算法[动态规划]---买卖股票最佳时机

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了算法[动态规划]---买卖股票最佳时机。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。


1、题目:

给你一个整数数组 prices,其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天,你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持一股股票。你也可以先购买,然后在同一天出售。
返回你能获得的最大利润 。


2、分析特点:

  • 题目要求:在任何时候最多只能持一股股票 ==> 考虑到「不能同时参与多笔交易」,因此每天交易结束后只可能存在手里 有一支股票或者没有股票的状态
  • 有和没有股票的状态 ==> 动态规划

定义状态dp[0] 表示第天交易完后手里没有股票的最大利润,d[1] 表示第天交易完后手里持有一支股票的最大利润(从0开始)。

考虑dp[i][0] 的转移方程,如果这一天交易完后手里没有股票,那么可能的转移状态为前一天已经没有股票,即 dp[i-1][0],
或者前一天结束的时候手里持有一支股票,即 dp[i-1][1],这时候我们要将其卖出,并获得 prices[i] 的收益。
因此为了收益最大化,我们列出如下的转移方程:

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再来考虑dp[i][1],按照同样的方式考虑转移状态,那么可能的转移状态为前一天已经持有一支股票,即 dp[i-1][1],或者前一天结束时还没有股票,即 dp[i-1][0],这时候我们要将其买入,并减少prices[i]的收益。可以列出如下的转移方程:

算法[动态规划]---买卖股票最佳时机,算法,动态规划,状态,转移方程,数据结构,java

对于初始状态,根据状态定义我们可以知道第0天交易结束的时候 dp[0][0] =0,dp[0][1]=-prices0。
因此,我们只要从前往后依次计算状态即可。由于全部交易结束后,持有股票的收益一定低于不持有股票的收益,因此这时候 dp[n-1][0] 的收益必然是大于 dp[n-1][0] 的,最后的答案即为dp[n-1][0]

3、特点:

本题动态规划法的思路解析:

因为,从最后一天往前看,分成四种情况:

A:前一天有股票,并卖出 – 剩余股票数0

B:前一天没有股票,并不买入 – 剩余股票数0

C:前一天有股票,并不买出 – 剩余股票数1

D:前一天没有股票,并买入 – 剩余股票数1

所以:

  • 当剩余股票数0时,最大的利润是max(A, B)
  • 当剩余股票数1时,最大的利润是max(C, D)

4、代码:

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
        }
        return dp[n - 1][0];
    }
}

注意到上面的状态转移方程中,每一天的状态只与前一天的状态有关,而与更早的状态都无关,因此我们不必存储这些无关的状态,只需要将 dp[i-1][0]和dp[i-1][0] 存放在两个变量中,通过它们计算出dp[i][0] 和 dp[i][1] 并存回对应的变量,以便于第 i+1 天的状态转移即可。

4、复杂度分析:

  • 时间复杂度:O(n),其中 nnn 为数组的长度。一共有 2n 个状态,每次状态转移的时间复杂度为 O(1),因此时间复杂度为 O(2n)=O(n)。
  • 空间复杂度:O(n)。我们需要开辟 O(n) 空间存储动态规划中的所有状态。如果使用空间优化,空间复杂度可以优化至 O(1)。

5、总结:

本题动态规划法的思路解析---有股票和没股票结合买入卖出的情况考虑状态

因为,从最后一天往前看,分成四种情况:

A:前一天有股票,并卖出 – 剩余股票数0

B:前一天没有股票,并不买入 – 剩余股票数0

C:前一天有股票,并不买出 – 剩余股票数1

D:前一天没有股票,并买入 – 剩余股票数1

所以:

  • 当剩余股票数0时,最大的利润是max(A, B)
  • 当剩余股票数1时,最大的利润是max(C, D)




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