性质 1 若 λ \lambda λ 是 A \boldsymbol{A} A 的特征值，当 A \boldsymbol{A} A 可逆时， 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1 是 A − 1 \boldsymbol{A}^{-1} A−1 的特征值。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-715194.html
证明 因为 λ \lambda λ 是 A \boldsymbol{A} A 的特征值，所以有 p ≠ 0 \boldsymbol{p} \ne 0 p=0 使 A p = λ p \boldsymbol{A} \boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{p} Ap=λp。于是，当 A \boldsymbol{A} A 可逆时，因为 A p = λ p \boldsymbol{A} \boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{p} Ap=λp，所以
p = λ A − 1 p \boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{p} p=λA−1p
因为 p ≠ 0 \boldsymbol{p} \ne 0 p=0，所以 λ ≠ 0 \lambda \ne 0 λ=0。从而上式两边可以同除 λ \lambda λ，有
A − 1 p = 1 λ p = λ − 1 p \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{p} = \frac{1}{\lambda} \boldsymbol{p} = \lambda^{-1} \boldsymbol{p} A−1p=λ1p=λ−1p
从而 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1 是 A − 1 \boldsymbol{A}^{-1} A−1 的特征值。得证。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-715194.html
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