线性代数｜定义：行阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形-Toy模板网

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前置知识：

【定义】矩阵
【定义】矩阵初等变换和矩阵等价

定义 1（行阶梯形矩阵）　非零矩阵若满足：

非零行在零行的上面；
非零行的首非零元在列的上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的后面；

则称此矩阵为行阶梯形矩阵。

例如，下面的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 就是一个行阶梯形矩阵。
$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$
定义 2（行最简形矩阵）　若行阶梯形矩阵满足：

非零行的首非零元为 $1$ ；
首非零元所在的列的其他元均为 $0$

则称此矩阵为行最简形矩阵。

例如，下面的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 就是一个行最简形矩阵。
$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$
定理 1　对于任何非零矩阵 $\boldsymbol{m \times n}$ ，总可经有限次初等行变换将它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。

证明　首先证明对于任何非零矩阵 $\boldsymbol{m \times n}$ ，总可经有限次初等行变换将它变为行阶梯形矩阵。

不妨设有 $\times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，不妨设其第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $a_{ij}$ 。

首先对第 $1$ 列进行如下处理。若第 $1$ 列中的元素全部为 $0$ ，则没有非零行的首非零元处于第 $1$ 列。若第 $1$ 列中的元素不全为 $0$ ，则进行如下操作：

通过 “对换两行” 的操作，将第 $1$ 列的元素不为 $0$ 的行对换到第 $1$ 行；

通过 “将第 $1$ 行所有元的 $k$ 倍加到另一行对应的元上去” 的操作，令第 $i$ 行（ $\ne 1$ ）加上第 $1$ 行所有元的 $\frac{a_{i1}}{a_{11}}$ 倍，从而使除第 $1$ 行外其他行第 $1$ 列的元素均为 $0$ 。

通过上述处理，可以保证第 $1$ 列最多只有第 $1$ 行一个非零元。接着一次对第 $2,3,\cdots,n$ 列均进行上述处理。处理后的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足：

每一行的首非零元一定在上一行（如果存在的话）的首非零元的列的右侧；

如果有非零行的话，一定在矩阵的最下面；

因此矩阵 $\boldsymbol{B}$ 为行阶梯形矩阵。

类似地，可以证明对于任何非零矩阵 $\boldsymbol{m \times n}$ ，总可经有限次初等行变换将它变为行最简形矩阵。

定义 3（标准形）　如果一个行最简形矩阵满足：

左上角是一个单位矩阵；
其他元全为 $0$ ；

则此矩阵称为标准形。

例如，下面的矩阵 $\boldsymbol{F}$ 就是标准形矩阵。
$\boldsymbol{F} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$
定理 2　对于 $\times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，总可经过有限次初等变换将它化为标准形
$\boldsymbol{F} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{E}_r & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O} \end{pmatrix}_{m \times n}$
此标准形由 $m, n, r$ 三个数完全确定，其中 $r$ 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。