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第3章 线性模型
3.1 基本形式
线性模型定义：
其中x是输入向量
优点：形式简单，易于建模，可解释性好。
3.2 线性回归
输入预处理：连续值可以直接用，离散值若有序，可以按序赋值变连续（如“高，中，低”变为“1，0.5，0”，否则可以单热点码编码。
回归常用MSE，要偏导数为0，当输入是一维时可以算出来：
当多元时，矩阵求导，
矩阵微分公式见南瓜书
原理可见：链接
当
X
T
X
X^TX
XTX满秩，即可逆，可解得：
当不满秩，有多解，常见是奥卡姆剃刀式引入正则化找简单的，具体根据学习算法偏好决定。
广义线性模型：
这样子，是拟合
g
(
y
)
g(y)
g(y)。
3.3 对数几率回归
用于二分类任务。
二分类，理想的函数是红线的二分类函数，但是不可导，
所以要找替代函数（surrogate function），例如黑线：
对数几率函数（logistic function）：
此时的形式为：
也可以为闭式解。
可以理解为， y y y是正例概率， 1 − y 1-y 1−y是反例概率，y/(1-y)就是正例比反例更可能的概率。
绿线是给定y的y/(1-y)，蓝线是给定y的ln[y/(1-y)]，
期望输入一个x，线性模型可以得到一个合适的y。
求解时，可以用极大似然估计，也就是把每个样本的标签对应的预测求和，让这个和尽可能大。
每个样本都是让下式尽可能接近于1：
β
\beta
β是要优化的参数，
则是最小化：
二阶导大于0，这是个凸函数，可以梯度下降法或牛顿法等求和。
3.4 线性判别分析
线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）：一种二分类方法。
LDA思想：对训练集，设法将样例投影到一条直线上，使得同类样例的投影点尽可能接近，不同类样例的投影点尽可能远离；对测试集，投影到该直线，根据投影点的位置确定新样本的类别。
具体方法：
直线就是
y
=
w
x
y=wx
y=wx，x是输入w是参数。
要让正例
y
0
y_0
y0和反例
y
1
y_1
y1的平均值尽可能大，让正反例内的方差尽可能小：
也就是让J尽可能大，
μ
\mu
μ是平均值向量，
Σ
\Sigma
Σ是协方差矩阵。
定义
类内散度矩阵（within-class scatter matrix）：
类间散度矩阵（between-class scatter matrix）：
则
J恰好是
S
b
,
S
w
S_b,S_w
Sb,Sw的广义瑞利商（generalized Rayleigh quotient）。
优化方法：
该商只与w方向有关，与w大小无关。
则不妨让分母为1，优化分子：
拉格朗日乘子法（具体见南瓜书）得：
注意，
λ
\lambda
λ只是希望约束和值相切，即垂线平行的，取值不重要，
又由于
S
b
w
S_bw
Sbw的方向是
μ
0
−
μ
1
\mu_0-\mu_1
μ0−μ1（因为后面的
(
μ
0
−
μ
1
)
T
w
(\mu_0-\mu_1)^Tw
(μ0−μ1)Tw是标量），所以只要数乘该方向向量
λ
(
μ
0
−
μ
1
)
\lambda(\mu_0-\mu_1)
λ(μ0−μ1)即可了。
可得：
S
w
S_w
Sw常用奇异值分解表示，为了追求数值稳定性。
可从贝叶斯决策理论角度阐述，可以证明，数据同先验、满足高斯分布且协方差相等，LDA可达最优分类。
推广到多分类任务：
定义：
Sb变为
（和之前N=2时的定义相比，只会差一个权重系数
m
1
m
2
/
(
m
1
+
m
2
)
m_1m_2/(m_1+m_2)
m1m2/(m1+m2)，不影响优化结果）
优化目标可为：
tr是各对角线元素之和，最后
W
T
X
W^TX
WTX是一个
N
−
1
N-1
N−1维的向量，N是类别数。
则
这次的推导也是看南瓜书，原理看链接
W的解是 S w − 1 S b S_w^{-1}S_b Sw−1Sb的前N-1个最大的广义特征值对应的特征向量，是最小化损失的有损压缩。
d维变成N-1维的向量，也可以作为降维的方法，可以把维度改为任意的d’而不必是N-1，但是 d ′ ≤ N − 1 d'\le N-1 d′≤N−1因为Sb的秩就是N-1。
原因可参考链接，也可以在n=2时验证，理解了2个类别秩为1可以数学归纳法。
之后还是做投影，看和哪个类的距离最近。
3.5 多分类学习
本节介绍了3种模式，通过二分类器达到多分类的目的。
一对一（One vs. One，OvO）
一对其余（One vs. Rest，OvR）
多对多（Many vs. Many，MvM）
OvO和OvR：
MvM之一：纠错输出码（Error Correcting Output Codes，ECOC）
C是类别的编码，f是分类器。
还有DAG形式的MvM等。
3.6 类别不平衡问题
对于二分类，因为y/(1-y)是正例/负例出现的概率。
令m+、m-分别是正负例样本数，那么期望概率是m+/m-的时候，要有以m+/m-为阈值而不是原来的1，即：
具体做法除了以上的“阈值移动（threshold-moving）”，还有反例“欠采样（undersampling）”（这常常结合集成模型防止丢失主要信息），正例“过采样（oversampling）”（这常常使用插值等方法数据增强缓解过拟合）。
此外，令期望出现正例的概率是cost-/cost+也可以作为代价敏感学习的方法，当cost-小时多预测为负，反之亦然。
3.7 阅读材料
习题
当全0向量输入时输出应该是0时。
反证法：当b=0，x=1，就是sigmoid函数，显然非凸。
在书中二阶导>0。
牛顿迭代法：
import numpy as np
import pandas as pd
Set = pd.read_csv("data.csv")
# 数据集
X = np.array(Set[['密度','含糖率']])
# 标签
Y = np.where(np.array(Set[['好瓜']])=='是',1,0)
N,Dy = Y.shape
X = np.append(X,np.ones(N).reshape(N,1),axis=1)
_,Dx = X.shape
X=X.T
Y=Y.T
Beta = np.random.random(size=(Dx,1))
T = 10
for t in range(T):
p1=np.exp(Beta.T@X)/(1+np.exp(Beta.T@X))
f1=(-np.sum(X*(Y-p1),axis=1)).reshape(3,1)
f2=(X*p1*(1-p1))@X.T
Beta = Beta - np.linalg.inv(f2)@f1
print('t:',t)
print('Beta:',Beta)
print('p1:',p1)
# 可视化
import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(X[0], X[1], s=10, marker='o')
plt.xlabel('x0')
plt.ylabel('x1')
plt.title('Title')
for i in range(N):
plt.text(X[0][i], X[1][i], "{},{:.3f}".format(Y[0][i],p1[0][i]))
x=np.array([0.2,0.9])
a = -Beta[0][0]/Beta[1][0] # 直线斜率
b = -Beta[2][0]/Beta[1][0] # 直线截距
y_line = a * x + b # 直线方程
plt.plot(x, y_line, 'r--')
plt.show()
线右上是预测1，左下是预测0.
略
略
参考SVM的核函数。
目标是
m
a
x
(
h
(
c
0
,
c
1
)
+
h
(
c
0
,
c
2
)
+
h
(
c
0
,
c
3
)
+
h
(
c
1
,
c
2
)
+
h
(
c
1
,
c
3
)
+
h
(
c
2
,
c
3
)
)
max(h(c0,c1)+h(c0,c2)+h(c0,c3)+h(c1,c2)+h(c1,c3)+h(c2,c3))
max(h(c0,c1)+h(c0,c2)+h(c0,c3)+h(c1,c2)+h(c1,c3)+h(c2,c3))
h ( c i , c j ) = s u m ( a b s ( c i − c j ) ) h(ci,cj)=sum(abs(ci-cj)) h(ci,cj)=sum(abs(ci−cj))
不失一般性，任意固定c0，其他进行搜索，运算次数O（227)=O(134,217,728)，可以暴力枚举。
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-717052.html
之所以要满足这个条件，是因为，如果不是，都会带来更加偏好某一个类的效果。
是否满足该条件？
这个要取决于编码的具体方式，不是二分类能决定的。
但是二分类的分类效果也会影响概率，比如数据不均等。
当编码长度冗余，会影响独立性。
因为期望上影响相互抵消。
多分类都可以是二分类的直接套用。
能获得理论最优解，那么"训练集是真实样本总体的无偏采样"要满足。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-717052.html
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