😎前言
含义:
- 前缀和实际上就是对于长度为n的数组,我们新建立一个数组长度为n+1,第i个元素的值为前i个元素的和(包括第i个元素)。
特点:
- 前缀和数组比原数组多一个长度。
- 前缀和的第0个元素的值为0。
- 根据前缀和数组的特点,求前缀和时。我们只需要用第i个元素的值+第i-1个前缀个数组的值就可能得到第i个前缀和数组的值。(这也是一种动态规划的思想)。
应用:
- 前缀和算法可以解决一些在数组中与连续有关的问题
🎄前缀和
描述
- 给定一个长度为n的数组a1, a.2, …
- 接下来有q次查询,每次查询有两个参数, r.
- 对于每个询问,请输出ar + a1+1 + … ar
输入描述:
- 第一行包含两个整数n和q.
- 第二行包含n个整数,表示a1, a2, …
- 接下来q行行包含两个整数和r.
- 1≤n,q≤10^5
- -10^9 ≤ a[i]≤ 10 ^ 9
- 1≤l≤r≤n
输出描述:
- 输出q行,每行代表-次查询的结果.
示例1
-
输入:
3 2
1 2 4
1 2
2 3 -
输出:
3
6
import java.util.Scanner;
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
// 注意 hasNext 和 hasNextLine 的区别
while (in.hasNextInt()) { // 注意 while 处理多个 case
int a = in.nextInt();
int b = in.nextInt();
System.out.println(a + b);
}
}
}
🚩算法思路
-
先预处理出来⼀个「前缀和」数组:
⽤ dp[i] 表⽰: [1, i] 区间内所有元素的和,那么 dp[i - 1] ⾥⾯存的就是 [1,i - 1] 区间内所有元素的和,那么:可得递推公式: dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ; -
使⽤前缀和数组,「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和:
当询问的区间是 [l, r] 时:区间内所有元素的和为: dp[r] - dp[l - 1] 。
🚩代码实现
import java.util.Scanner;
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int q = scanner.nextInt();
int[] arr = new int[n + 1];
for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
arr[i] = scanner.nextInt();
}
long[] dp = new long[n + 1];
for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];
}
while (q > 0) {
int l = scanner.nextInt();
int r = scanner.nextInt();
System.out.println(dp[r] - dp[l-1]);
q--;
}
}
}
🌲二维前缀和
🚩题目描述
给你一个n行m列的矩阵A,下标从1开始。
接下来有q次渣询,每次查询输入4个参数x1 ,y1 ,x2,y2
请输出以(x1, y1)左角, (x2,y2) 为右下角的子矩阵的和,
-
输入描述:
第一行包含三个整数n,m,q.
接下来n行,行m个整数,代表矩阵的元素
接下来q行,每行4个整数x1, y1, x2, y2,分别代表这次查询的参数 -
1≤n,m≤1000
-
1≤q≤105
-
-10°≤a[i][j]≤109
-
1≤x1≤x2≤n
-
1≤y1≤y2≤m
-
输出描述:
输出q行,珩示碴询结果。
示例1
-
输入:3 4 3
1 2 3 4
3 2 1 0
1 5 7 8
1 1 2 2
1 1 3 3
1 2 3 4 -
输出: 8
2 5
3 2
import java.util.Scanner;
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
// 注意 hasNext 和 hasNextLine 的区别
while (in.hasNextInt()) { // 注意 while 处理多个 case
int a = in.nextInt();
int b = in.nextInt();
System.out.println(a + b);
}
}
}
🚩算法思路:
类⽐于⼀维数组的形式,如果我们能处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这⽚区域内所有元素的累加和,就可以在 O(1) 的时间内,搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。
因此我们接下来仅需完成两步即可:
📌第⼀步:搞出来前缀和矩阵
这⾥就要⽤到⼀维数组⾥⾯的拓展知识,我们要在矩阵的最上⾯和最左边添加⼀⾏和⼀列0,这样我们就可以省去⾮常多的边界条件的处理(同学们可以⾃⾏尝试直接搞出来前缀和矩阵,边界条件的处理会让你崩溃的)。处理后的矩阵就像这样
这样,我们填写前缀和矩阵数组的时候,下标直接从 1 开始,能⼤胆使⽤ i - 1 , j - 1 位置的值。
注意dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系:
-
从 dp 表到 matrix 矩阵,横纵坐标减⼀
-
从 matrix 矩阵到 dp 表,横纵坐标加⼀
前缀和矩阵中 sum[i][j] 的含义,以及如何递推⼆维前缀和⽅程
- sum[i][j] 的含义:
sum[i][j] 表⽰,从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内,所有元素的累加和。对应下图的红⾊区域:
- 递推⽅程:
其实这个递推⽅程⾮常像我们⼩学做过求图形⾯积的题,我们可以将 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域分解成下⾯的部分
sum[i][j] =红+蓝+绿+⻩,分析⼀下这四块区域:
-
⻩⾊部分最简单,它就是数组中的 matrix[i - 1][j - 1] (注意坐标的映射关系)
-
单独的蓝不好求,因为它不是我们定义的状态表⽰中的区域,同理,单独的绿也是;
-
但是如果是红+蓝,正好是我们 dp 数组中 sum[i - 1][j] 的值,美滋滋;
-
同理,如果是红+绿,正好是我们 dp 数组中 sum[i][j - 1] 的值;
-
如果把上⾯求的三个值加起来,那就是⻩+红+蓝+红+绿,发现多算了⼀部分红的⾯积,因此再单独减去红的⾯积即可;
-
红的⾯积正好也是符合 dp 数组的定义的,即 sum[i - 1][j - 1]
综上所述,我们的递推⽅程就是:
sum[i][j]=sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j -1]+matrix[i - 1][j - 1]
📌第⼆步:使用前缀和矩阵
题⽬的接⼝中提供的参数是原始矩阵的下标,为了避免下标映射错误,这⾥直接先把下标映射成
dp 表⾥⾯对应的下标: row1++, col1++, row2++, col2++
接下来分析如何使⽤这个前缀和矩阵,如下图(注意这⾥的 row 和 col 都处理过了,对应的正
是 sum 矩阵中的下标):
对于左上⻆ (row1, col1) 、右下⻆ (row2, col2) 围成的区域,正好是红⾊的部分。因此我们要求的就是红⾊部分的⾯积,继续分析⼏个区域:
-
⻩⾊,能直接求出来,就是 sum[row1 - 1, col1 - 1] (为什么减⼀?因为要剔除掉 row 这⼀⾏和 col 这⼀列)
-
绿⾊,直接求不好求,但是和⻩⾊拼起来,正好是 sum 表内 sum[row1 - 1][col2]的数据;
-
同理,蓝⾊不好求,但是 蓝 + ⻩ = sum[row2][col1 - 1] ;
-
再看看整个⾯积,好求嘛?⾮常好求,正好是 sum[row2][col2] ;
-
那么,红⾊ = 整个⾯积- ⻩ - 绿 - 蓝,但是绿蓝不好求,我们可以这样减:整个⾯积 -(绿 + ⻩ )-(蓝 + ⻩),这样相当于多减去了⼀个⻩,再加上即可
综上所述:红 = 整个⾯积 - (绿 + ⻩)- (蓝 + ⻩)+ ⻩,从⽽可得红⾊区域内的元素总和为:
sum = [row2][col2]-sum[row2][col1 - 1]-sum[row1 - 1][col2]+sum[row1 -1][col1 - 1]文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-719822.html
🚩代码实现:
import java.util.Scanner;
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
int n = in.nextInt();
int m = in.nextInt();
int q = in.nextInt();
int[][] arr = new int[n + 1][m + 1];
long[][] dp = new long[n + 1][m + 1];
// 读⼊数据
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
arr[i][j] = in.nextInt();
}
}
// 处理前缀和矩阵
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + arr[i][j];
}
}
while (q > 0) {
int x1 = in.nextInt();
int y1 = in.nextInt();
int x2 = in.nextInt();
int y2 = in.nextInt();
System.out.println(dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1
- 1]);
q--;
}
}
}
⭕总结
关于《【算法优选】 前缀和专题——壹》就讲解到这儿,感谢大家的支持,欢迎各位留言交流以及批评指正,如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注,点赞,收藏支持一下!文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-719822.html
到了这里,关于【算法优选】 前缀和专题——壹的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!