【高数笔记】第七章 微分方程

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第一节 微分方程的基本概念

微分方程:含有导数的方程叫微分方程

:微分方程的导数最高是几阶导数。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶

:微分方程的解是一个函数,将这个函数代入,方程为恒等式。

通解:如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解(任意常数互相独立,不能合并。)
比如  y ′ ′ = 3 , 则  y ′ = 3 x + C 1 解得  y = 1.5 x 2 + C 1 x + C 2 微分方程的阶是 2 ,解有两个常数 C 1 , C 2 。 因此这个解是通解 比如~y''=3,\\ 则~y'=3x+C_1\\ 解得~y = 1.5x^2 + C_1 x + C_2\\ 微分方程的阶是2,解有两个常数C_1,C_2。\\ 因此这个解是通解 比如 y′′=3, y=3x+C1解得 y=1.5x2+C1x+C2微分方程的阶是2,解有两个常数C1C2因此这个解是通解

特解:确定通解中的常数之后,就是特解

初值条件:就是 x = x 0 , y = y 0   o r   y ∣ x = x 0 = y 0 x=x_0,y=y_0\ or \ y|_{x=x_0}=y_0 x=x0y=y0 or yx=x0=y0

初值问题:求微分方程在一个初值条件下的特解就是问题

微分方程的积分曲线:解的曲线

第二节 可分离变量的微分方程

可分离变量是所有微分方程求法的基础

如果方程可以化为下面这种形式,就叫可分离变量
g ( y ) d y = f ( x ) d x g(y)dy = f(x)dx \\ g(y)dy=f(x)dx
求解方式就是等式两边同时积分
∫ g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x 整理得到 y = h ( x ) \int g(y)dy = \int f(x)dx \\ 整理得到y = h(x) g(y)dy=f(x)dx整理得到y=h(x)

如果解是隐函数,则称为隐式解,隐式通解

【练习题】

求微分方程 d y d x = 2 x y 的通解 整理成可分离变量形式: y d y = 2 x d x 两边同时积分 ∫ d y y = ∫ 2 x d x l n ∣ y ∣ = x 2 + C 1 最后整理,并化简参数 y = ± e x 2 + C 1 = ± e C 1 × e x 2 = C e x 2 求微分方程 \frac{dy}{dx}=2xy 的通解 \\ 整理成可分离变量形式:ydy=2xdx \\ 两边同时积分∫\frac{dy}{y}=∫2xdx\\ ln|y|=x^2+C_1\\ 最后整理,并化简参数\\ y=±e^{x^2+C1}=±e^{C_1} \times e^{x^{2}}=Ce^{x^{2}}\\ 求微分方程dxdy=2xy的通解整理成可分离变量形式:ydy=2xdx两边同时积分ydy=2xdxlny=x2+C1最后整理,并化简参数y=±ex2+C1=±eC1×ex2=Cex2

第三节 齐次方程

如果可以化为如下形式,则是齐次方程
d y d x = φ ( y x ) 也就是等式右边是一个齐次的, y x 同时出现的情况 比如 φ ( y x ) = y 2 x 2 + x y \frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x}) \\ 也就是等式右边是一个齐次的,\frac{y}{x}同时出现的情况 \\ 比如\varphi(\frac{y}{x}) = \frac{y^2}{x^2+xy} dxdy=φ(xy)也就是等式右边是一个齐次的,xy同时出现的情况比如φ(xy)=x2+xyy2

解法,y=ux然后转化为可分离变量的情况
令  u = y x , y = u x d y d x = d ( u x ) d x = ( x d u + u d x ) d x = x d u d x + u = φ ( u ) 令~u = \frac{y}{x},y = ux\\ \frac{dy}{dx}= \frac{d(ux)}{dx} = \frac{(xdu+udx)}{dx} \\ = x\frac{du}{dx}+u =\varphi(u)  u=xyy=uxdxdy=dxd(ux)=dx(xdu+udx)=xdxdu+u=φ(u)

【练习题】

求  y 2 + x 2 d y d x = x y d y d x 整理得到 d y d x = y 2 − x 2 + x y = ( y x ) 2 − 1 2 + ( y x ) 则 d y d x = u + x d u d x , = u 2 u − 1 得到 ( u − 1 u ) d u = 1 x d x 于是变成了可分离变量的形式 两边同时求积分,得到最终结果 ∫ ( u − 1 u ) d u = ∫ 1 x d x 求\ y^2 + x^2 \frac{dy}{dx} = xy \frac{dy}{dx}\\ 整理得到\frac{dy}{dx} = \dfrac{y^2}{-x^2+xy}=\dfrac{(\dfrac{y}{x})^2}{-1^2+(\dfrac{y}{x})}\\ 则\frac{dy}{dx} = u+x\frac{du}{dx},=\dfrac{u^2}{u-1} \\ 得到(\dfrac{u-1}{u})du = \frac{1}{x}dx \\ 于是变成了可分离变量的形式 \\ 两边同时求积分,得到最终结果 \\ \int (\dfrac{u-1}{u})du =\int \frac{1}{x}dx \\  y2+x2dxdy=xydxdy整理得到dxdy=x2+xyy2=12+(xy)(xy)2dxdy=u+xdxdu=u1u2得到(uu1)du=x1dx于是变成了可分离变量的形式两边同时求积分,得到最终结果(uu1)du=x1dx

可化为齐次的方程

如下
d y d x = a x + b y + c m x + n y + q \frac{dy}{dx} = \frac{ax+by+c}{mx+ny+q} dxdy=mx+ny+qax+by+c

但是因为分子分母有常数c、q,不能直接变成齐次。

通过x = X+h,y=Y+k代换的方式,消去常数c,q。
令  x = X + h , y = Y + k d Y d X = a X + b Y + a h + b k + c m X + n Y + m h + n k + q 令常数项 = 0 得 { a h + b k + c = 0 m h + n k + q = 0 联立方程组解出来 h 和 k 是多少(用行列式的方式) 令\ x = X+h , y = Y+k \\ \frac{dY}{dX} = \frac{aX+bY+ah+bk+c}{mX+nY+mh+nk+q} \\ 令常数项=0 \\ 得\begin{cases} ah+bk+c=0 \\ mh+nk+q=0 \end{cases}\\ 联立方程组解出来h和k是多少(用行列式的方式)\\  x=X+h,y=Y+kdXdY=mX+nY+mh+nk+qaX+bY+ah+bk+c令常数项=0{ah+bk+c=0mh+nk+q=0联立方程组解出来hk是多少(用行列式的方式)

如果 ∣ a , b m , n ∣ ≠ 0 h = ∣ − c , b − q , n ∣ ∣ a , b m , n ∣ , k = ∣ a , − c m , − q ∣ ∣ a , b m , n ∣ 如果 ∣ a , b m , n ∣ = 0 说明系数成比例 a m = b n = λ 原方程化为 d y d x = a x + b y + c λ ( a x + b y ) + q 令 v = a x + b y a x + b y + c λ ( a x + b y ) + q = v + c λ v + q d y d x = d ( v b − a x b ) d x = 1 b ( d v d x − a ) 1 b ( d v d x − a ) = v + c λ v + q 转化为可分离变量 d v d x = b v + c λ v + q + a 如果\begin{vmatrix} a,b\\ m,n \end{vmatrix}\ne0\\ h=\dfrac {\begin{vmatrix} -c,b\\ -q,n \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a,b\\ m,n \end{vmatrix}}, k=\dfrac {\begin{vmatrix} a,-c\\ m,-q \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a,b\\ m,n \end{vmatrix}}\\ 如果\begin{vmatrix} a,b\\ m,n \end{vmatrix}=0\\ 说明系数成比例\frac{a}{m}=\frac{b}{n}=\lambda \\ 原方程化为\frac{dy}{dx} = \frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+q}\\ 令v=ax+by\\ \frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+q} = \frac{v+c}{\lambda v+q}\\ \frac{dy}{dx}=\frac{d(\dfrac{v}{b}-\dfrac{ax}{b})}{dx}=\frac{1}{b}(\frac{dv}{dx}-a)\\ \frac{1}{b}(\frac{dv}{dx}-a)=\frac{v+c}{\lambda v+q}\\ 转化为可分离变量\\ \frac{dv}{dx}=b\frac{v+c}{\lambda v+q}+a 如果 a,bm,n =0h= a,bm,n c,bq,n ,k= a,bm,n a,cm,q 如果 a,bm,n =0说明系数成比例ma=nb=λ原方程化为dxdy=λ(ax+by)+qax+by+cv=ax+byλ(ax+by)+qax+by+c=λv+qv+cdxdy=dxd(bvbax)=b1(dxdva)b1(dxdva)=λv+qv+c转化为可分离变量dxdv=bλv+qv+c+a

推广,可以解如下方程
d y d x = f ( a x + b y + c m x + n y + q ) \frac{dy}{dx} = f(\frac{ax+by+c}{mx+ny+q}) dxdy=f(mx+ny+qax+by+c)

第四节 一阶线性微分方程

如下形式
d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)
什么是一阶,就是只有一阶导数

什么是线性,就是y的导数们只有一次方,没有 ( y ′ ) 2 (y')^2 (y)2这种

什么是齐次,就是当Q(x)=0的时候

一阶线性齐次微分方程

如下形式
d y d x + P ( x ) y = 0 \frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 \\ dxdy+P(x)y=0
求解,直接转化为可分离变量类型
1 y d y = − P ( x ) d x l n ∣ y ∣ = − ∫ P ( x ) d x y = C × e − ∫ P ( x ) d x \frac{1}{y}dy = -P(x)dx \\ ln|y| = -\int P(x) dx \\ y = C\times e^{-\int P(x) dx } y1dy=P(x)dxlny=P(x)dxy=C×eP(x)dx

一阶线性非齐次微分方程

如下形式
d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \\ dxdy+P(x)y=Q(x)
首先书本没有解释的是,假设一阶线性非齐次为
y = u × e − ∫ P ( x ) d x y=u\times e^{-\int P(x) dx } y=u×eP(x)dx
u是关于x的函数,也就是u(x)

齐次方程式结果是 y = C × e − ∫ P ( x ) d x y = C\times e^{-\int P(x) dx } y=C×eP(x)dx

将y换元为 u × e − ∫ P ( x ) d x u\times e^{-\int P(x) dx } u×eP(x)dx
d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) d ( u e − ∫ P ( x ) d x ) ) d x + P ( x ) u e − ∫ P ( x ) d x = Q ( x ) d u d x e − ∫ P ( x ) d x + u d ( e − ∫ P ( x ) d x ) d x + P ( x ) u e − ∫ P ( x ) d x = Q ( x ) d u d x e − ∫ P ( x ) d x + u × − P ( x ) e − ∫ P ( x ) d x + u × P ( x ) e − ∫ P ( x ) d x = Q ( x ) ∵ u × − P ( x ) e − ∫ P ( x ) d x + u × P ( x ) e − ∫ P ( x ) d x = 0 消掉了 最终化简得到   d u d x e − ∫ P ( x ) d x = Q ( x ) 再次转化为可分离变量类型 d u = Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x  (注意这里 P ( x ) 的符号变成正的了) 得  u = ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \\ \frac{d(u e^{-\int P(x) dx }))}{dx} + P(x)u e^{-\int P(x) dx } = Q(x) \\ \frac{du}{dx}e^{-\int P(x) dx }+u\frac{d(e^{-\int P(x) dx })}{dx}+ P(x)u e^{- \int P(x) dx } = Q(x)\\ \frac{du}{dx}e^{-\int P(x) dx }+u\times -P(x)e^{-\int P(x) dx }+ u\times P(x) e^{-\int P(x) dx } = Q(x)\\ \because u\times -P(x)e^{-\int P(x) dx }+ u\times P(x) e^{-\int P(x) dx }=0消掉了\\ 最终化简得到\ \ \frac{du}{dx}e^{-\int P(x) dx }= Q(x)\\ 再次转化为可分离变量类型\\ du = Q(x)e^{\int P(x) dx }dx\ (注意这里P(x)的符号变成正的了)\\ 得\ u = \int Q(x)e^{\int P(x) dx }dx + C dxdy+P(x)y=Q(x)dxd(ueP(x)dx))+P(x)ueP(x)dx=Q(x)dxdueP(x)dx+udxd(eP(x)dx)+P(x)ueP(x)dx=Q(x)dxdueP(x)dx+u×P(x)eP(x)dx+u×P(x)eP(x)dx=Q(x)u×P(x)eP(x)dx+u×P(x)eP(x)dx=0消掉了最终化简得到  dxdueP(x)dx=Q(x)再次转化为可分离变量类型du=Q(x)eP(x)dxdx (注意这里P(x)的符号变成正的了) u=Q(x)eP(x)dxdx+C
把求解出来的u代入的假设的y中
∵ y = u × e − ∫ P ( x ) d x ∴ y = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ) \because y=u\times e^{-\int P(x) dx } \\ \therefore y=e^{-\int P(x) dx }(\int Q(x)e^{\int P(x) dx }dx + C) y=u×eP(x)dxy=eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+C)
注意两个P(x)中,第一个有负号。第二个与Q(x)相乘的这个,没有负号。

【练习题】

求 d y d x = 1 x + y 直接求解不好解,转化不了为标准形式 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) 但是发现,上下颠倒为 d x d y = x + y 可以进一步转化为 d x d y − x = y 换元为 d y d x − y = x 即 P ( x ) = − 1 , Q ( x ) = x 代入公式   y = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ) y = e − ∫ − 1 d x ( ∫ x e ∫ − 1 d x d x + C ) = e x ( ∫ x e x d x + C ) = e x ( e x ( x − 1 ) + C ) 求\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y} \\ 直接求解不好解,转化不了为标准形式 \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \\ 但是发现,上下颠倒为\frac{dx}{dy} = x+y\\ 可以进一步转化为\frac{dx}{dy}-x = y\\ 换元为\frac{dy}{dx}-y = x\\ 即P(x) = -1,Q(x) = x \\ 代入公式\ \ y = e^{- \int P(x)dx} (\int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx+C) \\ y = e^{- \int -1dx} (\int xe^{\int -1dx} dx+C)\\ =e^x(\int xe^xdx+C)\\ =e^x(e^x(x-1)+C) dxdy=x+y1直接求解不好解,转化不了为标准形式dxdy+P(x)y=Q(x)但是发现,上下颠倒为dydx=x+y可以进一步转化为dydxx=y换元为dxdyy=xP(x)=1,Q(x)=x代入公式  y=eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+C)y=e1dx(xe1dxdx+C)=ex(xexdx+C)=ex(ex(x1)+C)

伯努利方程

如下形式
d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n ( n ≠ 0 , 1 ) \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n (n≠0,1) \\ dxdy+P(x)y=Q(x)ynn=0,1
求解,两边除以 y n y^n yn,然后转化为一阶线性非齐次微分方程
y − n d y d x + y 1 − n P ( x ) = Q ( x ) 令 z = y 1 − n ∴ d ( y 1 − n ) ( 1 − n ) d x + z P ( x ) = Q ( x ) 即 d z ( 1 − n ) d x + z P ( x ) = Q ( x ) 即 d z d x + z P ( x ) ( 1 − n ) = Q ( x ) ( 1 − n ) ( n ≠ 0 , 1 ) 实际的 P ′ ( x ) = P ( x ) ( 1 − n ) , Q ′ ( x ) = Q ( x ) ( 1 − n ) 代入得到 z = e − ∫ P ( x ) ( 1 − n ) d x ( ∫ Q ( x ) ( 1 − n ) e ∫ P ( x ) ( 1 − n ) d x d x + C ) y^{-n}\frac{dy}{dx} + y^{1-n}P(x) = Q(x) \\ 令z = y^{1-n}\\ \therefore \frac{d(y^{1-n})}{(1-n)dx} + zP(x) = Q(x) \\ 即\frac{dz}{(1-n)dx} + zP(x) = Q(x) \\ 即\frac{dz}{dx} + zP(x)(1-n) = Q(x)(1-n) (n≠0,1)\\ 实际的P'(x) = P(x)(1-n),Q'(x) = Q(x)(1-n) \\ 代入得到z =e^{-\int P(x)(1-n) dx }(\int Q(x)(1-n)e^{\int P(x)(1-n) dx }dx + C) yndxdy+y1nP(x)=Q(x)z=y1n(1n)dxd(y1n)+zP(x)=Q(x)(1n)dxdz+zP(x)=Q(x)dxdz+zP(x)(1n)=Q(x)(1n)n=0,1实际的P(x)=P(x)(1n),Q(x)=Q(x)(1n)代入得到z=eP(x)(1n)dx(Q(x)(1n)eP(x)(1n)dxdx+C)
因为 y = z 1 ( n − 1 ) y = z^{\frac{1}{(n-1)}} y=z(n1)1次方,反向求解
y = z 1 ( n − 1 ) y = [ e − ∫ P ( x ) ( 1 − n ) d x ( ∫ Q ( x ) ( 1 − n ) e ∫ P ( x ) ( 1 − n ) d x d x + C ) ] 1 ( n − 1 ) y = z^{\frac{1}{(n-1)}} \\ y = [ e^{-\int P(x)(1-n) dx }(\int Q(x)(1-n)e^{\int P(x)(1-n) dx }dx + C) ]^{\frac{1}{(n-1)}} y=z(n1)1y=[eP(x)(1n)dx(Q(x)(1n)eP(x)(1n)dxdx+C)](n1)1

【练习题】

d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n ( n ≠ 0 , 1 ) \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n (n≠0,1) \\ dxdy+P(x)y=Q(x)ynn=0,1

求解 d y d x + y x = a ( l n x ) y 2 P ( x ) = 1 / x , Q ( x ) = a   l n x 两边除以 y 2 1 y 2 d y d x + 1 x y = a ( l n x ) 令 z = y − 1 y = z − 1 , d y = − z − 2 d z = − y 2 d z 代入得  − d z d x + z x = a ( l n x ) 解得 z = x [ C − a 2 ( l n x ) 2 ] y = 1 / ( x [ C − a 2 ( l n x ) 2 ] ) 求解\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=a(lnx)y^2\\ P(x)=1/x,Q(x)=a\ lnx 两边除以y^2\\ \frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{xy}=a(lnx)\\ 令z=y^{-1}\\ y=z^{-1},dy=-z^{-2}dz=-y^2dz\\ 代入得\ -\frac{dz}{dx}+\frac{z}{x}=a(lnx)\\ 解得z=x[C-\frac a 2 (ln x)^2]\\ y=1/(x[C-\frac a 2 (ln x)^2]) 求解dxdy+xy=a(lnx)y2P(x)=1/x,Q(x)=a lnx两边除以y2y21dxdy+xy1=a(lnx)z=y1y=z1,dy=z2dz=y2dz代入得 dxdz+xz=a(lnx)解得z=x[C2a(lnx)2]y=1/(x[C2a(lnx)2])

第五节 可降阶的高阶微分方程

高阶微分方程没有几个能求解出来的,只有几种特殊情况可以求解出来

情况一 y ( n ) = f ( x ) y^{(n)} = f(x) y(n)=f(x)

如下形式
y ( n ) = f ( x ) y^{(n)} = f(x) y(n)=f(x)
y的n阶导数,等于f(x)。直接开局就是y,x变量分离的情况

求解,多次求积分,直到得到y

【练习题】

y ′ ′ ′ = e 2 x − c o s ( x ) y ′ ′ = 1 2 e 2 x − s i n ( x ) + C 1 y ′ = 1 4 e 2 x + c o s ( x ) + C 1 x + C 2 y = 1 8 e 2 x + s i n ( x ) + 1 2 C 1 x 2 + C 2 x + C 3 (一定要注意常数 C ) y''' = e^{2x}-cos(x) \\ y'' = \frac{1}{2}e^{2x}-sin(x) + C_1 \\ y' = \frac{1}{4}e^{2x}+cos(x) + C_1x + C_2 \\ y = \frac{1}{8}e^{2x}+sin(x) + \frac{1}{2}C_1x^2 + C_2 x + C_3 \\ (一定要注意常数C) y′′′=e2xcos(x)y′′=21e2xsin(x)+C1y=41e2x+cos(x)+C1x+C2y=81e2x+sin(x)+21C1x2+C2x+C3(一定要注意常数C

情况二 y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y'' = f(x,y') y′′=f(x,y′)

  1. 也就是没有y,
  2. 但是阶数只有相邻的两阶,
  3. 并且可以通过前四节的方法求出 y的导数(如y’)

求解,先求出y的导数,如y’,然后就是情况一,多次求积分得到y

【练习题】

( 1 + x 2 ) y ′ ′ = 2 x y ′ 先尝试一阶线性非齐次微分方程  y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y ′ ′ + − 2 x 1 + x 2 y ′ = 0 y ′ = C e ∫ 2 x 1 + x 2 d x y ′ = C e l n ∣ 1 + x 2 ∣ y ′ = C ∣ 1 + x 2 ∣ 最终  y = C 1 ( 1 3 x 3 + x + C 2 ) (1+x^2)y'' = 2xy' \\ 先尝试一阶线性非齐次微分方程\ y' + P(x)y = Q(x) \\ y'' + \frac{-2x}{1+x^2}y'=0 \\ y' = C e^{\int{\dfrac{2x}{1+x^2}} dx }\\ y' = C e^{ln|1+x^2| }\\ y' = C |1+x^2| \\ 最终\ y = C_1(\frac{1}{3}x^3+x+C_2) \\ (1+x2)y′′=2xy先尝试一阶线性非齐次微分方程 y+P(x)y=Q(x)y′′+1+x22xy=0y=Ce1+x22xdxy=Celn∣1+x2y=C∣1+x2最终 y=C1(31x3+x+C2)

情况三 y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y'' = f(y,y') y′′=f(y,y′)

  1. 有未知数y、y’、y‘’
  2. 没有x

求解,令y’=p然后求解出y’,
y ′ = p 即  y ′ ( x ) = p ( x ) y ′ ′ = d y ′ d x = d ( p ( x ) ) d x = d p d y × d y d x y ′ ′ = d p d y y ′ = d p d y p y'=p\\ 即\ y'(x)=p(x)\\ y'' = \frac{dy'}{dx} = \frac{d(p(x))}{dx} = \frac{dp}{dy} \times \frac{dy}{dx} \\ y'' =\frac{dp}{dy} y' =\frac{dp}{dy} p y=p y(x)=p(x)y′′=dxdy=dxd(p(x))=dydp×dxdyy′′=dydpy=dydpp
于是就转化为一阶线性非齐次微分方程
d p d y p = f ( y , p ) d p d y + P ( y ) p = Q ( y ) \frac{dp}{dy} p = f(y,p)\\ \frac{dp}{dy} + P(y)p = Q(y) dydpp=f(y,p)dydp+P(y)p=Q(y)

【练习题】

y ⋅ y ′ ′ − ( y ′ ) 2 = 0 换元为 p y ⋅ d p d y p − p 2 = 0 d p d y − 1 y p = 0 ( p , y ≠ 0 ) y ′ = p = e − ∫ 1 y d y = C 1 y d y d x = C 1 y l n ∣ y ∣ = C 1 x + C 2 y = e C 1 x + C 2 y·y''-(y')^2 = 0 \\ 换元为p \\ y·\frac{dp}{dy}p - p^2=0 \\ \frac{dp}{dy} - \frac{1}{y}p=0 (p,y≠0)\\ y' = p = e^{- \int \frac{1}{y} dy} = C_1y \\ \frac{dy}{dx} = C_1 y \\ ln|y| = C_1x + C_2 \\ y = e^{C_1x + C_2} yy′′(y)2=0换元为pydydppp2=0dydpy1p=0py=0y=p=ey1dy=C1ydxdy=C1ylny=C1x+C2y=eC1x+C2
注意讨论p和y不为0的时候
若 p = 0 ,得出 y = 0 若p = 0,得出y=0 p=0,得出y=0

第六节 高阶线性微分方程

使用二阶方程来推导定理,定理可以推广到n阶方程中
二阶线性齐次方程  y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) = 0 二阶线性非齐次方程  y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) = f ( x ) ( f ( x ) 不恒为 0 ) n 阶线性方程  y ( n ) + a n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 ( x ) y ( 1 ) + a 0 ( x ) y = f ( x ) ( f ( x ) 不恒为 0 ) 二阶线性齐次方程\ y''+P(x)y'+Q(x)=0\\ 二阶线性非齐次方程\ y''+P(x)y'+Q(x)=f(x)(f(x)不恒为0)\\ n阶线性方程\ y^{(n)}+ a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+ a_{1}(x)y^{(1)}+ a_{0}(x)y=f(x)(f(x)不恒为0)\\ 二阶线性齐次方程 y′′+P(x)y+Q(x)=0二阶线性非齐次方程 y′′+P(x)y+Q(x)=f(x)(f(x)不恒为0)n阶线性方程 y(n)+an1(x)y(n1)++a1(x)y(1)+a0(x)y=f(x)(f(x)不恒为0)

定理1

解的线性组合还是齐次方程的解。如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)是二阶齐次方程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) = 0 y''+P(x)y'+Q(x)=0 y′′+P(x)y+Q(x)=0的两个解,那么 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)也是二阶齐次方程的解,其中 C1,C2 是任意常数

函数组的线性无关:对于函数y,存在n个不全为0的系k使得 k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋯ + k n y n = 0 k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}+\cdots+k_{n}y_{n}=0 k1y1+k2y2++knyn=0则称为线性相关。如果k全为0,则线性无关。线性相关即至少一个函数,可以被其他函数线性表示。

比如: 1 , c o s 2 ( x ) , s i n 2 ( x ) 1,cos^2(x),sin^2(x) 1,cos2(x),sin2(x)线性相关。 1 − c o s 2 ( x ) − s i n 2 ( x ) = 0 1-cos^2(x)-sin^2(x)=0 1cos2(x)sin2(x)=0线性k取(1,-1,-1)不全为0。

定理2

如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)是二阶齐次方程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) = 0 y''+P(x)y'+Q(x)=0 y′′+P(x)y+Q(x)=0的两个线性无关的特解,那么 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)就是二阶齐次方程的通解,其中 ,C1,C2 为任意常数

比如 s i n ( x ) , c o s ( x ) sin(x),cos(x) sin(x),cos(x)是方程 y ′ ′ + y = 0 y''+y=0 y′′+y=0的解,因为 s i n x c o s x = t a n x ≠ 常数 \dfrac{sinx}{cosx}=tanx \ne 常数 cosxsinx=tanx=常数所以线性无关。所以 y = C 1 s i n ( x ) + C 2 c o s ( x ) y=C_1sin(x)+C_2cos(x) y=C1sin(x)+C2cos(x)是通解

接下来来介绍非齐次方程的解的结构

定理3

y ∗ ( x ) y^*(x) y(x)是二阶齐次线性方程$ y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)(1) 的一个特解, 的一个特解, 的一个特解, Y(x) 是与方程 ( 1 ) 对应的齐次方程 是与方程(1)对应的齐次方程 是与方程(1)对应的齐次方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0(2) 的通解,则 的通解,则 的通解,则 y=Y(x)+y^*(x) $是二阶齐次线性微分方程(1)的通解

尝试把上述的y代入,得到左式为 [ Y ″ + P ( x ) Y ′ + Q ( x ) Y ] + [ y ∗ ″ + P ( x ) y ∗ ′ + Q ( x ) y ∗ ] [Y″+P(x)Y′+Q(x)Y]+[y^*″+P(x)y^*′+Q(x)y^*] [Y+P(x)Y+Q(x)Y]+[y+P(x)y+Q(x)y]前一项=0,后一项=f因此y确实是非齐次方程的解。

定理4

(又称微分方程解的叠加原理)

函数 y 1 ∗ ( x ) y_{1}^{*}(x) y1(x)是方程 y ″ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) y″+P(x)y′+Q(x)y=f_1(x) y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)的特解, y 2 ∗ ( x ) y_{2}^{*}(x) y2(x)是方程 y ″ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 2 ( x ) y″+P(x)y′+Q(x)y=f_2(x) y+P(x)y+Q(x)y=f2(x)的特解,则 y 1 ∗ ( x ) + y 2 ∗ ( x ) y_{1}^{*}(x)+y_{2}^{*}(x) y1(x)+y2(x)就是 y ″ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) y″+P(x)y′+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x) y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x)的特解

上述四个定理都可以推广到n维

⭐常数变易法

之前用来求解一阶线性非齐次方程

【高数笔记】第七章 微分方程,高等数学,算法,线性代数,学习
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第七节 常系数齐次线性微分方程

二阶

先讨论二阶方程,再推广到n阶

y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 y''+ P(x)y'+Q(x)y=0 y′′+P(x)y+Q(x)y=0
如果所有变量的系数P(x)、Q(x)是不是常数,则称为二阶变系数齐次微分方程

如果所有变量的系数P(x)、Q(x)是常数p、q,则称为二阶常系数齐次微分方程,如下形式,
y ″ + p y ′ + q y = 0 y″+py′+qy=0 y+py+qy=0

书上写到函数 y = e r x y=e^{rx} y=erx具有独特的性质, y ( n ) = r n e r x y^{(n)}=r^{n}e^{rx} y(n)=rnerx各阶导数之间只有常数因子 r n r^{n} rn不同。如果把它代入上述方程,发现得到 ( r 2 + p r + q ) e r x = 0 (r^2+pr+q)e^{rx}=0 (r2+pr+q)erx=0因为 e r x ≠ 0 e^{rx} \ne 0 erx=0,所以只要关于系数r的方程 ( r 2 + p r + q ) = 0 (r^2+pr+q)=0 (r2+pr+q)=0,就能找到一个r0使得 e r 0 x e^{r_0x} er0x满足这个方程。

也就是说,只需要找一个特殊的系数r,即可找到方程的解。感觉还挺简单的。

上述的 ( r 2 + p r + q ) (r^2+pr+q) (r2+pr+q)就称为,方程的特征方程

解法

特征方程根的分类,直接代入公式即可。特征方程和二次方程的求根公式差不多

【高数笔记】第七章 微分方程,高等数学,算法,线性代数,学习

特征方程如下
r 2 + p r + q = 0 r^2 + pr +q =0\\ r2+pr+q=0

①两个不同解

若 Δ = p 2 − 4 q > 0 r 1 = − p + p 2 − 4 q 2 , r 2 = − p − p 2 − 4 q 2 则  y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x 若\Delta = p^2-4q>0\\ r_1 = \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}, r_2 = \frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}\\ 则\ y=C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} \\ Δ=p24q>0r1=2p+p24q r2=2pp24q  y=C1er1x+C2er2x
意味着有两个解 y 1 = e r 1 x y_1=e^{r_1x} y1=er1x y 2 = e r 2 x y_2=e^{r_2x} y2=er2x满足方程。对于二阶方程而言,这两个线性无关的解,恰好组成了方程的通解。

②相同解

若 Δ = p 2 − 4 q = 0 r 1 = r 2 = − p 2 则  y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x 若\Delta = p^2-4q=0 \\ r_1 = r_2 = \frac{-p}{2}\\ 则\ y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}\\ Δ=p24q=0r1=r2=2p y=(C1+C2x)er1x
只能得到一个解 y 1 = e r 1 x y_1=e^{r_1x} y1=er1x因为需要两个线性无关的解,即满足两个解相除不为常数 y 1 y 2 = u ( x ) \dfrac{y_1}{y_2}=u(x) y2y1=u(x) y 2 = u ( x ) e r 1 x y_2=u(x)e^{r_1x} y2=u(x)er1x此时把 y 2 y_2 y2
y 2 = u e r 1 x , y 2 ′ = u ′ e r 1 x + r 1 u e r 1 x y 2 ′ ′ = u ′ ′ e r 1 x + 2 r 1 u ′ e r 1 x + r 1 2 u e r 1 x 代入得 e r 1 x [ u ( r 1 2 + p r 1 + q ) + u ′ ( 2 r 1 + p ) + u ′ ′ ] r 1 = − p 2 ,所以 ( r 1 2 + p r 1 + q ) = 0 , ( 2 r 1 + p ) = 0 得到 u ′ ′ = 0 y_2=ue^{r_1x},y_2'=u' e^{r_1x}+r_1ue^{r_1x}\\ y_2''=u'' e^{r_1x}+2r_1 u' e^{r_1x}+r_1^2ue^{r_1x}\\ 代入得e^{r_1x}[u(r_1^2 + pr_1 +q)+u'(2r_1 + p)+u'']\\ r_1=-\frac{p}{2},所以(r_1^2 + pr_1 +q)=0,(2r_1 + p)=0\\ 得到u''=0 y2=uer1x,y2=uer1x+r1uer1xy2′′=u′′er1x+2r1uer1x+r12uer1x代入得er1x[u(r12+pr1+q)+u(2r1+p)+u′′]r1=2p,所以(r12+pr1+q)=0,(2r1+p)=0得到u′′=0
满足 u ′ ′ = 0 u''=0 u′′=0的函数很多,我们需要构造的函数u只需要满足 u ≠ 常数 , u ′ ′ = 0 u\ne 常数,u''=0 u=常数,u′′=0,选择一个简单的函数 u ( x ) = x u(x)=x u(x)=x

故最后得到两个线性无关的解 y 1 = e r 1 x y_1=e^{r_1x} y1=er1x y 2 = x e r 2 x y_2=xe^{r_2x} y2=xer2x

通解 y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x y=(C_1+C_2x)e^{r_1x} y=(C1+C2x)er1x

③虚数解

若 Δ = p 2 − 4 q > 0 r 1 = α + β i , r 2 = α − β i 则  y = e α x (   C 1 c o s ( β x ) + C 2 s i n ( β x )   ) 若\Delta = p^2-4q>0\\ r_1 = \alpha + \beta i, r_2 = \alpha - \beta i\\ 则\ y=e^{\alpha x}(\ C_1 cos(\beta x) + C_2 sin(\beta x)\ ) Δ=p24q>0r1=α+βir2=αβi y=eαx( C1cos(βx)+C2sin(βx) )

虚数解的原理比较特别。实际上,因为两个虚数解不相同,得到解线性无关。因此可以直接作为方程的解。但是为了得到实数解做了一定的转化。

共轭关系:基本性质就是实部相等,虚部相反。相加除以二是实部,相减除以二是虚部。
首先得到两个解 y 1 = e α + β i 和 y 2 = e α − β i 先使用欧拉公式 e i θ = c o s θ + i   s i n θ 进行变换 得 y 1 = e α e β i = e α ( c o s β + i   s i n β ) 和 y 2 = e α ( c o s β − i   s i n β ) 这个时候 y 1 和 y 2 满足共轭关系, y 2 = y ˉ 1 。 ( W h y ? 要进行欧拉公式这一步,因为原来的 r 1 , r 2 虽然共轭,但是函数 y 1 , y 2 不共轭。欧拉公式之后就共轭了) 因为共轭关系下,相加除以二是实部,相减除以二是虚部。 令 Y 1 = y 1 + y 2 2 = e α c o s β Y 2 = y 1 − y 2 2 i = e α s i n β 这样就得到了实数函数 Y 1 , Y 2 Y 1 , Y 2 是 y 1 , y 2 的线性组合,同时线性无关,因此 Y 1 , Y 2 是方程的通解 首先得到两个解y_1=e^{\alpha+\beta i}和y_2=e^{\alpha-\beta i}\\ 先使用欧拉公式e^{i \theta}=cos \theta+i\ sin\theta进行变换\\ 得y_1=e^{\alpha}e^{\beta i}=e^{\alpha}(cos \beta+i\ sin\beta)和y_2=e^{\alpha}(cos \beta-i \ sin\beta)\\ 这个时候y_1和y_2满足共轭关系,y_2=\bar y_1。\\ (Why?要进行欧拉公式这一步,因为原来的r_1,r_2虽然共轭,但是函数y_1,y_2不共轭。欧拉公式之后就共轭了)\\ 因为共轭关系下,相加除以二是实部,相减除以二是虚部。\\ 令Y_1=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{\alpha}cos \beta\\ Y_2=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{\alpha}sin\beta\\ 这样就得到了实数函数Y_1,Y_2\\ Y_1,Y_2是y_1,y_2的线性组合,同时线性无关,因此Y_1,Y_2是方程的通解 首先得到两个解y1=eα+βiy2=eαβi先使用欧拉公式eiθ=cosθ+i sinθ进行变换y1=eαeβi=eα(cosβ+i sinβ)y2=eα(cosβi sinβ)这个时候y1y2满足共轭关系,y2=yˉ1Why?要进行欧拉公式这一步,因为原来的r1,r2虽然共轭,但是函数y1,y2不共轭。欧拉公式之后就共轭了)因为共轭关系下,相加除以二是实部,相减除以二是虚部。Y1=2y1+y2=eαcosβY2=2iy1y2=eαsinβ这样就得到了实数函数Y1,Y2Y1,Y2y1,y2的线性组合,同时线性无关,因此Y1,Y2是方程的通解

【练习题】

直接判断之后代入公式
求解 y ′ ′ − 2 y ′ − 3 y = 0 符合 y ″ + p y ′ + q y = 0 特征方程为 r 2 − 2 r − 3 = 0 Δ = p 2 − 4 q = 4 + 12 > 0 r 1 = − p + p 2 − 4 q 2 = 2 + 16 2 = 3 , r 2 = − 1 最终  y = C 1 e 3 x − C 2 e x 求解y''-2y'-3y=0\\ 符合y″+py′+qy=0\\ 特征方程为r^2 - 2r - 3 = 0 \\ \Delta = p^2-4q = 4+12>0\\ r_1 = \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2} = \frac{2+\sqrt{16}}{2}=3, r_2 = -1\\ 最终\ y=C_1e^{3x} - C_2e^{x} 求解y′′2y3y=0符合y+py+qy=0特征方程为r22r3=0Δ=p24q=4+12>0r1=2p+p24q =22+16 =3r2=1最终 y=C1e3xC2ex

n阶

n阶 常系数 齐次 线性 微分方程的表达式如下
y ( n ) + a n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ( 1 ) + a 0 y = 0 y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}y^{(1)}+a_{0}y=0\\ y(n)+an1y(n1)++a1y(1)+a0y=0
特征方程为
r n + a n − 1 r n − 1 + ⋯ + a 1 r + a 0 = 0 r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_{1}r+a_{0}=0\\ rn+an1rn1++a1r+a0=0
【高数笔记】第七章 微分方程,高等数学,算法,线性代数,学习

【练习题】

y ( 4 ) − 2 y ( 3 ) + 5 y ( 2 ) = 0 y = C 1 + C 2 x + ( C 3 c o s 2 x + C 4 s i n 2 x ) e x y^{(4)}-2y^{(3)}+5y^{(2)}=0\\ y=C_1+C_2x+(C_3 cos 2x + C_4 sin 2x)e^x y(4)2y(3)+5y(2)=0y=C1+C2x+(C3cos2x+C4sin2x)ex

第八节 常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式:
y ″ + p y ′ + q y = f ( x ) ( p , q 是常数 , f ( x ) ≠ 0 ) y″+py′+qy=f(x) (p,q 是常数,f(x) \ne 0) y+py+qy=f(x)p,q是常数,f(x)=0

第六节定理3,告诉我们非齐次方程的通解=齐次方程的通解+特解

书上只介绍 f ( x ) f(x) f(x)取两种特殊形式的时候,求特解的方法。

这种方法叫待定系数法,特点是不需要积分就能求出特解 y ∗ y^* y

情况一 f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x)=e^{\lambda x}P_m(x) f(x)=eλxPm​(x)

P m ( x ) P_m(x) Pm(x)指的是m次多项式 a m x m + a m − 1 x m − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_0 amxm+am1xm1++a1x+a0

y ″ + p y ′ + q y = e λ x P m ( x ) y″+py′+qy=e^{\lambda x}P_m(x) y+py+qy=eλxPm(x)

书上说,推测 y ∗ = R ( x ) e λ x y^*=R(x)e^{\lambda x} y=R(x)eλx是方程的解,R(x)是某个多项式
y ∗ = e λ x R ( x ) y ∗ ′ = e λ x [ λ R ( x ) + R ′ ( x ) ] y ∗ ′ ′ = e λ x [ λ 2 R ( x ) + 2 λ R ′ ( x ) + R ′ ′ ( x ) ] 代入得 e λ x { [ λ 2 R ( x ) + 2 λ R ′ ( x ) + R ′ ′ ( x ) ] + p [ λ R ( x ) + R ′ ( x ) ] + q R ( x ) } = e λ x P m ( x ) 消去 e λ x R ( x ) ( λ 2 + p λ + q ) + R ′ ( x ) ( 2 λ + p ) + R ′ ′ ( x ) = P m ( x ) y^*=e^{\lambda x}R(x)\\ y^{*}{'}=e^{\lambda x}[\lambda R(x)+R'(x)]\\ y^*{''}=e^{\lambda x}[\lambda^2 R(x)+2\lambda R'(x)+R''(x)]\\ 代入得e^{\lambda x}\{[\lambda^2 R(x)+2\lambda R'(x)+R''(x)] + p[\lambda R(x)+R'(x)] + qR(x)\}=e^{\lambda x}P_m(x)\\ 消去e^{\lambda x}\\ R(x)(\lambda^2 +p\lambda +q) + R'(x)(2\lambda+p) + R''(x)=P_m(x) y=eλxR(x)y=eλx[λR(x)+R(x)]y′′=eλx[λ2R(x)+2λR(x)+R′′(x)]代入得eλx{[λ2R(x)+2λR(x)+R′′(x)]+p[λR(x)+R(x)]+qR(x)}=eλxPm(x)消去eλxR(x)(λ2+pλ+q)+R(x)(2λ+p)+R′′(x)=Pm(x)
λ \lambda λ不是方程的根, λ 2 + p λ + q ≠ 0 \lambda^2 +p\lambda +q \ne 0 λ2+pλ+q=0

R ( x ) R(x) R(x) P m P_m Pm同阶,因此R(x)是一个m阶多项式

可以令 R ( x ) = R m ( x ) ( R m = b m x m + b m − 1 x m − 1 + ⋯ + b 1 x + b 0 ) R(x)=R_m(x)(R_m=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{1}x+b_0) R(x)=Rm(x)Rm=bmxm+bm1xm1++b1x+b0

通过比较 x i x^i xi的系数,求出 b i b_i bi的值

λ \lambda λ是方程的单次根, λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2 +p\lambda +q = 0 λ2+pλ+q=0,但是 2 λ + p ≠ 0 2\lambda+p\ne0 2λ+p=0

R ( x ) R(x) R(x)被消掉了, R ′ ( x ) R'(x) R(x) P m P_m Pm同阶,因此R(x)是一个m+1阶多项式

可以令 R ( x ) = x R m ( x ) R(x)=xR_m(x) R(x)=xRm(x),通过比较 x i x^i xi的系数,求出 b i b_i bi的值

λ \lambda λ不是方程的重根, λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2 +p\lambda +q = 0 λ2+pλ+q=0,同时 λ + p = 0 \lambda+p=0 λ+p=0

R ( x ) 、 R ′ ( x ) R(x)、R'(x) R(x)R(x)都被消掉了, R ′ ′ ( x ) R''(x) R′′(x) P m P_m Pm同阶,因此R(x)是一个m+2阶多项式

可以令 R ( x ) = x 2 R m ( x ) R(x)=x^2R_m(x) R(x)=x2Rm(x),通过比较 x i x^i xi的系数,求出 b i b_i bi的值

【练习题】

求 y ″ − 2 y ′ − 3 y = 3 x + 1 的一个特解 求y″−2y′−3y=3x+1的一个特解\\ y2y3y=3x+1的一个特解

先写出已知条件 p = − 2 , q = − 3 , λ = 0 , P m ( x ) 为一次多项式 ∵ λ = 0 不是特征方程 r 2 − 2 r − 3 = 0 的根 ∴ y ∗ = a x + b 代入得 − 3 a x − 2 a − 3 b = 3 x + 1 { − 3 a = 3 − ( 2 a + 3 b ) = 1 解得 { a = − 1 b = 1 先写出已知条件 p=−2 , q=−3 , λ=0 ,P_m(x) 为一次多项式\\ \because λ=0 不是特征方程 r^2−2r−3=0 的根\\ \therefore y^∗=ax+b\\ 代入得 −3ax−2a−3b=3x+1 \\ \begin{cases} -3a=3\\ -(2a+3b)=1 \end{cases}\\ 解得\begin{cases} a=-1\\ b=1 \end{cases}\\\\ 先写出已知条件p=2q=3λ=0Pm(x)为一次多项式λ=0不是特征方程r22r3=0的根y=ax+b代入得3ax2a3b=3x+1{3a=3(2a+3b)=1解得{a=1b=1

情况二 f ( x ) = e λ x [ P m ( x ) c o s ω x + Q n ( x ) s i n ω x ] f(x)=e^{\lambda x}[P_m(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x] f(x)=eλx[Pm​(x)cosωx+Qn​(x)sinωx]

方程如下
y ″ + p y ′ + q y = e λ x [ P m ( x ) c o s ω x + Q n ( x ) s i n ω x ] y″+py′+qy=e^{\lambda x}[P_m(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x] y+py+qy=eλx[Pm(x)cosωx+Qn(x)sinωx]

特解
y ∗ = x k e λ x ( R l ( 1 ) ( x ) c o s ω x + R l ( 2 ) ( x ) s i n ω x ) l = m a x { m , n } R l ( 1 ) 、 R l ( 2 ) 是 l 阶多项式 k 是特征方程中含根 λ + ω i ( 或 λ − ω i ) 的重数 y^*=x^{k}e^{\lambda x}(R_{l}^{(1)}(x)cos \omega x+R_{l}^{(2)}(x) sin \omega x )\\ l=max\{m,n\}\\ R_{l}^{(1)}、R_{l}^{(2)}是l阶多项式\\ k是特征方程中含根\lambda + \omega i(或\lambda - \omega i)的重数 y=xkeλx(Rl(1)(x)cosωx+Rl(2)(x)sinωx)l=max{m,n}Rl(1)Rl(2)l阶多项式k是特征方程中含根λ+ωi(λωi)的重数文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-714481.html

i 的系数,求出 的系数,求出 的系数,求出b_i$的值

【练习题】

求 y ″ − 2 y ′ − 3 y = 3 x + 1 的一个特解 求y″−2y′−3y=3x+1的一个特解\\ y2y3y=3x+1的一个特解

先写出已知条件 p = − 2 , q = − 3 , λ = 0 , P m ( x ) 为一次多项式 ∵ λ = 0 不是特征方程 r 2 − 2 r − 3 = 0 的根 ∴ y ∗ = a x + b 代入得 − 3 a x − 2 a − 3 b = 3 x + 1 { − 3 a = 3 − ( 2 a + 3 b ) = 1 解得 { a = − 1 b = 1 先写出已知条件 p=−2 , q=−3 , λ=0 ,P_m(x) 为一次多项式\\ \because λ=0 不是特征方程 r^2−2r−3=0 的根\\ \therefore y^∗=ax+b\\ 代入得 −3ax−2a−3b=3x+1 \\ \begin{cases} -3a=3\\ -(2a+3b)=1 \end{cases}\\ 解得\begin{cases} a=-1\\ b=1 \end{cases}\\\\ 先写出已知条件p=2q=3λ=0Pm(x)为一次多项式λ=0不是特征方程r22r3=0的根y=ax+b代入得3ax2a3b=3x+1{3a=3(2a+3b)=1解得{a=1b=1

情况二 f ( x ) = e λ x [ P m ( x ) c o s ω x + Q n ( x ) s i n ω x ] f(x)=e^{\lambda x}[P_m(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x] f(x)=eλx[Pm​(x)cosωx+Qn​(x)sinωx]

方程如下
y ″ + p y ′ + q y = e λ x [ P m ( x ) c o s ω x + Q n ( x ) s i n ω x ] y″+py′+qy=e^{\lambda x}[P_m(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x] y+py+qy=eλx[Pm(x)cosωx+Qn(x)sinωx]

特解
y ∗ = x k e λ x ( R l ( 1 ) ( x ) c o s ω x + R l ( 2 ) ( x ) s i n ω x ) l = m a x { m , n } R l ( 1 ) 、 R l ( 2 ) 是 l 阶多项式 k 是特征方程中含根 λ + ω i ( 或 λ − ω i ) 的重数 y^*=x^{k}e^{\lambda x}(R_{l}^{(1)}(x)cos \omega x+R_{l}^{(2)}(x) sin \omega x )\\ l=max\{m,n\}\\ R_{l}^{(1)}、R_{l}^{(2)}是l阶多项式\\ k是特征方程中含根\lambda + \omega i(或\lambda - \omega i)的重数 y=xkeλx(Rl(1)(x)cosωx+Rl(2)(x)sinωx)l=max{m,n}Rl(1)Rl(2)l阶多项式k是特征方程中含根λ+ωi(λωi)的重数

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