第一节 微分方程的基本概念
微分方程:含有导数的方程叫微分方程
阶:微分方程的导数最高是几阶导数。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶
解:微分方程的解是一个函数,将这个函数代入,方程为恒等式。
通解:如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解(任意常数互相独立,不能合并。)
比如
y
′
′
=
3
,
则
y
′
=
3
x
+
C
1
解得
y
=
1.5
x
2
+
C
1
x
+
C
2
微分方程的阶是
2
,解有两个常数
C
1
,
C
2
。
因此这个解是通解
比如~y''=3,\\ 则~y'=3x+C_1\\ 解得~y = 1.5x^2 + C_1 x + C_2\\ 微分方程的阶是2,解有两个常数C_1,C_2。\\ 因此这个解是通解
比如 y′′=3,则 y′=3x+C1解得 y=1.5x2+C1x+C2微分方程的阶是2,解有两个常数C1,C2。因此这个解是通解
特解:确定通解中的常数之后,就是特解
初值条件:就是 x = x 0 , y = y 0 o r y ∣ x = x 0 = y 0 x=x_0,y=y_0\ or \ y|_{x=x_0}=y_0 x=x0,y=y0 or y∣x=x0=y0
初值问题:求微分方程在一个初值条件下的特解就是问题
微分方程的积分曲线:解的曲线
第二节 可分离变量的微分方程
可分离变量是所有微分方程求法的基础
如果方程可以化为下面这种形式,就叫可分离变量
g
(
y
)
d
y
=
f
(
x
)
d
x
g(y)dy = f(x)dx \\
g(y)dy=f(x)dx
求解方式就是等式两边同时积分
∫
g
(
y
)
d
y
=
∫
f
(
x
)
d
x
整理得到
y
=
h
(
x
)
\int g(y)dy = \int f(x)dx \\ 整理得到y = h(x)
∫g(y)dy=∫f(x)dx整理得到y=h(x)
如果解是隐函数,则称为隐式解,隐式通解
【练习题】
求微分方程 d y d x = 2 x y 的通解 整理成可分离变量形式: y d y = 2 x d x 两边同时积分 ∫ d y y = ∫ 2 x d x l n ∣ y ∣ = x 2 + C 1 最后整理,并化简参数 y = ± e x 2 + C 1 = ± e C 1 × e x 2 = C e x 2 求微分方程 \frac{dy}{dx}=2xy 的通解 \\ 整理成可分离变量形式:ydy=2xdx \\ 两边同时积分∫\frac{dy}{y}=∫2xdx\\ ln|y|=x^2+C_1\\ 最后整理,并化简参数\\ y=±e^{x^2+C1}=±e^{C_1} \times e^{x^{2}}=Ce^{x^{2}}\\ 求微分方程dxdy=2xy的通解整理成可分离变量形式:ydy=2xdx两边同时积分∫ydy=∫2xdxln∣y∣=x2+C1最后整理,并化简参数y=±ex2+C1=±eC1×ex2=Cex2
第三节 齐次方程
如果可以化为如下形式,则是齐次方程
d
y
d
x
=
φ
(
y
x
)
也就是等式右边是一个齐次的,
y
x
同时出现的情况
比如
φ
(
y
x
)
=
y
2
x
2
+
x
y
\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x}) \\ 也就是等式右边是一个齐次的,\frac{y}{x}同时出现的情况 \\ 比如\varphi(\frac{y}{x}) = \frac{y^2}{x^2+xy}
dxdy=φ(xy)也就是等式右边是一个齐次的,xy同时出现的情况比如φ(xy)=x2+xyy2
解法,y=ux然后转化为可分离变量的情况
令
u
=
y
x
,
y
=
u
x
d
y
d
x
=
d
(
u
x
)
d
x
=
(
x
d
u
+
u
d
x
)
d
x
=
x
d
u
d
x
+
u
=
φ
(
u
)
令~u = \frac{y}{x},y = ux\\ \frac{dy}{dx}= \frac{d(ux)}{dx} = \frac{(xdu+udx)}{dx} \\ = x\frac{du}{dx}+u =\varphi(u)
令 u=xy,y=uxdxdy=dxd(ux)=dx(xdu+udx)=xdxdu+u=φ(u)
【练习题】
求 y 2 + x 2 d y d x = x y d y d x 整理得到 d y d x = y 2 − x 2 + x y = ( y x ) 2 − 1 2 + ( y x ) 则 d y d x = u + x d u d x , = u 2 u − 1 得到 ( u − 1 u ) d u = 1 x d x 于是变成了可分离变量的形式 两边同时求积分,得到最终结果 ∫ ( u − 1 u ) d u = ∫ 1 x d x 求\ y^2 + x^2 \frac{dy}{dx} = xy \frac{dy}{dx}\\ 整理得到\frac{dy}{dx} = \dfrac{y^2}{-x^2+xy}=\dfrac{(\dfrac{y}{x})^2}{-1^2+(\dfrac{y}{x})}\\ 则\frac{dy}{dx} = u+x\frac{du}{dx},=\dfrac{u^2}{u-1} \\ 得到(\dfrac{u-1}{u})du = \frac{1}{x}dx \\ 于是变成了可分离变量的形式 \\ 两边同时求积分,得到最终结果 \\ \int (\dfrac{u-1}{u})du =\int \frac{1}{x}dx \\ 求 y2+x2dxdy=xydxdy整理得到dxdy=−x2+xyy2=−12+(xy)(xy)2则dxdy=u+xdxdu,=u−1u2得到(uu−1)du=x1dx于是变成了可分离变量的形式两边同时求积分,得到最终结果∫(uu−1)du=∫x1dx
可化为齐次的方程
如下
d
y
d
x
=
a
x
+
b
y
+
c
m
x
+
n
y
+
q
\frac{dy}{dx} = \frac{ax+by+c}{mx+ny+q}
dxdy=mx+ny+qax+by+c
但是因为分子分母有常数c、q,不能直接变成齐次。
通过x = X+h,y=Y+k代换的方式,消去常数c,q。
令
x
=
X
+
h
,
y
=
Y
+
k
d
Y
d
X
=
a
X
+
b
Y
+
a
h
+
b
k
+
c
m
X
+
n
Y
+
m
h
+
n
k
+
q
令常数项
=
0
得
{
a
h
+
b
k
+
c
=
0
m
h
+
n
k
+
q
=
0
联立方程组解出来
h
和
k
是多少(用行列式的方式)
令\ x = X+h , y = Y+k \\ \frac{dY}{dX} = \frac{aX+bY+ah+bk+c}{mX+nY+mh+nk+q} \\ 令常数项=0 \\ 得\begin{cases} ah+bk+c=0 \\ mh+nk+q=0 \end{cases}\\ 联立方程组解出来h和k是多少(用行列式的方式)\\
令 x=X+h,y=Y+kdXdY=mX+nY+mh+nk+qaX+bY+ah+bk+c令常数项=0得{ah+bk+c=0mh+nk+q=0联立方程组解出来h和k是多少(用行列式的方式)
如果 ∣ a , b m , n ∣ ≠ 0 h = ∣ − c , b − q , n ∣ ∣ a , b m , n ∣ , k = ∣ a , − c m , − q ∣ ∣ a , b m , n ∣ 如果 ∣ a , b m , n ∣ = 0 说明系数成比例 a m = b n = λ 原方程化为 d y d x = a x + b y + c λ ( a x + b y ) + q 令 v = a x + b y a x + b y + c λ ( a x + b y ) + q = v + c λ v + q d y d x = d ( v b − a x b ) d x = 1 b ( d v d x − a ) 1 b ( d v d x − a ) = v + c λ v + q 转化为可分离变量 d v d x = b v + c λ v + q + a 如果\begin{vmatrix} a,b\\ m,n \end{vmatrix}\ne0\\ h=\dfrac {\begin{vmatrix} -c,b\\ -q,n \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a,b\\ m,n \end{vmatrix}}, k=\dfrac {\begin{vmatrix} a,-c\\ m,-q \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a,b\\ m,n \end{vmatrix}}\\ 如果\begin{vmatrix} a,b\\ m,n \end{vmatrix}=0\\ 说明系数成比例\frac{a}{m}=\frac{b}{n}=\lambda \\ 原方程化为\frac{dy}{dx} = \frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+q}\\ 令v=ax+by\\ \frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+q} = \frac{v+c}{\lambda v+q}\\ \frac{dy}{dx}=\frac{d(\dfrac{v}{b}-\dfrac{ax}{b})}{dx}=\frac{1}{b}(\frac{dv}{dx}-a)\\ \frac{1}{b}(\frac{dv}{dx}-a)=\frac{v+c}{\lambda v+q}\\ 转化为可分离变量\\ \frac{dv}{dx}=b\frac{v+c}{\lambda v+q}+a 如果 a,bm,n =0h= a,bm,n −c,b−q,n ,k= a,bm,n a,−cm,−q 如果 a,bm,n =0说明系数成比例ma=nb=λ原方程化为dxdy=λ(ax+by)+qax+by+c令v=ax+byλ(ax+by)+qax+by+c=λv+qv+cdxdy=dxd(bv−bax)=b1(dxdv−a)b1(dxdv−a)=λv+qv+c转化为可分离变量dxdv=bλv+qv+c+a
推广,可以解如下方程
d
y
d
x
=
f
(
a
x
+
b
y
+
c
m
x
+
n
y
+
q
)
\frac{dy}{dx} = f(\frac{ax+by+c}{mx+ny+q})
dxdy=f(mx+ny+qax+by+c)
第四节 一阶线性微分方程
如下形式
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
dxdy+P(x)y=Q(x)
什么是一阶,就是只有一阶导数
什么是线性,就是y的导数们只有一次方,没有 ( y ′ ) 2 (y')^2 (y′)2这种
什么是齐次,就是当Q(x)=0的时候
一阶线性齐次微分方程
如下形式
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
0
\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 \\
dxdy+P(x)y=0
求解,直接转化为可分离变量类型
1
y
d
y
=
−
P
(
x
)
d
x
l
n
∣
y
∣
=
−
∫
P
(
x
)
d
x
y
=
C
×
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
\frac{1}{y}dy = -P(x)dx \\ ln|y| = -\int P(x) dx \\ y = C\times e^{-\int P(x) dx }
y1dy=−P(x)dxln∣y∣=−∫P(x)dxy=C×e−∫P(x)dx
一阶线性非齐次微分方程
如下形式
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \\
dxdy+P(x)y=Q(x)
首先书本没有解释的是,假设一阶线性非齐次为
y
=
u
×
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
y=u\times e^{-\int P(x) dx }
y=u×e−∫P(x)dx
u是关于x的函数,也就是u(x)
齐次方程式结果是 y = C × e − ∫ P ( x ) d x y = C\times e^{-\int P(x) dx } y=C×e−∫P(x)dx
将y换元为
u
×
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
u\times e^{-\int P(x) dx }
u×e−∫P(x)dx
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
d
(
u
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
)
)
d
x
+
P
(
x
)
u
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
=
Q
(
x
)
d
u
d
x
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
+
u
d
(
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
)
d
x
+
P
(
x
)
u
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
=
Q
(
x
)
d
u
d
x
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
+
u
×
−
P
(
x
)
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
+
u
×
P
(
x
)
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
=
Q
(
x
)
∵
u
×
−
P
(
x
)
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
+
u
×
P
(
x
)
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
=
0
消掉了
最终化简得到
d
u
d
x
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
=
Q
(
x
)
再次转化为可分离变量类型
d
u
=
Q
(
x
)
e
∫
P
(
x
)
d
x
d
x
(注意这里
P
(
x
)
的符号变成正的了)
得
u
=
∫
Q
(
x
)
e
∫
P
(
x
)
d
x
d
x
+
C
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \\ \frac{d(u e^{-\int P(x) dx }))}{dx} + P(x)u e^{-\int P(x) dx } = Q(x) \\ \frac{du}{dx}e^{-\int P(x) dx }+u\frac{d(e^{-\int P(x) dx })}{dx}+ P(x)u e^{- \int P(x) dx } = Q(x)\\ \frac{du}{dx}e^{-\int P(x) dx }+u\times -P(x)e^{-\int P(x) dx }+ u\times P(x) e^{-\int P(x) dx } = Q(x)\\ \because u\times -P(x)e^{-\int P(x) dx }+ u\times P(x) e^{-\int P(x) dx }=0消掉了\\ 最终化简得到\ \ \frac{du}{dx}e^{-\int P(x) dx }= Q(x)\\ 再次转化为可分离变量类型\\ du = Q(x)e^{\int P(x) dx }dx\ (注意这里P(x)的符号变成正的了)\\ 得\ u = \int Q(x)e^{\int P(x) dx }dx + C
dxdy+P(x)y=Q(x)dxd(ue−∫P(x)dx))+P(x)ue−∫P(x)dx=Q(x)dxdue−∫P(x)dx+udxd(e−∫P(x)dx)+P(x)ue−∫P(x)dx=Q(x)dxdue−∫P(x)dx+u×−P(x)e−∫P(x)dx+u×P(x)e−∫P(x)dx=Q(x)∵u×−P(x)e−∫P(x)dx+u×P(x)e−∫P(x)dx=0消掉了最终化简得到 dxdue−∫P(x)dx=Q(x)再次转化为可分离变量类型du=Q(x)e∫P(x)dxdx (注意这里P(x)的符号变成正的了)得 u=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C
把求解出来的u代入的假设的y中
∵
y
=
u
×
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
∴
y
=
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
(
∫
Q
(
x
)
e
∫
P
(
x
)
d
x
d
x
+
C
)
\because y=u\times e^{-\int P(x) dx } \\ \therefore y=e^{-\int P(x) dx }(\int Q(x)e^{\int P(x) dx }dx + C)
∵y=u×e−∫P(x)dx∴y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)
注意两个P(x)中,第一个有负号。第二个与Q(x)相乘的这个,没有负号。
【练习题】
求 d y d x = 1 x + y 直接求解不好解,转化不了为标准形式 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) 但是发现,上下颠倒为 d x d y = x + y 可以进一步转化为 d x d y − x = y 换元为 d y d x − y = x 即 P ( x ) = − 1 , Q ( x ) = x 代入公式 y = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ) y = e − ∫ − 1 d x ( ∫ x e ∫ − 1 d x d x + C ) = e x ( ∫ x e x d x + C ) = e x ( e x ( x − 1 ) + C ) 求\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y} \\ 直接求解不好解,转化不了为标准形式 \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \\ 但是发现,上下颠倒为\frac{dx}{dy} = x+y\\ 可以进一步转化为\frac{dx}{dy}-x = y\\ 换元为\frac{dy}{dx}-y = x\\ 即P(x) = -1,Q(x) = x \\ 代入公式\ \ y = e^{- \int P(x)dx} (\int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx+C) \\ y = e^{- \int -1dx} (\int xe^{\int -1dx} dx+C)\\ =e^x(\int xe^xdx+C)\\ =e^x(e^x(x-1)+C) 求dxdy=x+y1直接求解不好解,转化不了为标准形式dxdy+P(x)y=Q(x)但是发现,上下颠倒为dydx=x+y可以进一步转化为dydx−x=y换元为dxdy−y=x即P(x)=−1,Q(x)=x代入公式 y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)y=e−∫−1dx(∫xe∫−1dxdx+C)=ex(∫xexdx+C)=ex(ex(x−1)+C)
伯努利方程
如下形式
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
y
n
(
n
≠
0
,
1
)
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n (n≠0,1) \\
dxdy+P(x)y=Q(x)yn(n=0,1)
求解,两边除以
y
n
y^n
yn,然后转化为一阶线性非齐次微分方程
y
−
n
d
y
d
x
+
y
1
−
n
P
(
x
)
=
Q
(
x
)
令
z
=
y
1
−
n
∴
d
(
y
1
−
n
)
(
1
−
n
)
d
x
+
z
P
(
x
)
=
Q
(
x
)
即
d
z
(
1
−
n
)
d
x
+
z
P
(
x
)
=
Q
(
x
)
即
d
z
d
x
+
z
P
(
x
)
(
1
−
n
)
=
Q
(
x
)
(
1
−
n
)
(
n
≠
0
,
1
)
实际的
P
′
(
x
)
=
P
(
x
)
(
1
−
n
)
,
Q
′
(
x
)
=
Q
(
x
)
(
1
−
n
)
代入得到
z
=
e
−
∫
P
(
x
)
(
1
−
n
)
d
x
(
∫
Q
(
x
)
(
1
−
n
)
e
∫
P
(
x
)
(
1
−
n
)
d
x
d
x
+
C
)
y^{-n}\frac{dy}{dx} + y^{1-n}P(x) = Q(x) \\ 令z = y^{1-n}\\ \therefore \frac{d(y^{1-n})}{(1-n)dx} + zP(x) = Q(x) \\ 即\frac{dz}{(1-n)dx} + zP(x) = Q(x) \\ 即\frac{dz}{dx} + zP(x)(1-n) = Q(x)(1-n) (n≠0,1)\\ 实际的P'(x) = P(x)(1-n),Q'(x) = Q(x)(1-n) \\ 代入得到z =e^{-\int P(x)(1-n) dx }(\int Q(x)(1-n)e^{\int P(x)(1-n) dx }dx + C)
y−ndxdy+y1−nP(x)=Q(x)令z=y1−n∴(1−n)dxd(y1−n)+zP(x)=Q(x)即(1−n)dxdz+zP(x)=Q(x)即dxdz+zP(x)(1−n)=Q(x)(1−n)(n=0,1)实际的P′(x)=P(x)(1−n),Q′(x)=Q(x)(1−n)代入得到z=e−∫P(x)(1−n)dx(∫Q(x)(1−n)e∫P(x)(1−n)dxdx+C)
因为
y
=
z
1
(
n
−
1
)
y = z^{\frac{1}{(n-1)}}
y=z(n−1)1次方,反向求解
y
=
z
1
(
n
−
1
)
y
=
[
e
−
∫
P
(
x
)
(
1
−
n
)
d
x
(
∫
Q
(
x
)
(
1
−
n
)
e
∫
P
(
x
)
(
1
−
n
)
d
x
d
x
+
C
)
]
1
(
n
−
1
)
y = z^{\frac{1}{(n-1)}} \\ y = [ e^{-\int P(x)(1-n) dx }(\int Q(x)(1-n)e^{\int P(x)(1-n) dx }dx + C) ]^{\frac{1}{(n-1)}}
y=z(n−1)1y=[e−∫P(x)(1−n)dx(∫Q(x)(1−n)e∫P(x)(1−n)dxdx+C)](n−1)1
【练习题】
d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n ( n ≠ 0 , 1 ) \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n (n≠0,1) \\ dxdy+P(x)y=Q(x)yn(n=0,1)
求解 d y d x + y x = a ( l n x ) y 2 P ( x ) = 1 / x , Q ( x ) = a l n x 两边除以 y 2 1 y 2 d y d x + 1 x y = a ( l n x ) 令 z = y − 1 y = z − 1 , d y = − z − 2 d z = − y 2 d z 代入得 − d z d x + z x = a ( l n x ) 解得 z = x [ C − a 2 ( l n x ) 2 ] y = 1 / ( x [ C − a 2 ( l n x ) 2 ] ) 求解\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=a(lnx)y^2\\ P(x)=1/x,Q(x)=a\ lnx 两边除以y^2\\ \frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{xy}=a(lnx)\\ 令z=y^{-1}\\ y=z^{-1},dy=-z^{-2}dz=-y^2dz\\ 代入得\ -\frac{dz}{dx}+\frac{z}{x}=a(lnx)\\ 解得z=x[C-\frac a 2 (ln x)^2]\\ y=1/(x[C-\frac a 2 (ln x)^2]) 求解dxdy+xy=a(lnx)y2P(x)=1/x,Q(x)=a lnx两边除以y2y21dxdy+xy1=a(lnx)令z=y−1y=z−1,dy=−z−2dz=−y2dz代入得 −dxdz+xz=a(lnx)解得z=x[C−2a(lnx)2]y=1/(x[C−2a(lnx)2])
第五节 可降阶的高阶微分方程
高阶微分方程没有几个能求解出来的,只有几种特殊情况可以求解出来
情况一 y ( n ) = f ( x ) y^{(n)} = f(x) y(n)=f(x)
如下形式
y
(
n
)
=
f
(
x
)
y^{(n)} = f(x)
y(n)=f(x)
y的n阶导数,等于f(x)。直接开局就是y,x变量分离的情况
求解,多次求积分,直到得到y
【练习题】
y ′ ′ ′ = e 2 x − c o s ( x ) y ′ ′ = 1 2 e 2 x − s i n ( x ) + C 1 y ′ = 1 4 e 2 x + c o s ( x ) + C 1 x + C 2 y = 1 8 e 2 x + s i n ( x ) + 1 2 C 1 x 2 + C 2 x + C 3 (一定要注意常数 C ) y''' = e^{2x}-cos(x) \\ y'' = \frac{1}{2}e^{2x}-sin(x) + C_1 \\ y' = \frac{1}{4}e^{2x}+cos(x) + C_1x + C_2 \\ y = \frac{1}{8}e^{2x}+sin(x) + \frac{1}{2}C_1x^2 + C_2 x + C_3 \\ (一定要注意常数C) y′′′=e2x−cos(x)y′′=21e2x−sin(x)+C1y′=41e2x+cos(x)+C1x+C2y=81e2x+sin(x)+21C1x2+C2x+C3(一定要注意常数C)
情况二 y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y'' = f(x,y') y′′=f(x,y′)
- 也就是没有y,
- 但是阶数只有相邻的两阶,
- 并且可以通过前四节的方法求出 y的导数(如y’)
求解,先求出y的导数,如y’,然后就是情况一,多次求积分得到y
【练习题】
( 1 + x 2 ) y ′ ′ = 2 x y ′ 先尝试一阶线性非齐次微分方程 y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y ′ ′ + − 2 x 1 + x 2 y ′ = 0 y ′ = C e ∫ 2 x 1 + x 2 d x y ′ = C e l n ∣ 1 + x 2 ∣ y ′ = C ∣ 1 + x 2 ∣ 最终 y = C 1 ( 1 3 x 3 + x + C 2 ) (1+x^2)y'' = 2xy' \\ 先尝试一阶线性非齐次微分方程\ y' + P(x)y = Q(x) \\ y'' + \frac{-2x}{1+x^2}y'=0 \\ y' = C e^{\int{\dfrac{2x}{1+x^2}} dx }\\ y' = C e^{ln|1+x^2| }\\ y' = C |1+x^2| \\ 最终\ y = C_1(\frac{1}{3}x^3+x+C_2) \\ (1+x2)y′′=2xy′先尝试一阶线性非齐次微分方程 y′+P(x)y=Q(x)y′′+1+x2−2xy′=0y′=Ce∫1+x22xdxy′=Celn∣1+x2∣y′=C∣1+x2∣最终 y=C1(31x3+x+C2)
情况三 y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y'' = f(y,y') y′′=f(y,y′)
- 有未知数y、y’、y‘’
- 没有x
求解,令y’=p然后求解出y’,
y
′
=
p
即
y
′
(
x
)
=
p
(
x
)
y
′
′
=
d
y
′
d
x
=
d
(
p
(
x
)
)
d
x
=
d
p
d
y
×
d
y
d
x
y
′
′
=
d
p
d
y
y
′
=
d
p
d
y
p
y'=p\\ 即\ y'(x)=p(x)\\ y'' = \frac{dy'}{dx} = \frac{d(p(x))}{dx} = \frac{dp}{dy} \times \frac{dy}{dx} \\ y'' =\frac{dp}{dy} y' =\frac{dp}{dy} p
y′=p即 y′(x)=p(x)y′′=dxdy′=dxd(p(x))=dydp×dxdyy′′=dydpy′=dydpp
于是就转化为一阶线性非齐次微分方程
d
p
d
y
p
=
f
(
y
,
p
)
d
p
d
y
+
P
(
y
)
p
=
Q
(
y
)
\frac{dp}{dy} p = f(y,p)\\ \frac{dp}{dy} + P(y)p = Q(y)
dydpp=f(y,p)dydp+P(y)p=Q(y)
【练习题】
y
⋅
y
′
′
−
(
y
′
)
2
=
0
换元为
p
y
⋅
d
p
d
y
p
−
p
2
=
0
d
p
d
y
−
1
y
p
=
0
(
p
,
y
≠
0
)
y
′
=
p
=
e
−
∫
1
y
d
y
=
C
1
y
d
y
d
x
=
C
1
y
l
n
∣
y
∣
=
C
1
x
+
C
2
y
=
e
C
1
x
+
C
2
y·y''-(y')^2 = 0 \\ 换元为p \\ y·\frac{dp}{dy}p - p^2=0 \\ \frac{dp}{dy} - \frac{1}{y}p=0 (p,y≠0)\\ y' = p = e^{- \int \frac{1}{y} dy} = C_1y \\ \frac{dy}{dx} = C_1 y \\ ln|y| = C_1x + C_2 \\ y = e^{C_1x + C_2}
y⋅y′′−(y′)2=0换元为py⋅dydpp−p2=0dydp−y1p=0(p,y=0)y′=p=e−∫y1dy=C1ydxdy=C1yln∣y∣=C1x+C2y=eC1x+C2
注意讨论p和y不为0的时候
若
p
=
0
,得出
y
=
0
若p = 0,得出y=0
若p=0,得出y=0
第六节 高阶线性微分方程
使用二阶方程来推导定理,定理可以推广到n阶方程中
二阶线性齐次方程
y
′
′
+
P
(
x
)
y
′
+
Q
(
x
)
=
0
二阶线性非齐次方程
y
′
′
+
P
(
x
)
y
′
+
Q
(
x
)
=
f
(
x
)
(
f
(
x
)
不恒为
0
)
n
阶线性方程
y
(
n
)
+
a
n
−
1
(
x
)
y
(
n
−
1
)
+
⋯
+
a
1
(
x
)
y
(
1
)
+
a
0
(
x
)
y
=
f
(
x
)
(
f
(
x
)
不恒为
0
)
二阶线性齐次方程\ y''+P(x)y'+Q(x)=0\\ 二阶线性非齐次方程\ y''+P(x)y'+Q(x)=f(x)(f(x)不恒为0)\\ n阶线性方程\ y^{(n)}+ a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+ a_{1}(x)y^{(1)}+ a_{0}(x)y=f(x)(f(x)不恒为0)\\
二阶线性齐次方程 y′′+P(x)y′+Q(x)=0二阶线性非齐次方程 y′′+P(x)y′+Q(x)=f(x)(f(x)不恒为0)n阶线性方程 y(n)+an−1(x)y(n−1)+⋯+a1(x)y(1)+a0(x)y=f(x)(f(x)不恒为0)
定理1
解的线性组合还是齐次方程的解。如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)与 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)是二阶齐次方程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) = 0 y''+P(x)y'+Q(x)=0 y′′+P(x)y′+Q(x)=0的两个解,那么 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)也是二阶齐次方程的解,其中 C1,C2 是任意常数
函数组的线性无关:对于函数y,存在n个不全为0的系k使得 k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋯ + k n y n = 0 k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}+\cdots+k_{n}y_{n}=0 k1y1+k2y2+⋯+knyn=0则称为线性相关。如果k全为0,则线性无关。线性相关即至少一个函数,可以被其他函数线性表示。
比如: 1 , c o s 2 ( x ) , s i n 2 ( x ) 1,cos^2(x),sin^2(x) 1,cos2(x),sin2(x)线性相关。 1 − c o s 2 ( x ) − s i n 2 ( x ) = 0 1-cos^2(x)-sin^2(x)=0 1−cos2(x)−sin2(x)=0线性k取(1,-1,-1)不全为0。
定理2
如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)与 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)是二阶齐次方程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) = 0 y''+P(x)y'+Q(x)=0 y′′+P(x)y′+Q(x)=0的两个线性无关的特解,那么 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)就是二阶齐次方程的通解,其中 ,C1,C2 为任意常数
比如 s i n ( x ) , c o s ( x ) sin(x),cos(x) sin(x),cos(x)是方程 y ′ ′ + y = 0 y''+y=0 y′′+y=0的解,因为 s i n x c o s x = t a n x ≠ 常数 \dfrac{sinx}{cosx}=tanx \ne 常数 cosxsinx=tanx=常数所以线性无关。所以 y = C 1 s i n ( x ) + C 2 c o s ( x ) y=C_1sin(x)+C_2cos(x) y=C1sin(x)+C2cos(x)是通解
接下来来介绍非齐次方程的解的结构
定理3
设 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)是二阶非齐次线性方程$ y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)(1) 的一个特解, 的一个特解, 的一个特解, Y(x) 是与方程 ( 1 ) 对应的齐次方程 是与方程(1)对应的齐次方程 是与方程(1)对应的齐次方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0(2) 的通解,则 的通解,则 的通解,则 y=Y(x)+y^*(x) $是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解
尝试把上述的y代入,得到左式为 [ Y ″ + P ( x ) Y ′ + Q ( x ) Y ] + [ y ∗ ″ + P ( x ) y ∗ ′ + Q ( x ) y ∗ ] [Y″+P(x)Y′+Q(x)Y]+[y^*″+P(x)y^*′+Q(x)y^*] [Y″+P(x)Y′+Q(x)Y]+[y∗″+P(x)y∗′+Q(x)y∗]前一项=0,后一项=f因此y确实是非齐次方程的解。
定理4
(又称微分方程解的叠加原理)
函数 y 1 ∗ ( x ) y_{1}^{*}(x) y1∗(x)是方程 y ″ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) y″+P(x)y′+Q(x)y=f_1(x) y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)的特解, y 2 ∗ ( x ) y_{2}^{*}(x) y2∗(x)是方程 y ″ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 2 ( x ) y″+P(x)y′+Q(x)y=f_2(x) y″+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)的特解,则 y 1 ∗ ( x ) + y 2 ∗ ( x ) y_{1}^{*}(x)+y_{2}^{*}(x) y1∗(x)+y2∗(x)就是 y ″ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) y″+P(x)y′+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x) y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)的特解
上述四个定理都可以推广到n维
⭐常数变易法
之前用来求解一阶线性非齐次方程
第七节 常系数齐次线性微分方程
二阶
先讨论二阶方程,再推广到n阶
y
′
′
+
P
(
x
)
y
′
+
Q
(
x
)
y
=
0
y''+ P(x)y'+Q(x)y=0
y′′+P(x)y′+Q(x)y=0
如果所有变量的系数P(x)、Q(x)是不是常数,则称为二阶变系数齐次微分方程
如果所有变量的系数P(x)、Q(x)是常数p、q,则称为二阶常系数齐次微分方程,如下形式,
y
″
+
p
y
′
+
q
y
=
0
y″+py′+qy=0
y″+py′+qy=0
书上写到函数 y = e r x y=e^{rx} y=erx具有独特的性质, y ( n ) = r n e r x y^{(n)}=r^{n}e^{rx} y(n)=rnerx各阶导数之间只有常数因子 r n r^{n} rn不同。如果把它代入上述方程,发现得到 ( r 2 + p r + q ) e r x = 0 (r^2+pr+q)e^{rx}=0 (r2+pr+q)erx=0因为 e r x ≠ 0 e^{rx} \ne 0 erx=0,所以只要关于系数r的方程 ( r 2 + p r + q ) = 0 (r^2+pr+q)=0 (r2+pr+q)=0,就能找到一个r0使得 e r 0 x e^{r_0x} er0x满足这个方程。
也就是说,只需要找一个特殊的系数r,即可找到方程的解。感觉还挺简单的。
上述的 ( r 2 + p r + q ) (r^2+pr+q) (r2+pr+q)就称为,方程的特征方程
解法
看特征方程根的分类,直接代入公式即可。特征方程和二次方程的求根公式差不多
特征方程如下
r
2
+
p
r
+
q
=
0
r^2 + pr +q =0\\
r2+pr+q=0
①两个不同解
若
Δ
=
p
2
−
4
q
>
0
r
1
=
−
p
+
p
2
−
4
q
2
,
r
2
=
−
p
−
p
2
−
4
q
2
则
y
=
C
1
e
r
1
x
+
C
2
e
r
2
x
若\Delta = p^2-4q>0\\ r_1 = \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}, r_2 = \frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}\\ 则\ y=C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} \\
若Δ=p2−4q>0r1=2−p+p2−4q,r2=2−p−p2−4q则 y=C1er1x+C2er2x
意味着有两个解
y
1
=
e
r
1
x
y_1=e^{r_1x}
y1=er1x和
y
2
=
e
r
2
x
y_2=e^{r_2x}
y2=er2x满足方程。对于二阶方程而言,这两个线性无关的解,恰好组成了方程的通解。
②相同解
若
Δ
=
p
2
−
4
q
=
0
r
1
=
r
2
=
−
p
2
则
y
=
(
C
1
+
C
2
x
)
e
r
1
x
若\Delta = p^2-4q=0 \\ r_1 = r_2 = \frac{-p}{2}\\ 则\ y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}\\
若Δ=p2−4q=0r1=r2=2−p则 y=(C1+C2x)er1x
只能得到一个解
y
1
=
e
r
1
x
y_1=e^{r_1x}
y1=er1x因为需要两个线性无关的解,即满足两个解相除不为常数
y
1
y
2
=
u
(
x
)
\dfrac{y_1}{y_2}=u(x)
y2y1=u(x),
y
2
=
u
(
x
)
e
r
1
x
y_2=u(x)e^{r_1x}
y2=u(x)er1x此时把
y
2
y_2
y2。
y
2
=
u
e
r
1
x
,
y
2
′
=
u
′
e
r
1
x
+
r
1
u
e
r
1
x
y
2
′
′
=
u
′
′
e
r
1
x
+
2
r
1
u
′
e
r
1
x
+
r
1
2
u
e
r
1
x
代入得
e
r
1
x
[
u
(
r
1
2
+
p
r
1
+
q
)
+
u
′
(
2
r
1
+
p
)
+
u
′
′
]
r
1
=
−
p
2
,所以
(
r
1
2
+
p
r
1
+
q
)
=
0
,
(
2
r
1
+
p
)
=
0
得到
u
′
′
=
0
y_2=ue^{r_1x},y_2'=u' e^{r_1x}+r_1ue^{r_1x}\\ y_2''=u'' e^{r_1x}+2r_1 u' e^{r_1x}+r_1^2ue^{r_1x}\\ 代入得e^{r_1x}[u(r_1^2 + pr_1 +q)+u'(2r_1 + p)+u'']\\ r_1=-\frac{p}{2},所以(r_1^2 + pr_1 +q)=0,(2r_1 + p)=0\\ 得到u''=0
y2=uer1x,y2′=u′er1x+r1uer1xy2′′=u′′er1x+2r1u′er1x+r12uer1x代入得er1x[u(r12+pr1+q)+u′(2r1+p)+u′′]r1=−2p,所以(r12+pr1+q)=0,(2r1+p)=0得到u′′=0
满足
u
′
′
=
0
u''=0
u′′=0的函数很多,我们需要构造的函数u只需要满足
u
≠
常数
,
u
′
′
=
0
u\ne 常数,u''=0
u=常数,u′′=0,选择一个简单的函数
u
(
x
)
=
x
u(x)=x
u(x)=x
故最后得到两个线性无关的解 y 1 = e r 1 x y_1=e^{r_1x} y1=er1x和 y 2 = x e r 2 x y_2=xe^{r_2x} y2=xer2x。
通解 y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x y=(C_1+C_2x)e^{r_1x} y=(C1+C2x)er1x
③虚数解
若 Δ = p 2 − 4 q > 0 r 1 = α + β i , r 2 = α − β i 则 y = e α x ( C 1 c o s ( β x ) + C 2 s i n ( β x ) ) 若\Delta = p^2-4q>0\\ r_1 = \alpha + \beta i, r_2 = \alpha - \beta i\\ 则\ y=e^{\alpha x}(\ C_1 cos(\beta x) + C_2 sin(\beta x)\ ) 若Δ=p2−4q>0r1=α+βi,r2=α−βi则 y=eαx( C1cos(βx)+C2sin(βx) )
虚数解的原理比较特别。实际上,因为两个虚数解不相同,得到解线性无关。因此可以直接作为方程的解。但是为了得到实数解做了一定的转化。
共轭关系:基本性质就是实部相等,虚部相反。相加除以二是实部,相减除以二是虚部。
首先得到两个解
y
1
=
e
α
+
β
i
和
y
2
=
e
α
−
β
i
先使用欧拉公式
e
i
θ
=
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
进行变换
得
y
1
=
e
α
e
β
i
=
e
α
(
c
o
s
β
+
i
s
i
n
β
)
和
y
2
=
e
α
(
c
o
s
β
−
i
s
i
n
β
)
这个时候
y
1
和
y
2
满足共轭关系,
y
2
=
y
ˉ
1
。
(
W
h
y
?
要进行欧拉公式这一步,因为原来的
r
1
,
r
2
虽然共轭,但是函数
y
1
,
y
2
不共轭。欧拉公式之后就共轭了)
因为共轭关系下,相加除以二是实部,相减除以二是虚部。
令
Y
1
=
y
1
+
y
2
2
=
e
α
c
o
s
β
Y
2
=
y
1
−
y
2
2
i
=
e
α
s
i
n
β
这样就得到了实数函数
Y
1
,
Y
2
Y
1
,
Y
2
是
y
1
,
y
2
的线性组合,同时线性无关,因此
Y
1
,
Y
2
是方程的通解
首先得到两个解y_1=e^{\alpha+\beta i}和y_2=e^{\alpha-\beta i}\\ 先使用欧拉公式e^{i \theta}=cos \theta+i\ sin\theta进行变换\\ 得y_1=e^{\alpha}e^{\beta i}=e^{\alpha}(cos \beta+i\ sin\beta)和y_2=e^{\alpha}(cos \beta-i \ sin\beta)\\ 这个时候y_1和y_2满足共轭关系,y_2=\bar y_1。\\ (Why?要进行欧拉公式这一步,因为原来的r_1,r_2虽然共轭,但是函数y_1,y_2不共轭。欧拉公式之后就共轭了)\\ 因为共轭关系下,相加除以二是实部,相减除以二是虚部。\\ 令Y_1=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{\alpha}cos \beta\\ Y_2=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{\alpha}sin\beta\\ 这样就得到了实数函数Y_1,Y_2\\ Y_1,Y_2是y_1,y_2的线性组合,同时线性无关,因此Y_1,Y_2是方程的通解
首先得到两个解y1=eα+βi和y2=eα−βi先使用欧拉公式eiθ=cosθ+i sinθ进行变换得y1=eαeβi=eα(cosβ+i sinβ)和y2=eα(cosβ−i sinβ)这个时候y1和y2满足共轭关系,y2=yˉ1。(Why?要进行欧拉公式这一步,因为原来的r1,r2虽然共轭,但是函数y1,y2不共轭。欧拉公式之后就共轭了)因为共轭关系下,相加除以二是实部,相减除以二是虚部。令Y1=2y1+y2=eαcosβY2=2iy1−y2=eαsinβ这样就得到了实数函数Y1,Y2Y1,Y2是y1,y2的线性组合,同时线性无关,因此Y1,Y2是方程的通解
【练习题】
直接判断之后代入公式
求解
y
′
′
−
2
y
′
−
3
y
=
0
符合
y
″
+
p
y
′
+
q
y
=
0
特征方程为
r
2
−
2
r
−
3
=
0
Δ
=
p
2
−
4
q
=
4
+
12
>
0
r
1
=
−
p
+
p
2
−
4
q
2
=
2
+
16
2
=
3
,
r
2
=
−
1
最终
y
=
C
1
e
3
x
−
C
2
e
x
求解y''-2y'-3y=0\\ 符合y″+py′+qy=0\\ 特征方程为r^2 - 2r - 3 = 0 \\ \Delta = p^2-4q = 4+12>0\\ r_1 = \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2} = \frac{2+\sqrt{16}}{2}=3, r_2 = -1\\ 最终\ y=C_1e^{3x} - C_2e^{x}
求解y′′−2y′−3y=0符合y″+py′+qy=0特征方程为r2−2r−3=0Δ=p2−4q=4+12>0r1=2−p+p2−4q=22+16=3,r2=−1最终 y=C1e3x−C2ex
n阶
n阶 常系数 齐次 线性 微分方程的表达式如下
y
(
n
)
+
a
n
−
1
y
(
n
−
1
)
+
⋯
+
a
1
y
(
1
)
+
a
0
y
=
0
y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}y^{(1)}+a_{0}y=0\\
y(n)+an−1y(n−1)+⋯+a1y(1)+a0y=0
特征方程为
r
n
+
a
n
−
1
r
n
−
1
+
⋯
+
a
1
r
+
a
0
=
0
r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_{1}r+a_{0}=0\\
rn+an−1rn−1+⋯+a1r+a0=0
【练习题】
y ( 4 ) − 2 y ( 3 ) + 5 y ( 2 ) = 0 y = C 1 + C 2 x + ( C 3 c o s 2 x + C 4 s i n 2 x ) e x y^{(4)}-2y^{(3)}+5y^{(2)}=0\\ y=C_1+C_2x+(C_3 cos 2x + C_4 sin 2x)e^x y(4)−2y(3)+5y(2)=0y=C1+C2x+(C3cos2x+C4sin2x)ex
第八节 常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式:
y
″
+
p
y
′
+
q
y
=
f
(
x
)
(
p
,
q
是常数
,
f
(
x
)
≠
0
)
y″+py′+qy=f(x) (p,q 是常数,f(x) \ne 0)
y″+py′+qy=f(x)(p,q是常数,f(x)=0)
第六节定理3,告诉我们非齐次方程的通解=齐次方程的通解+特解
书上只介绍 f ( x ) f(x) f(x)取两种特殊形式的时候,求特解的方法。
这种方法叫待定系数法,特点是不需要积分就能求出特解 y ∗ y^* y∗
情况一 f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x)=e^{\lambda x}P_m(x) f(x)=eλxPm(x)
P m ( x ) P_m(x) Pm(x)指的是m次多项式 a m x m + a m − 1 x m − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_0 amxm+am−1xm−1+⋯+a1x+a0
y ″ + p y ′ + q y = e λ x P m ( x ) y″+py′+qy=e^{\lambda x}P_m(x) y″+py′+qy=eλxPm(x)
书上说,推测
y
∗
=
R
(
x
)
e
λ
x
y^*=R(x)e^{\lambda x}
y∗=R(x)eλx是方程的解,R(x)是某个多项式
y
∗
=
e
λ
x
R
(
x
)
y
∗
′
=
e
λ
x
[
λ
R
(
x
)
+
R
′
(
x
)
]
y
∗
′
′
=
e
λ
x
[
λ
2
R
(
x
)
+
2
λ
R
′
(
x
)
+
R
′
′
(
x
)
]
代入得
e
λ
x
{
[
λ
2
R
(
x
)
+
2
λ
R
′
(
x
)
+
R
′
′
(
x
)
]
+
p
[
λ
R
(
x
)
+
R
′
(
x
)
]
+
q
R
(
x
)
}
=
e
λ
x
P
m
(
x
)
消去
e
λ
x
R
(
x
)
(
λ
2
+
p
λ
+
q
)
+
R
′
(
x
)
(
2
λ
+
p
)
+
R
′
′
(
x
)
=
P
m
(
x
)
y^*=e^{\lambda x}R(x)\\ y^{*}{'}=e^{\lambda x}[\lambda R(x)+R'(x)]\\ y^*{''}=e^{\lambda x}[\lambda^2 R(x)+2\lambda R'(x)+R''(x)]\\ 代入得e^{\lambda x}\{[\lambda^2 R(x)+2\lambda R'(x)+R''(x)] + p[\lambda R(x)+R'(x)] + qR(x)\}=e^{\lambda x}P_m(x)\\ 消去e^{\lambda x}\\ R(x)(\lambda^2 +p\lambda +q) + R'(x)(2\lambda+p) + R''(x)=P_m(x)
y∗=eλxR(x)y∗′=eλx[λR(x)+R′(x)]y∗′′=eλx[λ2R(x)+2λR′(x)+R′′(x)]代入得eλx{[λ2R(x)+2λR′(x)+R′′(x)]+p[λR(x)+R′(x)]+qR(x)}=eλxPm(x)消去eλxR(x)(λ2+pλ+q)+R′(x)(2λ+p)+R′′(x)=Pm(x)
①
λ
\lambda
λ不是方程的根,
λ
2
+
p
λ
+
q
≠
0
\lambda^2 +p\lambda +q \ne 0
λ2+pλ+q=0
R ( x ) R(x) R(x)与 P m P_m Pm同阶,因此R(x)是一个m阶多项式
可以令 R ( x ) = R m ( x ) ( R m = b m x m + b m − 1 x m − 1 + ⋯ + b 1 x + b 0 ) R(x)=R_m(x)(R_m=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{1}x+b_0) R(x)=Rm(x)(Rm=bmxm+bm−1xm−1+⋯+b1x+b0)
通过比较 x i x^i xi的系数,求出 b i b_i bi的值
② λ \lambda λ是方程的单次根, λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2 +p\lambda +q = 0 λ2+pλ+q=0,但是 2 λ + p ≠ 0 2\lambda+p\ne0 2λ+p=0
R ( x ) R(x) R(x)被消掉了, R ′ ( x ) R'(x) R′(x)与 P m P_m Pm同阶,因此R(x)是一个m+1阶多项式
可以令 R ( x ) = x R m ( x ) R(x)=xR_m(x) R(x)=xRm(x),通过比较 x i x^i xi的系数,求出 b i b_i bi的值
③ λ \lambda λ不是方程的重根, λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2 +p\lambda +q = 0 λ2+pλ+q=0,同时 λ + p = 0 \lambda+p=0 λ+p=0
R ( x ) 、 R ′ ( x ) R(x)、R'(x) R(x)、R′(x)都被消掉了, R ′ ′ ( x ) R''(x) R′′(x)与 P m P_m Pm同阶,因此R(x)是一个m+2阶多项式
可以令 R ( x ) = x 2 R m ( x ) R(x)=x^2R_m(x) R(x)=x2Rm(x),通过比较 x i x^i xi的系数,求出 b i b_i bi的值
【练习题】
求 y ″ − 2 y ′ − 3 y = 3 x + 1 的一个特解 求y″−2y′−3y=3x+1的一个特解\\ 求y″−2y′−3y=3x+1的一个特解
先写出已知条件 p = − 2 , q = − 3 , λ = 0 , P m ( x ) 为一次多项式 ∵ λ = 0 不是特征方程 r 2 − 2 r − 3 = 0 的根 ∴ y ∗ = a x + b 代入得 − 3 a x − 2 a − 3 b = 3 x + 1 { − 3 a = 3 − ( 2 a + 3 b ) = 1 解得 { a = − 1 b = 1 先写出已知条件 p=−2 , q=−3 , λ=0 ,P_m(x) 为一次多项式\\ \because λ=0 不是特征方程 r^2−2r−3=0 的根\\ \therefore y^∗=ax+b\\ 代入得 −3ax−2a−3b=3x+1 \\ \begin{cases} -3a=3\\ -(2a+3b)=1 \end{cases}\\ 解得\begin{cases} a=-1\\ b=1 \end{cases}\\\\ 先写出已知条件p=−2,q=−3,λ=0,Pm(x)为一次多项式∵λ=0不是特征方程r2−2r−3=0的根∴y∗=ax+b代入得−3ax−2a−3b=3x+1{−3a=3−(2a+3b)=1解得{a=−1b=1
情况二 f ( x ) = e λ x [ P m ( x ) c o s ω x + Q n ( x ) s i n ω x ] f(x)=e^{\lambda x}[P_m(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x] f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Qn(x)sinωx]
方程如下
y
″
+
p
y
′
+
q
y
=
e
λ
x
[
P
m
(
x
)
c
o
s
ω
x
+
Q
n
(
x
)
s
i
n
ω
x
]
y″+py′+qy=e^{\lambda x}[P_m(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x]
y″+py′+qy=eλx[Pm(x)cosωx+Qn(x)sinωx]文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-714481.html
特解
y
∗
=
x
k
e
λ
x
(
R
l
(
1
)
(
x
)
c
o
s
ω
x
+
R
l
(
2
)
(
x
)
s
i
n
ω
x
)
l
=
m
a
x
{
m
,
n
}
R
l
(
1
)
、
R
l
(
2
)
是
l
阶多项式
k
是特征方程中含根
λ
+
ω
i
(
或
λ
−
ω
i
)
的重数
y^*=x^{k}e^{\lambda x}(R_{l}^{(1)}(x)cos \omega x+R_{l}^{(2)}(x) sin \omega x )\\ l=max\{m,n\}\\ R_{l}^{(1)}、R_{l}^{(2)}是l阶多项式\\ k是特征方程中含根\lambda + \omega i(或\lambda - \omega i)的重数
y∗=xkeλx(Rl(1)(x)cosωx+Rl(2)(x)sinωx)l=max{m,n}Rl(1)、Rl(2)是l阶多项式k是特征方程中含根λ+ωi(或λ−ωi)的重数文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-714481.html
i 的系数,求出 的系数,求出 的系数,求出b_i$的值
【练习题】
求 y ″ − 2 y ′ − 3 y = 3 x + 1 的一个特解 求y″−2y′−3y=3x+1的一个特解\\ 求y″−2y′−3y=3x+1的一个特解
先写出已知条件 p = − 2 , q = − 3 , λ = 0 , P m ( x ) 为一次多项式 ∵ λ = 0 不是特征方程 r 2 − 2 r − 3 = 0 的根 ∴ y ∗ = a x + b 代入得 − 3 a x − 2 a − 3 b = 3 x + 1 { − 3 a = 3 − ( 2 a + 3 b ) = 1 解得 { a = − 1 b = 1 先写出已知条件 p=−2 , q=−3 , λ=0 ,P_m(x) 为一次多项式\\ \because λ=0 不是特征方程 r^2−2r−3=0 的根\\ \therefore y^∗=ax+b\\ 代入得 −3ax−2a−3b=3x+1 \\ \begin{cases} -3a=3\\ -(2a+3b)=1 \end{cases}\\ 解得\begin{cases} a=-1\\ b=1 \end{cases}\\\\ 先写出已知条件p=−2,q=−3,λ=0,Pm(x)为一次多项式∵λ=0不是特征方程r2−2r−3=0的根∴y∗=ax+b代入得−3ax−2a−3b=3x+1{−3a=3−(2a+3b)=1解得{a=−1b=1
情况二 f ( x ) = e λ x [ P m ( x ) c o s ω x + Q n ( x ) s i n ω x ] f(x)=e^{\lambda x}[P_m(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x] f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Qn(x)sinωx]
方程如下
y
″
+
p
y
′
+
q
y
=
e
λ
x
[
P
m
(
x
)
c
o
s
ω
x
+
Q
n
(
x
)
s
i
n
ω
x
]
y″+py′+qy=e^{\lambda x}[P_m(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x]
y″+py′+qy=eλx[Pm(x)cosωx+Qn(x)sinωx]
特解
y
∗
=
x
k
e
λ
x
(
R
l
(
1
)
(
x
)
c
o
s
ω
x
+
R
l
(
2
)
(
x
)
s
i
n
ω
x
)
l
=
m
a
x
{
m
,
n
}
R
l
(
1
)
、
R
l
(
2
)
是
l
阶多项式
k
是特征方程中含根
λ
+
ω
i
(
或
λ
−
ω
i
)
的重数
y^*=x^{k}e^{\lambda x}(R_{l}^{(1)}(x)cos \omega x+R_{l}^{(2)}(x) sin \omega x )\\ l=max\{m,n\}\\ R_{l}^{(1)}、R_{l}^{(2)}是l阶多项式\\ k是特征方程中含根\lambda + \omega i(或\lambda - \omega i)的重数
y∗=xkeλx(Rl(1)(x)cosωx+Rl(2)(x)sinωx)l=max{m,n}Rl(1)、Rl(2)是l阶多项式k是特征方程中含根λ+ωi(或λ−ωi)的重数
到了这里,关于【高数笔记】第七章 微分方程的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!