一、概念
个数排成的m行n列的表格
二、运算法则
三、初等变换
(1)用非零常数k乘矩阵的某一行(列);
(2)互换矩阵某两行(列)的位置;
(3)把某行(列)的k倍加至另一行(列)。
称为矩阵的初等行(列)变换,统称初等变换。矩阵经初等行变换后秩不变。
初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。用初等矩阵P左(右)乘矩阵A,其结果PA(AP)就是对矩阵A作一次相应的初等行(列)变换。初等矩阵均可逆,且其逆矩阵是同类型的初等矩阵,即
等价:矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价,记作。矩阵等价的充分必要条件是,存在可逆矩阵P与Q,使。
四、特殊矩阵
转置矩阵:矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵,记作
伴随矩阵:矩阵A的每个元素被其代数余子式所取代而构成的矩阵,记作。
对于二阶矩阵,主对角线元素互换,副对角线元素变号即可求出伴随矩阵。
可逆矩阵:存在n阶矩阵B(单位矩阵),则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵,B是A的逆矩阵。
若n阶矩阵A可逆,则
- A的列(行)向量组线性无关
- 是初等矩阵
- A与单位矩阵等价
- 0不是矩阵A的特征值
对称矩阵:满足
反对称矩阵:满足
正交矩阵:满足
对角矩阵
分块矩阵
五、计算逆矩阵
六、秩
秩r(A)=A的列秩=A的行秩
若A可逆,则
若A列满秩,则
若A是矩阵,B是矩阵,,则
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