性质 1 设 n n n 阶矩阵 A = ( a i j ) \boldsymbol{A} = (a_{ij}) A=(aij) 的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn，则 λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯+ann。
证明 不妨设矩阵 A \boldsymbol{A} A 的特征多项式为
f ( λ ) = ∣ A − λ E ∣ = ∣ a 11 − λ a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 − λ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n − λ ∣ = k 0 + k 1 λ + ⋯ k n λ n (1) f(\lambda) = |\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}| = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \\ \end{vmatrix} = k_0 + k_1 \lambda + \cdots k_n \lambda^n \tag{1} f(λ)=∣A−λE∣= a11−λa21⋮an1a12a22−λ⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann−λ =k0+k1λ+⋯knλn(1)
因为矩阵 A \boldsymbol{A} A 的特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn 是特征方程 f ( λ ) = 0 f(\lambda) = 0 f(λ)=0 的 n n n 个解，所以上式 ( 1 ) (1) (1) 可以写成
f ( λ ) = ( λ 1 − λ ) ( λ 2 − λ ) ⋯ ( λ n − λ ) (2) f(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda) \tag{2} f(λ)=(λ1−λ)(λ2−λ)⋯(λn−λ)(2)
根据韦达定理可知，上式 ( 2 ) (2) (2) 中 λ n − 1 \lambda^{n-1} λn−1 的系数 k n − 1 = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n k_{n-1} = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n kn−1=λ1+λ2+⋯+λn。因为在行列式 ∣ A − λ E ∣ |\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}| ∣A−λE∣ 中，除主对角线对应的项以外，其他项展开后关于 λ \lambda λ 的最高项均小于等于 n − 2 n-2 n−2 次；所以，若要得到 λ n − 1 \lambda^{n-1} λn−1 项，只能通过主对角线对应的项得到。主对角线对应的项为
( a 11 − λ ) ( a 22 − λ ) ⋯ ( a n n − λ ) (3) (a_{11} - \lambda) (a_{22} - \lambda) \cdots (a_{nn} - \lambda) \tag{3} (a11−λ)(a22−λ)⋯(ann−λ)(3)
因为上式 ( 3 ) (3) (3) 中 λ n − 1 \lambda^{n-1} λn−1 的系数即式 ( 1 ) (1) (1) 中 λ n − 1 \lambda^{n-1} λn−1 的系数 k n − 1 k_{n-1} kn−1，根据韦达定理，有 k n − 1 = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n k_{n-1} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} kn−1=a11+a22+⋯+ann。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-713257.html综上所述，有
λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = k n − 1 = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = k_{n-1} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} λ1+λ2+⋯+λn=kn−1=a11+a22+⋯+ann
得证。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-713257.html
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