【考研数学】数学“背诵”手册 | 需要记忆且容易遗忘的知识点-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了【考研数学】数学“背诵”手册 | 需要记忆且容易遗忘的知识点。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

引言

复习到后期，去做到前面内容的题目时，有一些需要记忆的结论就比较模糊，比如微分方程的特解形式、施密特正交、各种分布的概率密度等等。我便把这些模糊的点都记录下来了，整理在一起，方便随时查阅

一、高数

常见泰勒展开

基本形式： $f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$ 常见展开式： $\pmb{e^x}= 1+x+\frac{1}{2}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\cdots,-\infty<x<+\infty.$ $\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots,-1<x\leq1.$ $\pmb{\sin x}=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots,-\infty<x<+\infty.$ $\cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots,-\infty<x<+\infty.$ $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots,-1<x<1.$ $1−x1 \pmb{\frac{1}{1-x}}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots,-1<x<1.$

n n n 阶导数公式、曲率

分数 $1/ (a x + b)$ 的 $n$ 阶导数： $\big(\frac{1}{ax+b}\big)^{(n)}=(-1)^n\frac{a^nn!}{(ax+b)^{n+1}}$ $(\sin{x})^{(n)}=\sin{(x+\frac{n\pi}{2})},(\cos{x})^{(n)}=\cos{(x+\frac{n\pi}{2})}$

曲率与曲率半径： $k=\frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{\frac{3}{2}}},R=\frac{1}{k}$

不可导点的判断方法

对于 $F (x) = g (x) ∣ f (x) ∣$ 型的函数，判断在某点 $x_0$ 处 $f (x), g (x)$ 可导但 $F (x)$ 不可导方法为：

不可导点只可能在 $f (x)$ 零点中，因此首先求出 $f (x)$ 零点；
满足下列条件，就说明在 $x_0$ 处 $F (x)$ 不可导： $\begin{cases} f(x_0)=0\\ f'(x_0)\ne0\\ g(x_0)\ne0 \end{cases}$

这样方法的一个原理为：一般 $f (x)$ 在某点 $x_0$ 处可导， $f^{'} (x)$ 在该点处均可导，只有一种情况下不可导，那就是 $f'(x_0)\ne0$ 时。

多元微分函数连续、可微、连续可偏导之间的关系

【考研数学】数学“背诵”手册 | 需要记忆且容易遗忘的知识点,# 数学一,线性代数,考研数学,数学“背诵”手册,高数,概率论与梳理统计,易忘知识点
一元函数可微定义：设函数 $y = f (x)$ 在某区间内有定义， $x_0$ 及 $x_0+\Delta x$ 都在该区间内，若函数的增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 可表示为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ，其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，则称函数 $y = f (x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，而 $A\Delta x$ 称为函数在 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $d y$ ，即 $dy=A\Delta x$ 。实际上， $dy=f'(x)\Delta x$ 。对一元函数来说，可导即为可微。

$d y$ 和 $\Delta y$ 并不等同，事实上， $\Delta y=dy+o(\Delta x)$ 。

多元函数极值

1. 无条件极值

求函数 $z = f (x)$ 的定义域 $D$ 为开区域，如果含有边界的话则需要分开计算后比较。之后令 $z_x'=0,z_y'=0$ ，解出极值疑点 $x_0,y_0)$ ，之后进行判别，记： $A=f''_{xx}(x_0,y_0),B=f''_{xy}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0) \\ AC-B^2\begin{cases} <0,不是极值点 \\ >0\begin{cases} A>0&, 极小值点 \\ A<0&,极大值点\end{cases} \end{cases}$ 如果出现 $AC-B^2=0$ ，则该方法失效，需要利用极值点的定义或特殊路径进行判断。

2. 条件极值

一般方法为拉格朗日数乘法，令 $F=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)+\mu g(x,y)$ ，随后令 $F$ 对各个变量的偏导数为 0 ，解出备选点，比较。

解这个方程有些时候较为困难，一般思路是把 $\lambda$ 消掉，通过式子加减或乘除（注意讨论是否为零），另一思路是结合线代里线性方程组的思想，用系数矩阵的行列式判断非零解；最后就是可以化简为一元，把约束条件代入目标函数或利用参数方程。需要注意如果一元的取值是闭区间，也是要算一下边界的。

三角函数的积分性质

1. 华里士公式（ “点火”公式）

首先是在区间 $[0,\pi/2]$ 上 $\sin,\cos$ 可以互换，即 $\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos x)dx$ 特别地，有华里士公式（点火公式）： $I_n=\int_0^{\pi/2}(\sin x)^ndx=\int_0^{\pi/2}(\cos x)^ndx=\frac{n-1}{n}I_{n-2},I_0=\frac{\pi}{2},I_1=1.$ 可以推广到更大的区间，在 $[0,\pi]$ 上，由于 $\sin x$ 均为正，因此直接点火，乘个 2 就行。 $\int_0^{\pi}(\sin x)^ndx=2\int_0^{\pi/2}(\sin x)^ndx.$ $\cos x$ 由于一半区间为负，因此奇数次和偶数次，奇数次为 0 （可以记忆为奇函数对称为 0 ），偶数次同样是乘 2 。 $\int_0^{\pi}(\cos x)^ndx=2\int_0^{\pi/2}(\cos x)^ndx$ 对于在区间 $[0,2\pi]$ 上， $\sin,\cos$ 均有正有负，因此奇数次为 0 ，偶数次乘一个 4 。 $\int_0^{2\pi}(\sin x)^ndx=\int_0^{2\pi}(\cos x)^ndx=4\int_0^{\pi/2}(\sin x)^ndx.$
2. 特殊性质

在 $[0,\pi]$ 上可以降到 $[0,\pi/2]$ 上；证明方法为拆区间，令 $t=x-\pi/2$ ，把后半部分换掉。 $\int_0^{\pi}f(\sin x)dx=2\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx,then\space we \space have,\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx=\int_{\pi/2}^{\pi}f(\sin x)dx.$ 多一个 $x$ 可以提到积分外面来，即 $\int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)dx=\pi\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx.$ 证明方法为令 $t=x-\pi$ 。

原函数与被积函数的奇偶性结论

$f (x)$ 为奇函数可推出 $\int_a^x f(t)dt$ 为偶函数。
$f (x)$ 为偶函数，不能得到 $\int_a^x f(t)dt$ 为奇函数，但可以得到 $\int_0^x f(t)dt$ 为奇函数。
$\int_a^x f(x)dx$ 为奇/偶函数，一定可以推得 $f (x)$ 为相反的奇偶性。
$\int_a^x f(x)dx$ 为周期函数，一定可以推得 $f (x)$ 也为周期函数，反之不一定。

反常积分判断收敛

首先要清楚，反常积分有两类，一类是区间是无穷，另一类是区间有限但函数无界。对于区间无穷的反常积分，主要参考对象是 $p$ 积分，即 $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\begin{cases} 收敛,p>1 \\ 发散,p\leq1 \end{cases}$ 对于区间有限但函数无界（如在 $a$ 处）的反常积分，主要参考对象是 $q$ 积分，即 $\int_a^{b}\frac{1}{(x-a)^q}dx\begin{cases} 收敛,q<1 \\ 发散,q\geq1 \end{cases}$ 记忆方式为，无穷小次数越高越收敛，无穷大次数越低越收敛，小于 1 就叫低，大于 1 就叫高。

解题思路为：首先找出瑕点，如 $x=a,x=+\infty$ ，如果有多个，注意要分区间，一次只能处理一个瑕点。接着将函数去进行等价，无穷小等价有很多公式，原则是低阶+高阶为低阶；无穷大等价原则是低阶+高阶为高阶。

若被积函数为幂函数，如 $x^2,\sqrt{x}$ 等等，将其等价为 $p$ 积分或 $q$ 积分。

若被积函数为指数函数，由于其干啥都快，因此按照求被积函数的极限判断即可，如瑕点为 $x=+\infty$ ，在分母里基本上极限就是无穷小，那就收敛。

若被积函数为对数函数，有以下结论：

$ln^a x$ ，若瑕点是 0 ，无论 $a$ 为何值都收敛；
$1/\ln^a x$ ，若瑕点为 $+\infty$ ，无论 $a$ 为何值，均收敛；
$ln^ax/x^p$ ，若瑕点为 $0\space or+\infty$ ，敛散性判断时只看 $1/x^p$ ；
$1/x^p\ln^ax$ ，若瑕点为 $0\space or+\infty$ ，当 $p\ne 1$ 时，敛散性只看 $1/x^p$ ；当 $p = 1$ 时，记忆为无穷小的判断方法，即 $a$ 越大越收敛，故 $a > 1$ 时，反常积分收敛， $a\leq 1$ 时，发散。

微分方程的解的结构、通解公式和特解形式

1. 一阶以及可降阶

对于可分离变量的形式，有什么要记得，唯一注意的是可能需要因式分解才能做到分离变量。

齐次微分方程：令 $u = y / x$ ，则 $d y / d x = x d u / d x + u$ 。

一阶齐次线性， $d y / d x + P y = 0$ ，其通解公式为 $y=Ce^{-\int Pdx}$ 一阶非齐， $d y / d x + P y = Q$ ，其通解公式为 $y=\bigg(\int Q e^{\int Pdx}dx+C\bigg)e^{-\int Pdx}$

这个公式的推导方法是两边同时乘上 $e^{\int Pdx}$ ，当涉及 $Q$ 未知时，往往可以利用这个方法，把不定积分形式转化为定积分形式。

伯努利方程， $dy/dx+Py=Qy^n(n\ne0,1)$ ，解法是令 $z=y^{1-n}$ ，可化为 $\frac{dz}{dx}+(1-n)Pz=(1-n)Q.$ 全微分方程， $P d x + Q d y = 0$ ，满足 $\partial Q/\partial x=\partial P/\partial y$ 。

可降阶的高阶微分方程，缺 $x$ 型的，则令 $y^{'} = p (y), y^{''} = p d p / d y$ ；缺 $y$ 型的，则令 $y^{'} = p (x), y^{''} = d p / d x$ 。

2. 高阶解的结构

齐次解线性组合，仍为齐次解。
齐次解 + 非齐次解 = 非齐次解。
非齐次解相减为齐次解。
非齐次方程可拆分，解为拆分后的解之和。
非齐次解线性组合，系数和为 1 仍为非齐次解。
非齐次解线性组合，系数和为 0 是齐次解。
齐次线性无关的解的线性组合，为齐次的通解。特别地，二阶齐次线性微分方程有两个线性无关的解，它们进行线性组合就能得到通解。
非齐通解为齐次通解 + 非齐特解。

3. 高阶常系数线性微分方程

二阶常系数齐次微分方程， $y^{''} + p y^{'} + q y = 0$ ，首先求解特征方程，判别式大于 0 ，则存在两个不同根 $\lambda_1,\lambda_2$ ，通解为 $y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$ 若等于 0 ，则两根相同 $\lambda_1=\lambda_2$ ，通解为 $y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}$ 若判别式小于 0 ，则有两个共轭虚跟 $\alpha\pm i\beta$ ，通解为 $y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$ 对于三阶的，可同理。

二阶常系数非齐微分方程， $y^{''} + p y^{'} + q y = f (x)$ ，有两种情况。

一是当 $f(x)=P_ne^{kx}$ 时，若 $k$ 不是特征根，令特解形式为 $y=P_n'e^{kx}$ ；若 $k$ 与其中一个特征根相同，多乘一个 $x$ ；若 $k$ 与两个特征根均相同，多乘一个 $x^2$ 。

二是当 $f(x)=e^{\alpha x}(P_l\cos \beta x+P_s\sin \beta x)$ 时，令 $n=\max\{l,s\}$ ，若 $\alpha\pm \beta i$ 不是特征根，令特解为 $y_0=e^{\alpha x}(P_n^{(1)}cos \beta x+P_n^{(2)}\sin \beta x)$ ；若是特征根，则多乘一个 $x$ 。

4. 欧拉方程

形如 $x^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1xy'+a_0y=f(x)$ ，令 $x=e^t,dx/dt=x$ ，则 $xy'=dy/dt,xy''=d^2y/dt^2-dy/dt$ 这样就化为了 $y, t$ 的方程，记得求解完后变回 $x$ 。

高次韦达定理

设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是多项式方程 $P_n(x)=a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ 的根，则有 $x_1+x_2+\cdots+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n},x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}.$ 分母都是最高次项的系数，加和的分子是第二次高次项的系数，相乘的分子是最后常数项的系数，带个 $1)^n$ 。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-716250.html