随机变量
设随机实验E的样本空间为 Ω \Omega Ω ,X为定义于样本空间 Ω \Omega Ω上的函数,对任意的 w ∈ Ω w\in \Omega w∈Ω,总存在唯一确定的的 X ( w ) X(w) X(w) 与之对应,称 X ( w ) X(w) X(w)为随机变量。
随机变量的分布函数 设 X 为随机变量, 对任意的实数 x, 称函数 F ( x ) = P { X ⩽ x } = P { X ∈ ( − ∞ , x ] } F(x)=P\{X \leqslant x\}=P\{X \in(-\infty, x]\} F(x)=P{X⩽x}=P{X∈(−∞,x]}为随机变量 X 的分布函数.
分布函数性质:
- 0 ⩽ F ( x ) ⩽ 1 0 \leqslant F(x) \leqslant 1 0⩽F(x)⩽1
- F ( x ) F(x) F(x) 是 x 的单调不减函数;
- F ( x ) F(x) F(x) 关于x右连续;
- F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 F(-\infty)=0, F(+\infty)=1 F(−∞)=0,F(+∞)=1
设随机变量 X 的分布函数为 F(x), 则
(
1
)
P
{
X
<
a
}
=
F
(
a
−
0
)
;
(
2
)
P
{
a
<
X
⩽
b
}
=
P
{
X
⩽
b
}
−
P
{
X
⩽
a
}
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
;
(
3
)
P
{
a
⩽
X
<
b
}
=
P
{
X
<
b
}
−
P
{
X
<
a
}
=
F
(
b
−
0
)
−
F
(
a
−
0
)
;
(
4
)
P
{
a
⩽
X
⩽
b
}
=
P
{
X
⩽
b
}
−
P
{
X
<
a
}
=
F
(
b
)
−
F
(
a
−
0
)
;
(
5
)
P
{
a
<
X
<
b
}
=
P
{
X
<
b
}
−
P
{
X
⩽
a
}
=
F
(
b
−
0
)
−
F
(
a
)
;
(
6
)
P
{
X
=
a
}
=
P
{
X
⩽
a
}
−
P
{
X
<
a
}
=
F
(
a
)
−
F
(
a
−
0
)
.
(1) P\{X<a\}=F(a-0); \\ (2) P\{a<X \leqslant b\}=P\{X \leqslant b\}-P\{X \leqslant a\}=F(b)-F(a); \\ (3) P\{a \leqslant X<b\}=P\{X<b\}-P\{X<a\}=F(b-0)-F(a-0); \\ (4) P\{a \leqslant X \leqslant b\}=P\{X \leqslant b\}-P\{X<a\}=F(b)-F(a-0); \\ (5) P\{a<X<b\}=P\{X<b\}-P\{X \leqslant a\}=F(b-0)-F(a); \\ (6) P\{X=a\}=P\{X \leqslant a\}-P\{X<a\}=F(a)-F(a-0).
(1)P{X<a}=F(a−0);(2)P{a<X⩽b}=P{X⩽b}−P{X⩽a}=F(b)−F(a);(3)P{a⩽X<b}=P{X<b}−P{X<a}=F(b−0)−F(a−0);(4)P{a⩽X⩽b}=P{X⩽b}−P{X<a}=F(b)−F(a−0);(5)P{a<X<b}=P{X<b}−P{X⩽a}=F(b−0)−F(a);(6)P{X=a}=P{X⩽a}−P{X<a}=F(a)−F(a−0).
随机变量类型及分布
1.离散型随机变量及其分布律
设X为随机变量,若X的可能取值是有限个或可列个,称X为离散型随机变量
设离散型随机变量X的可能取值为 x i ( i = 1 , 2.. ) x_{i}(i=1,2..) xi(i=1,2..),称其对应的概率 P { X = x i } = p i P\left\{ X=x_{i} \right\}=p_{i} P{X=xi}=pi为随机变量X的分布律
离散型随机变量的分布函数为阶梯函数,且间断点即为随机变量X的可能取值
0-1分布
X ∼ B ( 1 , p ) X \sim B(1,p) X∼B(1,p)随机变量X的可能取值为0和1,且其概率为 P { X = 1 } = p P\left\{ X=1 \right\}{}=p P{X=1}=p , P { X = 0 } = 1 − p P\left\{ X=0 \right\}{}=1-p P{X=0}=1−p
二项分布(n重伯努利分布)
X
∼
B
(
n
,
p
)
P
(
X
=
k
)
=
C
n
k
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
X \sim B(n,p) P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}
X∼B(n,p)P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k
泊松分布
设离散型随机变量X的分布律为 P { X = k } = λ k k ! e − λ P\left\{ X=k \right\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} P{X=k}=k!λke−λ 称X服从参数为 λ \lambda λ 的泊松分布,记为 X ∼ P ( λ ) X \sim P(\lambda) X∼P(λ)
几何分布
设离散型随机变量X的分布律为 P { X = k } = p ( 1 − p ) k − 1 P\left\{ X=k \right\}=p(1-p)^{k-1} P{X=k}=p(1−p)k−1称随机变量 X 服从几何分布,记为 X ∼ G ( p ) X \sim G(p) X∼G(p)
设伯努利试验两结种可能拈果为 A 和 A ˉ \bar{A} Aˉ , 其中 P ( A ) = p ( 0 < p < 1 ) P(A)=p(0<p<1) P(A)=p(0<p<1) , 随机变量 X 表示实验过程中 A 首次发生时试验的次数.
超几何分布
P
{
X
=
k
}
=
C
M
k
⋅
C
N
−
M
n
−
k
C
N
n
,
记为
X
∼
H
(
n
,
M
,
N
)
P\{X=k\}=\frac{\mathrm{C}_{M}^{k} \cdot \mathrm{C}_{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_{N}^{n}} , 记为 X \sim H(n, M, N)
P{X=k}=CNnCMk⋅CN−Mn−k,记为X∼H(n,M,N)
2.连续型随机变量及概率密度函数
设随机变量 X 的分布函数为 F(x), 若存在非负、可积的函数 f(x), 使得对任意实数 x, 有
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d} t
F(x)=∫−∞xf(t)dt
称 X 为连续型随机变量,函数 f(x) 称为随机变量 X 的概率密度函数或概率密度.
连续型随机变量的密度函数满足:
(
1
)
f
(
x
)
⩾
0
;
(
2
)
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
;
(1) f(x) \geqslant 0; \\(2) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=1;
(1)f(x)⩾0;(2)∫−∞+∞f(x)dx=1; 设 X 为连续型随机变量, 其分布函数为
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d} t
F(x)=∫−∞xf(t)dt 则
F
(
x
)
F(x)
F(x) 为连续函数, 但不一定可导;(密度函数连续,分布函数才可导)
(4) 连续型随机变量在任一点处的概率为 0 ;
均匀分布
若随机变量X的概率密度函数为,
f
(
x
)
=
{
1
b
−
a
,
a
⩽
x
⩽
b
,
0
,
其他,
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a}, & a \leqslant x \leqslant b, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
f(x)={b−a1,0,a⩽x⩽b, 其他,
称随机变量 X 在区间 (a, b) 内服从均匀分布, 记为 X~ U(a, b). 其分布函数为
F
(
x
)
=
{
0
,
x
<
a
x
−
a
b
−
a
,
a
⩽
x
<
b
1
,
x
⩾
b
F(x)= \begin{cases}0, & x<a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x<b \\ 1, & x \geqslant b\end{cases}
F(x)=⎩
⎨
⎧0,b−ax−a,1,x<aa⩽x<bx⩾b
指数分布
若随机变量X的概率密度函数为KaTeX parse error: Expected group as argument to '\right' at end of input: …lambda>0)\right
称随机变量 X 服从参数为 \lambda 的指数分布, 记为 X~ E( \lambda ),其分布函数为 F(x)= \begin{cases}0, & x<0 \ 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0\end{cases}
对于指数分布, P{X>a+b \mid X>a}=P{X>b}
正态分布
若随机变量X的概率密度函数为 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}{-\frac{(x-\mu){2}}{2 \sigma^{2}}}(-\infty<x<+\infty)
称随机变量 X 服从正太分布, 记为 X \sim N(\mu, \sigma^2) , P{X \leqslant \mu}=P{X>\mu}=\frac{1}{2}文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-708729.html
若X服从标准正态分布, \begin{gathered} \Phi(0)=\frac{1}{2} \ \Phi(-a)=1-\Phi(a) \end{gathered}文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-708729.html
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