高等数学：概率论（二）

随机变量

设随机实验E的样本空间为 $\Omega$ ，X为定义于样本空间$\Omega$上的函数，对任意的 $w\in \Omega$，总存在唯一确定的的 $X(w)$ 与之对应，称$X(w)$为随机变量。

随机变量的分布函数 设 X 为随机变量, 对任意的实数 x, 称函数 F ( x ) = P { X ⩽ x } = P { X ∈ ( − ∞ , x ] } F(x)=P\{X \leqslant x\}=P\{X \in(-\infty, x]\} F(x)=P{X⩽x}=P{X∈(−∞,x]}为随机变量 X 的分布函数.

分布函数性质：

1. $0⩽F(x)⩽1$
2. $F(x)$ 是 x 的单调不减函数;
3. $F(x)$ 关于x右连续;
4. $F(-\infty )=0,F(+\infty )=1$

设随机变量 X 的分布函数为 F(x), 则
( 1 ) P { X < a } = F ( a − 0 ) ; ( 2 ) P { a < X ⩽ b } = P { X ⩽ b } − P { X ⩽ a } = F ( b ) − F ( a ) ; ( 3 ) P { a ⩽ X < b } = P { X < b } − P { X < a } = F ( b − 0 ) − F ( a − 0 ) ; ( 4 ) P { a ⩽ X ⩽ b } = P { X ⩽ b } − P { X < a } = F ( b ) − F ( a − 0 ) ; ( 5 ) P { a < X < b } = P { X < b } − P { X ⩽ a } = F ( b − 0 ) − F ( a ) ; ( 6 ) P { X = a } = P { X ⩽ a } − P { X < a } = F ( a ) − F ( a − 0 ) . (1) P\{X<a\}=F(a-0); \\ (2) P\{a<X \leqslant b\}=P\{X \leqslant b\}-P\{X \leqslant a\}=F(b)-F(a); \\ (3) P\{a \leqslant X<b\}=P\{X<b\}-P\{X<a\}=F(b-0)-F(a-0); \\ (4) P\{a \leqslant X \leqslant b\}=P\{X \leqslant b\}-P\{X<a\}=F(b)-F(a-0); \\ (5) P\{a<X<b\}=P\{X<b\}-P\{X \leqslant a\}=F(b-0)-F(a); \\ (6) P\{X=a\}=P\{X \leqslant a\}-P\{X<a\}=F(a)-F(a-0). (1)P{X<a}=F(a−0);(2)P{a<X⩽b}=P{X⩽b}−P{X⩽a}=F(b)−F(a);(3)P{a⩽X<b}=P{X<b}−P{X<a}=F(b−0)−F(a−0);(4)P{a⩽X⩽b}=P{X⩽b}−P{X<a}=F(b)−F(a−0);(5)P{a<X<b}=P{X<b}−P{X⩽a}=F(b−0)−F(a);(6)P{X=a}=P{X⩽a}−P{X<a}=F(a)−F(a−0).

随机变量类型及分布

1.离散型随机变量及其分布律

设X为随机变量，若X的可能取值是有限个或可列个，称X为离散型随机变量

设离散型随机变量X的可能取值为 $x_i(i=1,\mathrm{2..})$,称其对应的概率 P { X = x i } = p i P\left\{ X=x_{i} \right\}=p_{i} P{X=xi​}=pi​为随机变量X的分布律

离散型随机变量的分布函数为阶梯函数，且间断点即为随机变量X的可能取值
0-1分布

$X\sim B(1,p)$随机变量X的可能取值为0和1，且其概率为 P { X = 1 } = p P\left\{ X=1 \right\}{}=p P{X=1}=p ， P { X = 0 } = 1 − p P\left\{ X=0 \right\}{}=1-p P{X=0}=1−p

二项分布（n重伯努利分布）
$$X\sim B(n,p)P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$
泊松分布

设离散型随机变量X的分布律为 P { X = k } = λ k k ! e − λ P\left\{ X=k \right\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} P{X=k}=k!λk​e−λ 称X服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X\sim P(\lambda )$

几何分布

设离散型随机变量X的分布律为 P { X = k } = p ( 1 − p ) k − 1 P\left\{ X=k \right\}=p(1-p)^{k-1} P{X=k}=p(1−p)k−1称随机变量 X 服从几何分布,记为 $X\sim G(p)$

设伯努利试验两结种可能拈果为 A 和 $\bar{A}$ , 其中 $P(A)=p(0<p<1)$ , 随机变量 X 表示实验过程中 A 首次发生时试验的次数.

超几何分布
P { X = k } = C M k ⋅ C N − M n − k C N n , 记为 X ∼ H ( n , M , N ) P\{X=k\}=\frac{\mathrm{C}_{M}^{k} \cdot \mathrm{C}_{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_{N}^{n}} , 记为 X \sim H(n, M, N) P{X=k}=CNn​CMk​⋅CN−Mn−k​​,记为X∼H(n,M,N)

2.连续型随机变量及概率密度函数

设随机变量 X 的分布函数为 F(x), 若存在非负、可积的函数 f(x), 使得对任意实数 x, 有
$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)\mathrm{d}t$$
称 X 为连续型随机变量,函数 f(x) 称为随机变量 X 的概率密度函数或概率密度.

连续型随机变量的密度函数满足:
$$\begin{gathered} (1)f(x)⩾0; \\ (2){\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=1; \end{gathered}$$ 设 X 为连续型随机变量, 其分布函数为
$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)\mathrm{d}t$$ 则 $F(x)$ 为连续函数, 但不一定可导;（密度函数连续，分布函数才可导）

(4) 连续型随机变量在任一点处的概率为 0 ;

均匀分布

若随机变量X的概率密度函数为， $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a⩽x⩽b,\\ 0,& \text{ 其他, }\end{array}$$
称随机变量 X 在区间 (a, b) 内服从均匀分布, 记为 X~ U(a, b). 其分布函数为 $$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a⩽x<b\\ 1,& x⩾b\end{array}$$
指数分布

若随机变量X的概率密度函数为KaTeX parse error: Expected group as argument to '\right' at end of input: …lambda>0)\right

称随机变量 X 服从参数为 \lambda 的指数分布, 记为 X~ E( \lambda ),其分布函数为 F(x)= \begin{cases}0, & x<0 \ 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0\end{cases}

对于指数分布， P{X>a+b \mid X>a}=P{X>b}

正态分布

若随机变量X的概率密度函数为 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{{-\frac{(x-\mu)}{2}}{2 \sigma^{2}}}(-\infty<x<+\infty)

称随机变量 X 服从正太分布, 记为 X \sim N(\mu, \sigma^2) ， P{X \leqslant \mu}=P{X>\mu}=\frac{1}{2}

若X服从标准正态分布， \begin{gathered} \Phi(0)=\frac{1}{2} \ \Phi(-a)=1-\Phi(a) \end{gathered}文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-708729.html

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