考研数学中放缩法和无穷项求和-Toy模板网

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放缩法专题

本文以例子为切入，对一些常用的放缩方法进行总结归纳，以期让读者对相关问题有一定的应对手段。

例子1

问题：2020年高数甲，选择题第1题。
$\lim_{n\to+\infty}\left( \frac{2}{n^2}+\frac{4}{n^2+1}+\cdots + \frac{2n}{n^2+n+1}\right)$

解答：这个问题比较简单，只要注意到分母在 $n\to+\infty$ 的过程中， $n^2$ 占主导项，那么就可以把分母统一起来，可以缩小到 $n^2$ ，也可以放大到 $n^2+n+1$ 。

分母统一后注意到 $2+4+\cdots + 2n=2\times\frac{n(n+1)}{2}$ ，那么极限就是分子和分母 $n^2$ 项系数之比。

归纳总结：

放缩的项，尽量是不重要的项。

类似题目：

2017年高数甲，选择题第2题；2013年高数甲，选择题第2题。

例子2

问题：2019年高数甲，选择题第一题。

求极限：
$\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!}\right)+\left(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\cdots \frac{1}{(2n-1)\times (2n+1)}\right)\right]$
A. $e-\frac{1}{2}$

B. $\frac{5}{2}$

C. $e+\frac{1}{2}$

D. $\frac{7}{2}$

解答：这个问题作为选择题比较简单，要直接求极限则很复杂。

首先注意到，中括号中，两项极限肯定都存在。因为这两个求和项都比调和级数小，所以一定各自收敛。

那再看第二项 $\left(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\cdots \frac{1}{(2n-1)\times (2n+1)}\right)$ ，这里很明显应该用裂项消除来做，只要注意到：
$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$
那么，裂项就可以化成：
$\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots-\frac{1}{2n+1}\right)$
很显然，此项的极限是 $\frac{1}{2}$ 。

再看第一项，乍一看这是一个很难的极限，但注意到选项中出现了 $e$ ，可以意识到它可能和两个重要极限中的
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
曾使用过此项：
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!}\right)$

这里回顾一下证明重要极限的过程就可以理解了，直接用二项式定理公式展开：
$\begin{aligned} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n&=1+{n\choose 1}\frac{1}{n}+{n\choose 2}\frac{1}{n^2}+\cdots +{n\choose n}\frac{1}{n^n} \\ &= 1+\frac{n}{1!}\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot \frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-n+1)}{n!}\cdot \frac{1}{n^n} \\ &=1+1+\frac{1}{2!}\cdot \frac{n(n-1)}{n^2}+\cdots+\frac{1}{n!}\cdot \frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-n+1)}{n^n} \\ &\le 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!} \end{aligned}$

因此
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!}\right)\ge e-1$

即使不记得此式，也应该记得重要极限的证明过程中，怎么确定上限的，那就是一个经典的放缩：
只需要注意到，函数的增长速度 $2^{n-1}<n!<n^n$ ，将阶乘放缩到 $n^n$ 是没用的，因为 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n}$ 求和仍然不好求，放缩到 $2^{n-1}$ 可以凑等比数列。可以得到：
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!}\right) < \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}\right)=2$

即便 $2^n$ 是能想象到的最接近 $n!$ 的函数，但两者实际上差距仍然很大，所以这两个极限不相等，但这个不等关系已经可以排除出正确答案了。因为可以得到原式子一定小于 $2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ ，只有A选项符合这个大小。

归纳总结

放缩的原则，放缩前后尽量接近；
放缩后是为了方便求值，有时不必保证放缩前后极限相等，不等关系也可以选出正确答案；
要对一些书上经典的证明有所了解，很多考试的技巧都在书中经典证明中出现过。

例子3

问题：2015年第二大题，计算
$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\sin{\frac{\pi}{n}}}+\sqrt{1+\sin{\frac{2\pi}{n}}}+\cdots + \sqrt{1+\sin{\frac{n\pi}{n}}}\right)$

解答：这个题目看上去也是无穷级数的累加，进行适当放缩。但实际上注意到 $\frac{1}{n}$ ，应当把此极限化为定积分来计算。

归纳总结

有些无穷级数累加的极限，不要盲目用放缩法，能否化为定积分更容易判断。

例子4

问题：2004年第1大题，计算
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin1+\sin\frac{1}{2}+\cdots +\sin\frac{1}{n}}$

解答：首先检验是否可以定积分计算，定积分计算必然需要找出 $dx=\frac{1}{n}$ 和定义变量 $x$ 取值的 $\frac{i}{n}$ ，x是等间距变化才行，而本题目中虽然可以构造 $1/ n$ ，但 $\sin$ 内部的变化不是等间距的，因此不能用定积分。

然后检查是否可以裂项或使用三角函数等性质，制造连锁的反应，以直接求和出来，但不管和差化积、倍角公式还是乘 $\cos$ 函数都不能实现此效果。三角函数乘积时容易用性质来做一些操作，但这里没有办法化乘积。

最后考虑放缩，如果了解一个常用的结论（证明方法也很经典，可以用均值不等式）：
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$
那么对放缩会有一个提前的意识：即便开 $n$ 次根号下是一个函数 $n$ ，增长率是线性的，开 $n$ 次方结果仍会收到 $1$ 。而根号下的求和实际上肯定不如 $n$ 的。因此基本可以断定，这个极限结果必然是 $1$ ，为验证此观点，放缩可以大胆点：
$1<\sin1+\sin\frac{1}{2}+\cdots +\sin\frac{1}{n}<n$
因此：
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1}<\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin1+\sin\frac{1}{2}+\cdots +\sin\frac{1}{n}}<\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$