2023 研究生数学建模竞赛（B题）DFT类矩阵的整数分解逼近|建模秘籍&文章代码思路大全-Toy模板网

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2023 研究生数学建模竞赛（B题）DFT类矩阵的整数分解逼近|建模秘籍&文章代码思路大全,数学建模,矩阵,线性代数

问题重述

问题1：降低硬件复杂度
在约束1下，优化DFT矩阵的分解，以最小化误差（RMSE）并减少乘法器的数量。

问题2：限制元素实部和虚部取值范围
在约束2下，优化DFT矩阵的分解，以最小化误差并考虑元素实部和虚部的取值范围。

问题3：同时限制稀疏性和取值范围
在同时满足约束1和2的条件下，优化DFT矩阵的分解，以最小化误差和硬件复杂度。

问题4：研究其他矩阵的分解方案
考虑多个DFT矩阵和非DFT矩阵的乘积，再次在约束1和2下优化分解，以最小化误差和硬件复杂度。

问题5：加入精度限制
在问题3的基础上，要求将精度限制在0.1以内（RMSE≤0.1），再次优化分解方案，以最小化硬件复杂度。

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问题一

问题1的目标是降低硬件复杂度，通过优化DFT矩阵的分解，以最小化误差（RMSE）并减少乘法器的数量。我们可以通过以下建模思路来解决问题1：

首先，定义一些变量和参数：

设 N 为 DFT 矩阵的维度。
定义 DFT 矩阵为 ( $\mathbf{F}$ )，它是一个大小为 N × N 的复数矩阵。
定义 K 个矩阵分解后的矩阵为 ( $\mathbf{M}_1, \mathbf{M}_2, \ldots, \mathbf{M}_K$ )，每个 ( $\mathbf{M}_i$ ) 是大小为 N × N 的矩阵。
定义 ( $\alpha_i$ ) 为矩阵 ( $\mathbf{M}_i$ ) 中的实值缩放因子，用于调整误差。
定义 (q) 为乘法器的复杂度，它与乘法器的设计和输入数据的位宽相关。

接下来，我们可以建立一个数学模型，优化目标是最小化误差，并约束硬件复杂度：

最小化目标函数：

$\text{Minimize } \text{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{N^2}\sum_{i,j}|\mathbf{F}_{ij} - \left(\sum_{k=1}^{K}\alpha_k\mathbf{M}_{ki}\mathbf{M}_{kj}\right)|^2}$

这里，RMSE 是均方根误差，用于衡量原始 DFT 矩阵与分解后矩阵之间的误差。

约束条件：

每个矩阵 $\mathbf{M}_i$ 的每行至多只有 2 个非零元素。
硬件复杂度 (C) 受乘法器数量 (L) 影响，即 $\cdot q$ 。
矩阵元素的取值范围没有特定限制。

然后，通过使用数学优化方法，例如线性规划或整数规划，可以求解上述目标函数和约束条件，以找到最佳的分解方案，即找到合适的矩阵 ( $\mathbf{M}_i$ ) 和缩放因子 ( $\alpha_i$ ) 来最小化 RMSE 并减少乘法器数量 (L)。

请注意，具体的优化算法和求解方法将取决于问题的具体参数和约束条件。您可以使用优化软件包（如Python的SciPy库）来实现并求解这个数学模型。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 定义 DFT 矩阵的维度 N
N = 8  # 这里以 N=8 为例

# 定义 DFT 矩阵
F = np.fft.fft(np.eye(N))

# 定义目标函数：RMSE
def objective_function(x):
    alpha = x[:K]  # 前 K 个参数是缩放因子 alpha
    M = x[K:].reshape((K, N, N))  # 后面的参数是矩阵 M

    # 计算分解后的矩阵
    reconstructed_F = np.sum(alpha[i] * np.dot(M[i], M[i].T.conj()) for i in range(K), axis=0)

    # 计算 RMSE
    rmse = np.sqrt(np.mean(np.abs(F - reconstructed_F)**2))
    return rmse

# 定义约束条件：每个矩阵 M_i 的每行至多只有 2 个非零元素
def constraint1(x):
    M = x[K:].reshape((K, N, N))
    return np.sum(np.abs(M) > 0.001, axis=(1, 2)) - 2  # 0.001 是一个小的阈值，用于定义非零元素

问题二

问题2的目标是通过限制DFT矩阵元素的实部和虚部的取值范围来减少硬件复杂度。下面是问题2的具体建模思路：

首先，定义一些变量和参数：

设 N 为 DFT 矩阵的维度。
定义 DFT 矩阵为 ( $\mathbf{F}$ )，它是一个大小为 N × N 的复数矩阵。
定义 K 个矩阵分解后的矩阵为 ( $\mathbf{M}_1, \mathbf{M}_2, \ldots, \mathbf{M}_K$ )，每个 $\mathbf{M}_i$ 是大小为 N × N 的矩阵。
定义 (\alpha_i) 为矩阵 (\mathbf{M}_i) 中的实值缩放因子，用于调整误差。
定义 (q) 为乘法器的复杂度，它与乘法器的设计和输入数据的位宽相关。
定义 (a) 和 (b) 为实部和虚部的取值范围，例如 $\leq \text{Re}(\mathbf{F}_{ij}) \leq b$ ) 和 ( $\leq \text{Im}(\mathbf{F}_{ij}) \leq b$ 。

接下来，我们可以建立一个数学模型，优化目标是最小化误差，并约束实部和虚部的取值范围：

最小化目标函数：

$\text{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{N^2}\sum_{i,j}|\mathbf{F}_{ij} - \left(\sum_{k=1}^{K}\alpha_k\mathbf{M}_{ki}\mathbf{M}_{kj}\right)|^2}$

这是与问题1相同的目标函数，用于最小化RMSE。

约束条件：

每个矩阵 (\mathbf{M}_i) 的每行至多只有 2 个非零元素。
限制矩阵元素的实部和虚部取值范围：( $\leq \text{Re}(\mathbf{M}_{ij}) \leq b$ ) 和 ( $\leq \text{Im}(\mathbf{M}_{ij}) \leq b$ )。

然后，通过使用数学优化方法，例如线性规划或整数规划，可以求解上述目标函数和约束条件，以找到最佳的分解方案，即找到合适的矩阵 ( $\mathbf{M}_i$ ) 和缩放因子 $\alpha_i$ 来最小化RMSE并满足实部和虚部的取值范围约束。

同样，注意具体的问题参数和约束条件可能需要根据您的需求进行调整。您可以使用优化软件包（如Python的SciPy库）来实现并求解这个数学模型。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 定义 DFT 矩阵的维度 N
N = 8  # 这里以 N=8 为例

# 定义 DFT 矩阵
F = np.fft.fft(np.eye(N))

# 定义目标函数：RMSE
def objective_function(x):
    alpha = x[:K]  # 前 K 个参数是缩放因子 alpha
    M = x[K:].reshape((K, N, N))  # 后面的参数是矩阵 M

    # 计算分解后的矩阵
    reconstructed_F = np.sum(alpha[i] * np.dot(M[i], M[i].T.conj()) for i in range(K), axis=0)

    # 计算 RMSE
    rmse = np.sqrt(np.mean(np.abs(F - reconstructed_F)**2))
    return rmse

# 定义约束条件：每个矩阵 M_i 的每行至多只有 2 个非零元素
def constraint1(x):
    M = x[K:].reshape((K, N, N))
    return np.sum(np.abs(M) > 0.001, axis=(1, 2)) - 2  # 0.001 是一个小的阈值，用于定义非零元素

# 定义约束条件：实部和虚部的取值范围