【考研数学】矩阵三大关系的梳理和讨论 | 等价、相似、合同-Toy模板网

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引言

昨天学了矩阵的合同关系，老汤讲义里也列举了三大关系的定义和判别法，方便我们进行区分。但是光看还是难以入脑，为此，我想自己梳理一遍，顺带也复习一下线代之前的所学。

一、定义

矩阵等价 —— 设 $A,B \pmb{A,B}$ 为同型矩阵，若存在可逆矩阵 $P,Q \pmb{P,Q}$ ，使得 $PAQ=B \pmb{PAQ=B}$ ，称矩阵 $A,B \pmb{A,B}$ 等价，记为 $A≅B \pmb{A\cong B}$ 。

矩阵相似 —— 设 $A,B \pmb{A,B}$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $\pmb{P}$ ，使得 $P−1AP=B \pmb{P^{-1}AP=B}$ ，称矩阵 $A,B \pmb{A,B}$ 相似，记为 $A∼B \pmb{A\sim B}$ 。

矩阵合同 —— 设 $A,B \pmb{A,B}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $\pmb{P}$ ，使得 $PTAP=B \pmb{P^TAP=B}$ ，称矩阵 $A,B \pmb{A,B}$ 合同，记为 $A≃B \pmb{A\simeq B}$ 。

从定义来看，在考研范围内，合同的要求最高，为 $n$ 阶实对称矩阵，相似要求为方阵，而等价则只要求同型。

三者关系的定义形式也很类似，都是存在可逆矩阵，使得一个矩阵左乘右乘，变为另一个矩阵。容易看出，相似和合同关系一定是等价关系，因为相似和合同中的矩阵 $P,PT,P−1 \pmb{P,P^T,P^{-1}}$ 都是可逆的。

我们也可以发现，如果矩阵 $\pmb{P}$ 满足 $PT=P−1 \pmb{P^T=P^{-1}}$ ，相似关系和合同关系似乎就等价了。恰巧，这样的矩阵我们也学过，叫作正交矩阵。但是实际上是有些问题的，我们需要借助对角化的内容来进行论证，请看我的。

假设两个实对称矩阵 $A,B \pmb{A,B}$ 相似，是否能推出一定合同呢？答案是肯定的。
证明： 由 $A∼B \pmb{A\sim B}$ ，有存在可逆矩阵 $\pmb{P}$ ，使得 $P−1AP=B \pmb{P^{-1}AP=B}$ 。又因为矩阵 $A,B \pmb{A,B}$ 为实对称矩阵，一定可以相似对角化，即存在正交矩阵 $Q1,Q2 \pmb{Q_1,Q_2}$ ，使得 $\pmb{Q_1^{-1}AQ=\Lambda=Q^{-1}_2BQ_2}$ 。由 $\pmb{Q_1^T=Q_1^{-1},Q_2^T=Q_2^{-1}}$ ，则 $\pmb{Q_1^TAQ_1=Q_2^TBQ_2}$ ，两边同时左乘 $(Q2T)−1=Q2 \pmb{(Q_2^T)^{-1}=Q_2}$ ，右乘 $Q2−1=Q2T \pmb{Q_2^{-1}=Q_2^T}$ ，即 $\pmb{Q_2Q_1^TAQ_1Q_2^T=B}$ ，整理可得 $\pmb{(Q_1Q_2^T)^TA(Q_1Q_2^T)=B}$ 证毕。

假设两个实对称矩阵 $A,B \pmb{A,B}$ 合同，是否能推出一定相似呢？答案是否定的。
证明： 由 $A≃B \pmb{A\simeq B}$ ，存在可逆矩阵 $\pmb{P}$ （非正交矩阵），使得 $PTAP=B \pmb{P^TAP=B}$ 。矩阵 $\pmb{B}$ 为实对称矩阵，一定可以相似对角化，有 $QTBQ=Λ \pmb{Q^{T}BQ=\Lambda}$ ，则有 $QTPTAPQ=Λ \pmb{Q^TP^TAPQ=\Lambda}$ 。将 $\pmb{A}$ 单独放到一边，有 $\pmb{A=PQ\Lambda Q^{-1}P^{-1}=(P^T)^{-1}((Q^T)^{-1}\Lambda Q^{-1})P^{-1}=(P^T)^{-1}BP^{-1}}$ 。当且仅当 $(PT)−1=P \pmb{(P^T)^{-1}=P}$ 时，即 $\pmb{P}$ 为正交矩阵时，有如上结论。