图论——Kruskal 重构树
最大生成树将部分内容倒置即可
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基本信息
- 求解最小生成树
- 时间复杂度:\(O(m \log m)\)
- 更适合稀疏图
算法思想
- 按照边权从小到大排序
- 依次枚举每一条边,如果这一条边两侧不连通,则加入这条边
代码
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const int N = 200010;
int f[N];
struct Edge
{
int a, b, w;
bool operator<(const Edge &W) const { return w < W.w; }
} g[N];
int find(int x) { return x == f[x] ? x : find(f[x]); }
int main()
{
int n = rr, m = rr;
int a, b, w;
for (int i = 0; i < m; ++i)
a = rr, b = rr, w = rr, g[i] = {a, b, w};
sort(g, g + m);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
f[i] = i;
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i < m; ++i)
{
int a = find(g[i].a), b = find(g[i].b), w = g[i].w;
if (a != b)
f[a] = b, res += w, ++cnt;
}
cnt < n - 1 ? printf("impossible\n") : printf("%d\n", res);
return 0;
}
Kruskal 重构树
算法思想
在构建最小生成树的时候,设现在枚举到了一条要加入最小生成树的边 \((u, v, w)\):
则在 Kruskal 重构树中,构建一个点权为 \(w\) 的虚点,编号为 \(t\),同时连边 \((u, t)\)、\((v, t)\)。
主要性质
- 重构树是一棵[二叉树];
- [子节点的点权]小于[父节点的点权](即大根堆);
- 最小生成树上[两点之间的最大边权]等于重构树上[两点之间的最大边权](即为重构树上两点 LCA 的点权)。
结论证明
最小生成树上两点间最大边权等于重构树上两点 LCA 的点权,证明:
- 后加入的边权一定小于先加入的边权,所以重构树一定自上到下点权不减;
- 两点在最小生成树上的路径的所有边一定都在重构树上两点之间;
- 所以两点在最小生成树上之间的最长边权一定是重构树上两点 LCA 的点权。
如图:
其中红色的点表示虚点,中间的数字表示其点权;白色的点表示原有的点。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-712224.html
代码
// INPUT GRAPH
const int N = 2e5 + 10;
const int M = 2e5 + 10;
// NEW GRAPH
const int NN = N + M;
const int MM = M + M;
// 4LCA
const int K = 20;
// NODE, EDGE, QUERY
int n, m, q;
// INPUT GRAPH
struct e
{
int u, v, w;
bool operator<(const e &t) const { return w < t.w; }
} g[M];
// UNOIN
int f[NN];
int find(int x) { return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]); }
// NEW GRAPH
int d[NN], cnt;
int h[NN], e[MM], ne[MM], idx;
// 4LCA
int depth[NN];
int up[NN][K];
// ADD TO NEW GRAPH
inline void _add(int u, int v)
{
e[idx] = v;
ne[idx] = h[u];
h[u] = idx++;
}
void add(int a, int b, int w)
{
d[++cnt] = w;
f[a] = f[b] = cnt;
_add(a, cnt), _add(cnt, a);
_add(b, cnt), _add(cnt, b);
}
// LCA INIT
void init(int u, int fa)
{
depth[u] = depth[fa] + 1;
for (int i = 1; i < K; ++i)
up[u][i] = up[up[u][i - 1]][i - 1];
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int v = e[i];
if (v == fa)
continue;
up[v][0] = u, init(v, u);
}
}
// KRUSKAL
int kruskal()
{
sort(g + 1, g + 1 + m);
for (int i = 1; i <= n * 2; ++i)
f[i] = i;
cnt = n;
memset(h, -1, sizeof h);
int res = 0;
for (int i = 1; i <= m; ++i)
{
int u = find(g[i].u), v = find(g[i].v), &w = g[i].w;
if (u == v)
continue;
res += w, add(u, v, w);
}
init(cnt, 0);
return res;
}
// LCA
int lca(int x, int y)
{
if (depth[x] < depth[y])
swap(x, y);
for (int i = K - 1; i >= 0; --i)
{
if (depth[up[x][i]] >= depth[y])
x = up[x][i];
if (x == y)
return x;
}
for (int i = K - 1; i >= 0; --i)
if (up[x][i] != up[y][i])
x = up[x][i], y = up[y][i];
return up[x][0];
}
int main()
{
n = rr, m = rr;
int a, b, w;
for (int i = 1; i <= m; ++i)
a = rr, b = rr, w = rr, g[i] = {a, b, w};
q = rr;
int res = kruskal();
while (q--)
printf("%d\n", d[lca(rr, rr)]);
return 0;
}
Reference
[1] https://www.luogu.com.cn/blog/lizbaka/kruskal-chong-gou-shu
[2] https://blog.csdn.net/m0_61735576/article/details/124804973文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-712224.html
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