求与矩阵相似的三角矩阵

要求一个矩阵与给定矩阵相似，可以通过将该矩阵对角化的方法来实现。对角化的过程可以分解为两个步骤：首先找到该矩阵的特征值和特征向量，然后将特征向量按列组成的矩阵和一个对角矩阵相乘，得到相似的对角矩阵。

如果要求与矩阵$A$相似的三角矩阵，可以进行Schur分解。Schur分解是将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个酉矩阵相乘的形式。具体来说，对于任意一个矩阵$A$，存在一个酉矩阵$Q$和一个上三角矩阵$T$，使得$A=QT{Q}^{-1}$。$T$即为与$A$相似的三角矩阵。

Schur分解可以用于求解复矩阵的特征值和特征向量，以及解线性方程组等问题。在实际应用中，可以使用MATLAB、Python等数值计算工具进行计算。
假设我们有一个矩阵$A$如下：

A = [ 1 2 2 0 2 2 0 0 3 ] A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} A= ​100​220​223​ ​

我们要求一个与$A$相似的三角矩阵$T$。首先，我们可以使用特征值和特征向量的方法对$A$进行对角化，求出$A$的特征值和特征向量如下：

λ 1 = 1 , v 1 = [ 1 0 0 ] λ 2 = 2 , v 2 = [ − 1 1 0 ] λ 3 = 3 , v 3 = [ 1 − 1 1 ] \begin{aligned} \lambda_1 &= 1, \quad v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \lambda_2 &= 2, \quad v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \lambda_3 &= 3, \quad v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned} λ1​λ2​λ3​​=1,v1​= ​100​ ​=2,v2​= ​−110​ ​=3,v3​= ​1−11​ ​​

我们将特征向量按列组成一个矩阵$Q$：

Q = [ 1 − 1 1 0 1 − 1 0 0 1 ] Q=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Q= ​100​−110​1−11​ ​

然后，我们将$Q$和$A$代入Schur分解公式$A=QT{Q}^{-1}$中，得到：

T = Q − 1 A Q = [ 1 1 − 1 0 1 1 0 0 1 ] [ 1 2 2 0 2 2 0 0 3 ] [ 1 − 1 1 0 1 − 1 0 0 1 ] = [ 1 2 0 0 2 1 0 0 3 ] \begin{aligned} T &= Q^{-1}AQ \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned} T​=Q−1AQ= ​100​110​−111​ ​ ​100​220​223​ ​ ​100​−110​1−11​ ​= ​100​220​013​ ​​

因此，与矩阵$A$相似的三角矩阵$T$为：

T = [ 1 2 0 0 2 1 0 0 3 ] T=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} T= ​100​220​013​ ​

可以看到，$T$是一个上三角矩阵，与$A$相似。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-721253.html

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