评价法：
1. 使用如下公式来计算相对偏差模糊矩阵 $R$ ：
  
  $\begin{aligned}r_{ij}&=\begin{cases}a_{ij}\Big/\max_j\left\{a_{ij}\right\},a_{ij}\text{为效益型}\\\min_j\left\{a_{ij}\right\}\Big/a_{ij},a_{ij}\text{为成本型}\\\min_j\left|a_{ij}-\alpha_j\right|\Big/a_{ij}-\alpha_j\Big|,a_{ij}\text{为固定型}&\end{cases}\end{aligned}$

如何得到指标权系数向量 $A$ ？

变异系数法。

数学建模：变异系数法 | HugeYlh

得到第 $i$ 项指标的均值与方差

$\overline{x_i}=\frac1n\sum_{j=1}^na_{ij},s_i^2=\frac1{n-1}\sum_{j=1}^n\left(a_{ij}-\overline{x_i}\right)^2 \\\\\boldsymbol{\nu_{i}}=\boldsymbol{s_{i}}/\left|\overline{\boldsymbol{x_{i}}}\right|\boldsymbol{}$

得到权重值 $a_i$

$a_i=\nu_i/\sum\nu_i$

熵权法

数学建模：熵权法 | HugeYlh

计算每一个指标所占全部指标的比例，得到变异值矩阵

$p_{ij}=\frac{Y_{\ddot{y}}}{\sum_{i=1}^mY_{ij}},i=1,\cdots,m,j=1,\cdots,n$

计算信息熵

$E_j=-\ln(m)^{-1}\sum_{i=1}^mp_{ij}\ln p_{ij}$
获取各个指标的权重

综合代码

使用相对偏差评价法求得模糊矩阵 $R$ ：

clc;clear;
% 5行 7列 表示5个评价对象，6项指标
X=[1000	120	5000	1	50	1.5	1
700	60	4000	2	40	2	2
900	60	7000	1	70	1	4
800	70	8000	1.5	40	0.5	6
800	80	4000	2	30	2	5];
% 其中第一列与最后一列指标为效益性（越大越好），其他指标为成本型（越小越好）
[m,n]=size(X);

%% 计算相对偏差模糊矩阵R
maxA=max(X); 
minA=min(X);
G=maxA-min(X);%最大值减去最小值
A1=max(X(:,1));%A1为效益型
A2=min(X(:,2:n-1));%A2~A6为成本型
A3=max(X(:,7));%A7为效益型
u=[A1,A2,A3]; %得到u然后带入到求 每个r_{ij} 的公式
%% 
R = X;
R = (abs(X-repmat(u,m,1)))./G;

%% 利用变异系数计算权向量A
x=mean(X);
s=std(X);
v=s./x;
vsum=sum(v);
A = v./vsum;

%% B为m个评价结果
B=R*(A');

使用相对优属度来求得模糊矩阵 $R$

$R_{ij} = \frac {a_{ij}}{max_{j}(a_{ij})}$

%%
clc;clear;close all;
A=[58 38 14 8 57 10
50 45 11 9 52 12
42 47 8 12 50 15
45 42 12 15 46 16
47 44 13 10 49 13];
[m,n]=size(A);
h=max(A);%最大值
H=repmat(h,m,1);
Mij=A./H;% 得到模糊关系矩阵Mij 相对优属度 

%% 熵权法
% 得到变异值矩阵
Qij = Mij./repmat(sum(Mij),m,1);

% 计算各指标的信息熵
for j=1:n
   % 计算每个指标的信息熵
   fj(j)=-1/log(m)*sum(Qij(:,j).*log(Qij(:,j)));
end

% 计算各指标权重
v=(1-fj)./sum((1-fj));

B=Qij*v';%最终评价结果
disp(B)%显示结果