线性代数｜例题：利用伴随矩阵求逆矩阵

【例1：同济线代习题二 9.1】求下列矩阵的逆矩阵：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$$

解答　因为 $|\mathbf{A}|=5-4=1\ne 0$，所以 $\mathbf{A}$ 可逆。有
$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$$

【例2：同济线代习题二 9.2】求下列矩阵的逆矩阵：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

解答　因为 $|\mathbf{A}|={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1\ne 0$，所以 $\mathbf{A}$ 可逆。于是有
$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

【例3：同济线代习题二 9.３】求下列矩阵的逆矩阵：
A = ( 1 2 − 1 3 4 − 2 5 − 4 1 ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 5 & -4 & 1 \\ \end{pmatrix} A= ​135​24−4​−1−21​ ​

解答　因为 $|\mathbf{A}|=4+(-20)+12-(-20)-8-6=2\ne 0$，所以 $\mathbf{A}$ 可逆。于是有
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 2 ( − 4 2 0 − 13 6 − 1 − 32 14 − 2 ) = ( − 2 1 0 − 13 2 3 − 1 2 − 16 7 − 1 ) \boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^* = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ -13 & 6 & -1 \\ -32 & 14 & -2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ -\frac{13}{2} & 3 & -\frac{1}{2} \\ -16 & 7 & -1 \\ \end{pmatrix} A−1=∣A∣1​A∗=21​ ​−4−13−32​2614​0−1−2​ ​= ​−2−213​−16​137​0−21​−1​ ​

【例4：同济线代习题二 9.4】求下列矩阵的逆矩阵：
A = ( a 1 0 a 2 ⋱ 0 a n ) ( a 1 a 2 ⋯ a n ≠ 0 ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_1 & & & 0 \\ & a_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & a_n \\ \end{pmatrix} \hspace{1em} (a_1 a_2 \cdots a_n \ne 0) A= ​a1​0​a2​​⋱​0an​​ ​(a1​a2​⋯an​=0)

解答　因为 $|\mathbf{A}|=a_1{a}_2\cdots a_n\ne 0$，所以 $\mathbf{A}$ 可逆。

矩阵 $|\mathbf{A}|$ 是对角行列式，只有主对角线上的 $n$ 个元素不是 $0$。因此，对于任意 $|\mathbf{A}|$ 中的 $(i,j)$ 元的余子式 $M_{ij}$：

• 当 $i=j$ 时，划去第 $i$ 行和第 $i$ 列后的新行列式 $|\mathbf{B}|$ 仍为对角行列式，显然有 $|\mathbf{B}|=a_1\cdots a_{i-1}{a}_{i+1}\cdots a_n$；
• 当 $i\ne j$ 时，划去第 $i$ 行和第 $j$ 列后，$|\mathbf{A}|$ 的主对角线上的 $(i,i)$ 元和 $(j,j)$ 元均被划去，此时新行列式 $|\mathbf{B}|$ 中只有 $n-2$ 个元素不为 $0$，但 $|\mathbf{B}|$ 为 $n-1$ 阶方阵，因此 $|\mathbf{B}|$ 中一定有一行和一列中所有元素均为 $0$，进而 $|\mathbf{B}|=0$。

于是有
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 a 1 a 2 ⋯ a n ( a 2 ⋯ a n 0 a 1 a 3 ⋯ a n ⋱ 0 a 1 ⋯ a n − 1 ) = ( 1 a 1 0 1 a 2 ⋱ 0 1 a n ) \boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^* = \frac{1}{a_1 a_2 \cdots a_n} \begin{pmatrix} a_2 \cdots a_n & & & 0 \\ & a_1 a_3 \cdots a_n & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & a_1 \cdots a_{n-1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a_1} & & & 0 \\ & \frac{1}{a_2} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \frac{1}{a_n} \\ \end{pmatrix} A−1=∣A∣1​A∗=a1​a2​⋯an​1​ ​a2​⋯an​0​a1​a3​⋯an​​⋱​0a1​⋯an−1​​ ​= ​a1​1​0​a2​1​​⋱​0an​1​​ ​文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-718199.html

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