Matlab基础知识汇总（小白速成）

1.矩阵

1.矩阵运算符

运算	符号	说明	具体表现实现
转置	A.'	矩阵转置
共轭转置	A'	复矩阵共轭转置，当A为实数矩阵时等价于A.'
加减	A+B、A-B	矩阵元素之间相互进行加减
数与矩阵加减	K+A、K-A	数与矩阵的加减操作
数乘以矩阵	k*A	数对矩阵中的每个元素进行相乘
矩阵相乘	A * B A.*B	乘法运算：点乘（对应元素相乘） 乘（矩阵相乘）
矩阵乘方	A^k	相当于k个A进行相乘
矩阵除法	左除A\B 右除A/B	相当于AX=B XA=B的解

2.特殊矩阵的生成

1.零矩阵

• zeros(m,n) 生成m行n列的零矩阵

2. 1矩阵

• ones（m,n）生成m行n列元素都为1的矩阵

3.单位阵

• eye(n) 生成n阶单位阵

4.随机矩阵

• rand(m,n) 生成m行n列在[0,1]上均匀分布的随机矩阵

3.矩阵处理

1.矩阵的迹（对角线之和）

• trace(A) 返回矩阵A的迹（对角线元素的和）

2.提取对角线向量

• diag(A) 返回矩阵A的对角线元素构成的向量

3.向量生成的对角矩阵

• diag（x） 返回由向量x的元素构成的对角矩阵

4.提取下三角矩阵

• tril(A) 提取矩阵A的下三角矩阵

5.提取上三角矩阵

• triu(A) 提取矩阵A的上三角矩阵

6.矩阵上下翻转

• flipud(A) 矩阵上下翻转

7.矩阵左右翻转

• fliplr(A) 矩阵左右翻转

8.重排矩阵

• reshape(A,m,n) 将矩阵A的元素重排成m行n列矩阵

4.矩阵分析

1.rank(矩阵的秩运算)

• rank(A) 返回A的秩

2.det(矩阵的行列式运算)

• det(A) 返回方阵A的行列式

3.inv(矩阵的逆运算)

• inv(A) 返回A的逆矩阵

4.null(AX=0的基础解系)

• null(A) 返回A的零矩阵的基，即AX=0的基础解系

5.orth(矩阵的正交规范基)

• orth(A) 求A的列向量空间的正交规范基

6.norm(向量的范数)x

• norm(x) 返回向量x的范数（向量“大小”的度量），即

7.norm(矩阵的范数)A

• norm(A) 返回矩阵A的范数（矩阵“大小”的度量），即

   

8.expm(矩阵的指数函数)

• expm(A) 返回矩阵A的指数函数，即级数和

   

   

9.矩阵的特征值以及特征向量

• [V,D]=eig(A) V--特征向量矩阵 D--特征值的对角矩阵

10.magic(幻方矩阵)

例题：秩对解的影响

用矩阵除法解下列线性方程组，并判断解的意义，用矩阵乘方进行验算

• 如果rank(A,b)==rank(A)---->方程有解

  • rank(A)==length(A) 有唯一解 （满秩）----> 可逆 <--det(A)!=0

  • rank(A)<length(A) 有无穷多解 det(A)==0---->不可逆

• rank(A)<rank(A,b)---->方程无解

if rank(A)==rank([A,b])
    disp("方程组有解");
    %使用rref求出矩阵的最简形式(行简化阶梯型)
    simple=rref([A,b])
    if  rank(A)==length(A)
        disp("方程组有唯一解");
    else if rank(A)<length(A)
            disp("方程组有无穷多解");
        end
    end
else
    disp("方程组无解");
end

2.函数与图像

1.基本语句

1.if条件控制语句

if  情况1(满足情况1则会执行结果1)
    结果1
else（否则就会执行结果2）
    结果2
end

if  情况1(满足情况1则会执行结果1)
       结果1
else if 情况2(满足情况2则会执行结果2)
       结果2
else（否则执行结果3）
    结果3
end
​

2.switch选择语句

switch a（与a相比，若相同则执行对应的结果）
    case a1
        结果1
    case a2
        结果2
    case a3
        结果3
    ...
    otherwise
        结果n
end

3.try-catch语句

try
    %可能会抛出异常的代码
catch
    %处理异常代码
end

4.for循环

for index=起始点：终点值
    循环操作
end

5.while循环

while 循环条件
    循环操作
end

2.函数

1.函数的定义

function 返回的结果参数=函数名（入参）
      函数实际操作
end
function sum=func1(n)
if n<1
    sum=1;
else
    sum=func1(n-1)*n;
end

2.函数的运行

result=func1(5)  //定义一个变量去接收结果

3.绘制图像

1.曲线图 曲面图

sin(x)

>> x=0:0.01:2*pi;//设置x区间步长
>> y=sin(x);//设置需要画图的函数
>> plot(x,y);//画图
>> xlabel("x轴");//设置x轴名称
>> ylabel("y轴");//设置y轴名称
>> title("sin(x)")//设置标题

常用颜色以及线型

颜色：

• ‘b’ - 蓝色（blue）

• ‘g’ - 绿色（green）

• 'r' - 红色（red）

• 'c' - 青色 （cyan）

• 'm' - 洋红色（magenta）

• 'y' - 黄色（yellow）

• 'k' - 黑色（black）

• 'w' - 白色（white）

线型：

• ‘-’ 实线（solid）

• '--' 虚线（dashed）

• ':' 点线（dotted）

• '-.' 点划线（dash-dotted）

x=0:0.01:2*pi;//设置x区间步长
y=sin(x);//设置需要画图的函数
plot(x,y，'r--');//画图
xlabel("x轴");//设置x轴名称
ylabel("y轴");//设置y轴名称
title("sin(x)")//设置标题
legrnd('sin(x)')//设置图例

ezplot(可迅速绘制简单图形)

ezplot('sin(x)',[0,2*pi])

stairs(阶梯状曲线图)

stairs(x,y,'LineWidth',2)

 x=randn(1,100);

x=randn(1,100);
>> y=randn(1,100);
>> scatter(x,y,"filled")

 poparplot(绘制极坐标图)

>> x=linspace(0,2*pi,100);
>> y=2*sin(3*x);
>> polarplot(x,y,"LineWidth",2)

 area(绘制面积图，数据之前的关系变化趋势)

 x=0:0.1:2*pi;
>> y1=sin(x);
>> y2=cos(x);
>> area(x,[y1:y2]','LineStyle','--')

 contour(绘制等高线)

 [X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2);
>> Z=X.^2+Y.^2;
>> contour(X,Y,Z,20)

 quiver(绘制矢量图，向量的大小以及方向)

 [X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2);
>> Z=X.^2+Y.^2;
>> contour(X,Y,Z,20)
>> [DX,DY]=gradient(Z,0.25,0.25);
>> quiver(X,Y,DX,DY)

 surf(绘制三维曲面图，三元函数的空间形态)

 [X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2);
 Z=peaks(X,Y);
 surf(x,y,z)

 histogram(绘制直方图，展示数据的分布情况)

x=randn(1000,1);
histogram(x,'Normalization','probability');//对数据进行了概率密度归一化

 bar（绘制条形图，对不同数据进行展示）

>> x=categorical({'A','B','C','D','E'});
>> y=[3 5 2 7 4];
>> bar(x,y)

 pie（绘制饼函数，展示不同的占比情况）

>> x=[25 35 20 15 10];
>> labels={'A','B','C','D','E'};
>> pie(x,labels);

 stem(绘制离散数据的垂直线段图)

>> x=0:0.1:2*pi;
>> y=sin(x);
>> stem(x,y);

 pcolor(绘制伪彩色图)

>> [X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2);
>> Z=X.^2+Y.^2;
>> pcolor(X,Y,Z);
>> shading interp;

 errorbar(绘制带误差线的线图，展示数据的变化范围以及置信区间)

>> x=1:5;
>> y=[3 5 2 7 8];
>> e=[0.5 1 0.3 1.2 0.8];
>> errorbar(x,y,e,'o','MarkerSize',10,'LineWidth',2);

 rose(绘制极径图，展示数据的极向分布)

>> x=2*pi*rand(1,1000);
>> rose(x);

 boxplot(绘制箱线图，展示分布情况和异常值)

>> x=[randn(100,1);5+0.5*randn(50,1)];
>> g=[zeros(100,1);ones(50,1)];
>> boxplot(x,g,'Labels',{'Group 1','Group 2'});

 polarhistogram(绘制极坐标直方图，展示数据的极向分布)

>> x=2*pi*rand(1,1000);
>> polarhistogram(x,20);

 wordcloud(绘制词云图，展示文本数据的词频分布)

txt=fileread("文件.txt")
wordcloud(txt);

3.函数与方程

1.常用函数

2.求根

• roots

roots函数用于求解多项式方程的根，即找到多项式在复数域中的所有根，它的输入是一个包含多项式系数的向量，输出是一个包含多项式在复数域中所有根的向量，roots函数使用的是拉格朗日-牛顿插值法，通过对多项式进行插值来计算多项式的根，因此，roots函数适用于求解多项式方程的根，但不能用于求解非多项式的根。

%函数表达式
syms x
f=(2.*x+3).^3-4;
%将多项式进行展开
f_v=expand(f)%8*x^3 + 36*x^2 + 54*x + 23
%展开后提取系数
p=[8,36,54,23];
%对多项式进行求根
value=roots(p)
polyval(p,value)

• fzero

fzero函数用于求解单变量非线性方程的零点，即在给定的区间内找到函数的一个根，它使用的是单点迭代法（牛顿迭代法），通过不断逼近函数的零点来计算方程的解，因此，fzero函适用于求解多变量非线性方程组的根

>> %函数表达式
>> f=@(x)(2.*x+3).^3-4;
>> %区间
>> x=[-3,3];
>> %求解方程的零点
>> x=fzero(f,x);
>> %输出结果
>> disp(x)
   -0.7063

• fsolve(非线性方程)

%定义非线性方程组
f=@(x)[9*x(1)^2+36*x(2)^2+4*x(3)^2-36;x(1)^2-2*x(2)^2-20*x(3);16*x(1)-x(1)^3-2*x(2)^2-16*x(3)^2];
%初始值
x=[1;1;1];
%求解方程组
x=fsolve(f,x);
%输出结果
disp(x)

3.多项式拟合

• polyfit

polyfit是MATLAB中用于多项式拟合的函数，它可以根据给定的数据点，拟合出一个给定次数的多项式函数（x,y,n）

• polyval

计算拟合结果

注意：多项式拟合并不一定能够完全恢复原始数

[x,fval]=fminbnd(fun,x1,x2)

据的特征，当拟合多项式次数过高时，可能会出现拟合的情况，导致拟合结果对于噪声过于敏感，从而失去了真实数据的预测能力，因此，在进行多项式拟合时，需要根据具体的数据特征和拟合目标，选择合适的多项式次数，避免出现过拟合或欠拟合的情况。

4.函数极值

• fminbnd(求解单变量有界函数最小值)

注意：‘fun’表示待求解的单变量有界函数，可以是一个函数句柄，一个匿名函数或一个函数字符串；‘x1’和‘x2’分别为待求解区间的左右端点，即函数的取值范围，函数的输出结果包括了一个标量‘x’,表示函数的最小值点，以及一个标量‘fval’,表示函数在最小值点的取值。

该函数使用的是黄金分割法，通过不断的狭窄区间范围来逐步逼近函数的最小值点，因此，该函数适用于求解单变量有界函数的最小值，但不能用于求解多变量函数的最小值，无界函数的最小值或非连续函数的最小值。

5.微积分

4.符号函数和符号矩阵

概念：函数计算是使用符号表达式来计算数学计算，而不是数值计算，符号表达式包含符号变量和数学运算符，可以表示数学公式、方程、函数等。符号计算可以进行求导、积分、解方程、化简等操作，得到的结果也是符号表达式，具有高精度和通用性。

在matlab中，可以使用符号工具箱进行符号计算，符号工具箱提供了一组函数和工具，用于创建、操作、化简符号表达式，以及进行符号积分、符号求导、符号求解等操作，使用符号工具箱进行符号变量和运算符来构造符号表达式。

符号计算和作用指令

1.符号对象

符号对象是一种特殊的数据类型,称为符号对象,用字符串形式表达,但又不同于字符串,符号运算中的变量、函数和表达式都是符号对象。

>> %数值表达式
>> n=pi*2;
>> %数值转换为符号对象
>> a=sym(n);
>> %定义符号变量以及符号计算表达式
>> syms x y c
>> d=x^3+2*y^2;
>> %定义符号矩阵
>> A=[x,y;2*x,2*y]
 
A =
 
[   x,   y]
[ 2*x, 2*y]
 
>> A=subs(A,x,c)
 
A =
 
[   c,   y]
[ 2*c, 2*y]

2.计算精度和数据类型转换

符号数值计算默认精度为32位十进制，是MATLAB数值计算的两倍，符号工具箱号提供了计算精度设置指令，可以定义任意精度的数值计算。

>> %s为圆周率
>> s=pi
s =
    3.1416
>> %将数值计算精度设置为8位
>> digits(8)
>> %求s的数值结果
>> x=vpa(s)
x = 
3.1415927 
>> %采用n位计算精度求s的数值结果
>> x=vpa(s,n)
x =
3.14159
>> x=vpa(s,4) 
x = 
3.142 
>> %符号对象转换为双精度
>> double(s)
ans =
    3.1416
>> %符号对象转换为字符串
>> char(s)

3.符号矩阵和符号函数

MATLAB大部分矩阵和数组运算符及指令都可以应用于符号矩阵，大部分MATLAB数学函数和逻辑关系运算也可以用于符号对象。

>> %f(x,y)=(x-y)^3
>> %g(x,y)=(x+y)^3
>> %定义符号变量
>> syms x y;
%定义函数
>> f=(x-y)^3;
>>  g=(x+y)^3;
%两个函数相乘
>> h=f*g;
%展开多项式
>> hs=expand(h)
 
hs =
 
x^6 - 3*x^4*y^2 + 3*x^2*y^4 - y^6
%因式分解
>> hf=factor(hs)
 
hf =
 
[ x - y, x - y, x - y, x + y, x + y, x + y]
%定义符号函数，自变量是xy
>> fun=symfun(f*g,[x,y])
 
fun(x, y) =
 
(x + y)^3*(x - y)^3
%符号计算替换无需使用subs方法
>> s=fun(x,x^2+x+1)
 
s =
 
-(x^2 + 1)^3*(x^2 + 2*x + 1)^3
>> %合并同类项，变量x
>> scol=collect(s,x)
 
scol =
 
- x^12 - 6*x^11 - 18*x^10 - 38*x^9 - 63*x^8 - 84*x^7 - 92*x^6 - 84*x^5 - 63*x^4 - 38*x^3 - 18*x^2 - 6*x - 1
 
>> %化简
>> ssim=simplify(scol)
 
ssim =
 
-(x^2 + 1)^3*(x + 1)^6
%数学公式的Latex输出
latex(ssim)
​
ans =
​
    '-{\left(x^2+1\right)}^3\,{\left(x+1\right)}^6'
%数学公式的C语言代码
ccode(ssim)
​
ans =
​
    '  t0 = -pow(x*x+1.0,3.0)*pow(x+1.0,6.0);'
%数学公式的matlab匿名函数代码
matlabFunction(ssim)
​
ans =
​
  包含以下值的 function_handle:
​
    @(x)-(x.^2+1.0).^3.*(x+1.0).^6

4.符号微积分

• 符号函数的极限limit(f,x,a)

f为所求极限的函数，x为变量，a为常数，求函数f关于变量x在a点处的极限，a和x都可以省略，若x省略，则x默认为是系统自变量，若a省略，a的默认值为0，若f的左右极限不等，还可以求单边极限：

limit(f,x,a,'right') limit(f,x,a,'left')

• 符号函数的导数diff(f,x,n)

函数f关于变量x的n阶导数，n是多少就是对目标函数求几阶导数

• 符号函数的积分int(f,x,a,b)

定积分：int(f,x) 不定积分：int(f,x,a,b) inf为无穷大

>> %定义符号变量
>> syms n x;
>> %定义表达式
>> f=(1+x/n)^n;
>> g=(-1)^n*x^n/n;
>> %符号极限的计算，变量n趋向于正无穷大
>> limit(f,n,inf)
 
ans =
 
exp(x)
 
>> %离散求和，变量n从1到无穷
>> symsum(g,n,1,inf)
 
ans =
 
piecewise(x == -1, Inf, abs(x) <= 1 & x ~= -1, -log(x + 1))

2.Matlab常规应用

1.分段函数

• 使用匿名函数

>> %定义分度函数
>> f=@(x)(x>1).*x.^2+(-1<=x&x<1).*1+(x<=-1).*(3+2*x);
>> %生成x向量
>> x=linspace(-2,2,1000);
>> %计算y向量
>> y=f(x);
>> %绘制函数曲线
>> plot(x,y)
//设置网格曲线
>> grid on
%x坐标名称
>> xlabel('x')
#y坐标名称
>> ylabel('y')
%题目
>>title('分段函数f(x)')
legend('表达式1','表达式2')

• 使用分段函数

编辑一个part脚本函数

function y=part(x)
n=length(x);
for i=1:n
    if x(i)>1
        y(i)=x(i).^2;
    elseif x(i)>-1
        y(i)=1;
    else
        y(i)=3+2*x(i);
    end
end
end

• 通过find获取下标

>> x=linspace(-2,2,1000);
>> y=zeros(size(x));
>> ind1=find(x>1);%第一段函数的下标
>> ind2=find(x>-1&x<=1);%第二段函数的下标
>> ind3=find(x<=-1);%第三段函数的下标
>> y(ind1)=x(ind1).^2;%第一段函数
>> y(ind2)=1;%第二段函数
>> y(ind3)=3+2*x(ind3);%第三段函数

2.三维平面图

• mesh绘图

>> %meshgrid函数用于生成二维网格矩阵，从而方便地生成网格图或三维图形
>> [X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2);%相当于生成区间
>> %三维表达式
>> Z=X.^2-Y.^2;
>> %mesh方法绘制三维网格图
>> mesh(X,Y,Z);
>> xlabel('x');
>> ylabel('y');
>> zlabel('z');
>> title('三维网格图');

• surf绘图

>> %生成数据
>> %meshgrid函数可以用于生成二维网格矩阵，从而方便地生成网格图或三维图形
>> [X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2);%相当于生成区间
>> %三维表达式
>> Z=X.^2-Y.^2;
>> %surf方法绘制三维曲面图
>> surf(X,Y,Z);
>> xlabel('x');
>> ylabel('y');
>>  zlabel('z');
>> title('三维曲面图');

• 使用contour方法绘制等高线

>> %生成数据
>> %meshgrid函数可以用于生成二维网格矩阵，从而方便地生成网格图或三维图形
>> [X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2);%相当于生成区间
>> %三维表达式
>> Z=X.^2-Y.^2;
>> %contour方法绘制三维网格图
>> contour(X,Y,Z);
%如果想要确定某一等高线直接在后面添加参数
%contour(X,Y,Z,[1]);
>> xlabel('x');
>> ylabel('y');
>>  zlabel('z');
>> title('三维等高线');

3.三维线性图

• 使用plot3绘制三维线条

>> %生成数据
>> t=linspace(0,10*pi,1000);
>> x=sin(t);
>> y=cos(t);
>> z=t;
>> %绘制三维线条图
>> plot3(x,y,z);
>> xlabel('x');
>> ylabel('y');
>> zlabel('z');
>> title('三维线条图');

4.矩阵运算（线性方程组求解问题）

使用rref化为行最简化求方程组的解答

>> %根据线性方程组得到矩阵A,b
>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];
>> b=[1;1;-1];
>> %只有当矩阵A的秩和增广矩阵（A,b）秩相等才有解答
>> if rank(A)==rank([A,b])
      %使用rref求增广矩阵行最简
          rref([A,b])
else
    disp('次方程组无解')
end
​
ans =
​
     1    -1     0     0     0
     0     0     1    -1     1
     0     0     0     0     0

正交变换--将二次型化为标准型

首先根据给出的公式写出矩阵A,通过矩阵A求特征值和特征向量，正交化，规范化然后求出标准化

normalize.m（规范化）

function V_norm=normalize(V)%定义规范函数
%对向量进行规范化
[m,n]=size(V);
for i=i:n
    V_norm(:,i)=V(:,i)/norm(V(:,i));
end
end

gramSchmidt.m（正交化）文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-718339.html

function [Q,R]=gridSchmidt(A)
%Gram-Schmidt 正交化过程
[m,n]=size(A);
Q=A;
R=zeros(n,n);
for j=1:n
    R(j,j)=norm(Q(:,j));
    Q(:,j)=Q(:,j)/R(j,j);
    for i=j+1:n
        R(j,i)=Q(:,j)*Q(:,i);
        Q(:,i)=Q(:,i)-R(j,i)*Q(:,j);
    end
end
end

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