数论——欧几里得算法、裴蜀定理、扩展欧几里得算法
引入
最大公约数
最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd。
一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。\(\pm 1\) 是任意一组整数的公约数；
一组整数的最大公约数，是指所有公约数里面最大的一个。
特殊的，我们定义 \(\gcd(a, 0) = a\)。
最小公倍数
最小公倍数即为 Least Common Multiple，常缩写为 lcm。
一组整数的公倍数，是指同时是这组数中每一个数的倍数的数。\(0\) 是任意一组整数的公倍数；
一组整数的最小公倍数（Least Common Multiple, LCM），是指所有正的公倍数里面，最小的一个数。
互质
如果两个数 \(a\) 和 \(b\) 满足 \(\gcd(a, b) = 1\)，我们称 \(a\) 和 \(b\) 互质，记作 \(a\perp b\)。
欧几里得算法
欧几里得算法（Euclidean algorithm），是求解两个数最大公约数的最常用的算法。
算法思想
\(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\)
具体证明见：OI-Wiki。
代码
int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
因此也有递归写法：
int gcd(int a, int b) {
int tmp;
while (b != 0) tmp = a, a = b, b = tmp % b;
return a;
}
对于 C++14，我们可以使用 中的 __gcd(a,b) 函数来求最大公约数。
时间复杂度
在输入为两个长为 \(n\) 的二进制整数时，欧几里得算法的时间复杂度为 \(O(n)\)；
换句话说，在默认 \(a, b\) 同阶的情况下，时间复杂度为 \(O(\log\max(a, b))\)。
欧几里得算法的最劣时间复杂度情况是 \(\gcd(\operatorname{Fib}_{n + 1}, \operatorname{Fib}_n)\)，其时间复杂度为 \(O(n)\)；
但是，有 \(\gcd(\operatorname{Fib}_{n + 1}, \operatorname{Fib}_n) = \operatorname{Fib}_{\gcd(n + 1, n)}\)。
最小公倍数
计算
\(\gcd(a, b) \times \operatorname{lcm}(a, b) = a \times b\)。
要求两个数的最小公倍数，先求出最大公约数即可。
证明
设 \(a = p_1^{k_{a_1}}p_2^{k_{a_2}} \dots p_s^{k_{a_s}}\)，\(b = p_1^{k_{b_1}}p_2^{k_{b_2}} \dots p_s^{k_{b_s}}\)。
我们发现，对于 \(a\) 和 \(b\) 的情况，二者的最大公约数等于 \(p_1^{\min(k_{a_1}, k_{b_1})}p_2^{\min(k_{a_2}, k_{b_2})} \dots p_s^{\min(k_{a_s}, k_{b_s})}\)。
最小公倍数等于 \(p_1^{\max(k_{a_1}, k_{b_1})}p_2^{\max(k_{a_2}, k_{b_2})} \dots p_s^{\max(k_{a_s}, k_{b_s})}\)。
由于 \(k_a + k_b = \max(k_a, k_b) + \min(k_a, k_b)\)，
所以得到结论是 \(\gcd(a, b) \times \operatorname{lcm}(a, b) = a \times b\)。
裴蜀定理
定义
若 \(a\)、\(b\) 是不全为零的整数，则存在整数 \(x\)、\(y\)，使得 \(ax + by = \gcd(a, b)\)。
推广
若 \(A[1 \sim n]\) 是非零整数序列，则整数序列 \(X[1 \sim n]\) 一定满足：
\(\displaystyle \sum_{i = 1}^n A_iX_i = k \times \gcd(A_1, A_2, \dots, A_n)\)，其中 \(k\) 为正整数。
扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm，EXGCD），常用于求 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 的一组可行解。
算法思路
对于 \(ax + by = \gcd(a, b)\)，考虑与欧几里得算法相似的思路：
| 结论： | |
|---|---|
| 求一组解 \(x'\)、\(y'\)，使得 | \(bx' + (a \bmod b)y' = \gcd(b, a \bmod b)\) |
| （欧几里得定理）\(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\) | \(bx' + (a \bmod b)y' = \gcd(a, b)\) |
| （模运算的定义）\(a \bmod b = a - \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor \times b\) | \(bx' + (a - \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor \times b)y' = \gcd(a, b)\) |
| 整理，得 | \(ay' + b(x' - \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor \times y') = \gcd(a, b)\) |
我们要求一组解，使得 \(ax + by = \gcd(a, b)\)
因此有一组解为 \(\left\{\begin{array}{l} x = y' \\ y = x' - \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor \times y'\end{array}\right.\)
其边界值为 \(b = 0\)，这时有 \(ax = \gcd(a, 0) = a\)，既有 \(x = 1\)；为了方便起见，我们取 \(y = 0\)。
即：若 \(b = 0\)，则取 \(\left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 0\end{array}\right.\)
代码
来自 OI-Wiki：
int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (!b) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - (a / b) * y;
return d;
}
简化后可以写作：
int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (!b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = Exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
特解到通解
假设我们现在求出了一组特解 \(x_0\)、\(y_0\)，使得 \(ax_0 + by_0 = \gcd(a, b)\)
接下来：
可以看出 \(H\) 即是 \(a\) 的倍数，又是 \(b\) 的倍数，
所以 \(H = k \times \operatorname{lcm}(a, b)\)，其中 \(k\) 可以是任意整数。
即：\(\left\{\begin{array}{l} x = x_0 + k \times \dfrac{\operatorname{lcm}(a, b)}{a} \\ y = y_0 + k \times \dfrac{\operatorname{lcm}(a, b)}{b}\end{array}\right.\). 其中 \(k \in \mathbb{Z}\).文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-710173.html
Reference
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