1.向量的内积
1.1 定义
从代数角度看，先对两个数字序列中的每组对应元素求积，再对所有积求和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。
表示形式： A T B A^TB ATB、 < A , B > <A,B> <A,B>
1.2 求解方式
代数形式
向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：
a ⃗ = [ a 1 , a 2 , . . . a n ] \vec a=[a_1,a_2,...a_n] a=[a1,a2,...an] b ⃗ = [ b 1 , b 2 , . . . b n ] \vec b=[b_1,b_2,...b_n] b=[b1,b2,...bn]
a和b的点积公式为：
a
⃗
⋅
b
⃗
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
.
.
.
+
a
n
b
n
\vec a·\vec b=\sum\limits^n\limits_{i=1}a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n
a⋅b=i=1∑naibi=a1b1+a2b2+...+anbn
这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)
举个栗子：
两个三维向量 [ 1 , 3 , − 5 ] \left[1,3,-5\right] [1,3,−5]和 [ 4 , − 2 , − 1 ] [4,−2,−1] [4,−2,−1]的点积是:
[ 1 , 3 , − 5 ] ⋅ [ 4 , − 2 , − 1 ] = 1 ∗ 4 + 3 ∗ ( − 2 ) + ( − 5 ) ∗ ( − 1 ) = 4 − 6 + 5 = 3 \left[1,3,-5\right]·[4,−2,−1]=1*4+3*(-2)+(-5)*(-1)=4-6+5=3 [1,3,−5]⋅[4,−2,−1]=1∗4+3∗(−2)+(−5)∗(−1)=4−6+5=3
几何形式
在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为:
a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \; a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
这里 ∣ x ⃗ ∣ |\vec{x}| ∣x∣ 表示 x ⃗ \vec{x} x的模(长度)， θ \theta θ 表示两个向量之间的角度。
这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若
a
⃗
\vec{a}
a和
b
⃗
\vec{b}
b都是单位向量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：
cos
θ
=
a
⋅
b
∣
a
⃗
∣
∣
b
⃗
∣
\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\vec{a}| \, |\vec{b}|}
cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b
1.3 几何意义
A ⃗ ⋅ B ⃗ = ∣ A ⃗ ∣ ∣ B ⃗ ∣ cos θ \vec{\mathbf A} \cdot \vec{\mathbf B} = |\vec{\mathbf A}| \, |\vec{\mathbf B}| \cos \theta \; A⋅B=∣A∣∣B∣cosθ
欧氏空间中向量 A \mathbf A A在向量 B \mathbf B B上的标量投影是指: A B = ∣ A ∣ cos θ A_B=|\mathbf A|\cos\theta AB=∣A∣cosθ
直观上看是：向量 A \mathbf A A在向量 B \mathbf B B的投影与 B \mathbf B B的模相乘之后的大小。
两个向量越是相似，内积就越大(夹角就越小)。
Q：为什么在度量两个向量的相似度时，选择使用cos值，而不是向量的内积呢？
A：cos有归一化的作用
2.向量的外积
2.1 定义
两个向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
向量a与b的外积a×b是一个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a与b。并且，(a,b,a×b)构成右手系。
对于向量a和向量b：
a ⃗ = [ x 1 , y 1 , z 1 ] , b ⃗ = [ x 2 , y 2 , z 2 ] \vec a=[x_1,y_1,z_1], \vec b=[x_2,y_2,z_2] a=[x1,y1,z1],b=[x2,y2,z2]
向量a和向量b外积公式为：
a
×
b
=
∣
i
j
k
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
∣
=
(
y
1
z
2
−
y
2
z
1
)
i
−
(
x
1
z
2
−
x
2
z
1
)
j
+
(
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
k
a \times b = \left| \begin{array}{cccc} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \end{array} \right|=(y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k
a×b=
ix1x2jy1y2kz1z2
=(y1z2−y2z1)i−(x1z2−x2z1)j+(x1y2−x2y1)k
其中
i
=
(
1
,
0
,
0
)
,
j
=
(
0
,
1
,
0
)
,
k
=
(
0
,
0
,
1
)
i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)
i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)， 根据
i
、
j
、
k
i、j、k
i、j、k间关系，有：
a
×
b
=
(
y
1
z
2
−
y
2
z
1
,
−
(
x
1
z
2
−
x
2
z
1
)
,
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
a \times b = (y_1z_2-y_2z_1,\ -(x_1z_2-x_2z_1),\quad x_1y_2-x_2y_1)
a×b=(y1z2−y2z1, −(x1z2−x2z1),x1y2−x2y1)
2.2 向量外积的几何意义
在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在二维空间中，外积还有另外一个几何意义就是：|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
3.向量的哈达玛积
两个相同形状的矩阵，输出是具有同样形状的、各个位置的元素等于两个输入矩阵相同位置元素的乘积的矩阵。
若两个矩阵A和B具有相同的维度
m
×
n
m\times n
m×n，则它们的阿达玛乘积$ A\circ B$是一个具有相同维度的矩阵，其元素值为：
(
A
∘
B
)
i
j
=
(
A
)
i
j
(
B
)
i
j
.
{\displaystyle (A\circ B)_{ij}=(A)_{ij}(B)_{ij}.}
(A∘B)ij=(A)ij(B)ij.
4.总结
- 向量内积的结果为标量
- 向量内积的几何意义：向量 A \mathbf A A在向量 B \mathbf B B的投影与 B \mathbf B B的模相乘之后的大小。
- 向量a和向量b的外积结果是一个向量(法向量)，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
- 哈达玛积：基于矩阵(两个矩阵的维度完全相同) 对应位置元素相乘(卷积) element-wise product
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