矩阵理论| 特殊矩阵：酉矩阵、旋转与镜射-Toy模板网

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酉矩阵Unitary matrix

复数域的“正交矩阵”就是酉矩阵。酉矩阵的列向量组为一组标准正交基，因而
酉矩阵 $U$ 满足 $U^HU=UU^H=I$

酉矩阵出现于许多分解中：
SVD（ $A=U\Sigma V^H$ ）、矩阵三角化的 Schur 定理（ $A= A=UTU^H$ ， $T$ 为上三角阵）、正规矩阵的酉对角化（ $A=U\Lambda U^H$ ）

酉矩阵的几何意义：旋转与镜射

一般而言，我们简单认为酉矩阵对应旋转变换；
但是实际上，旋转这个说法不是非常准确，前提是正交矩阵 $Q$ 的行向量必须适当排序 ，否则也可能包含镜像变换

酉矩阵的几何意义有两种：旋转和镜射

例如2维空间中的两个正交矩阵是：
$Q_{1}=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$ 和 $Q_{2}=\left[\begin{array}{cc} -\sin \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta \end{array}\right]$

其中， $Q_1$ 对应旋转变换，而 $Q_{2}=Q_{1}\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$ 则是旋转变换+镜像变换（将x/y轴对调，相当于关于直线y=x的镜像反射）

详见旋转与镜射

酉矩阵的性质

酉变换几何意义是旋转，由此立即可知：

酉变换保证长度不变： $\Vert U\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$
酉变换保证向量夹角不变： $(U\mathbf{x})^H(U\mathbf{y})=\mathbf{x}^H\mathbf{y}$
酉矩阵特征值的模为1，即 $|\lambda|=1$
证明： $\Vert \lambda\mathbf{x}\Vert=\Vert U\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$ ，即 $|\lambda|\Vert \mathbf{x}\Vert=\Vert \mathbf{x}\Vert$

特征值与行列式：

酉矩阵行列式的模为1，即 $\vert\det U\vert=1$
证明： $\vert\det U\vert=\vert \lambda_1\cdots\lambda_n\vert=\vert\lambda_1\vert\cdots\vert\lambda_n\vert=1$
进一步，对于实正交矩阵 $Q$ ， $\det Q=\pm 1$
$\det Q=1$ 称为适当的（proper）的正交矩阵； $\det Q=-1$ 称为不适当的正交矩阵

例如下面两种实正交矩阵：
逆时针旋转 $\theta$ 角度的旋转矩阵 $R(\theta)=\left[\!\!\begin{array}{cr} \sin\theta&-\cos\theta\\ \cos\theta&\sin\theta \end{array}\!\!\right]$ 满足 $\det R(\theta)=1$ ，这是适当的正交矩阵
平面上以 $\begin{bmatrix} \cos\phi\\ \sin\phi \end{bmatrix}$ 为镜射轴的镜射矩阵 $F(\phi)=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2\phi&\ sin 2\phi\\ \sin 2\phi&-\cos 2\phi \end{array}\!\!\right]$ 满足 $\det F(\theta)=-1$ ，这是不适当的正交矩阵
详见旋转与镜射

最后，酉矩阵（属于正规矩阵）可以酉对角化 $U=VDV^H$ （一套正交的特征向量）

酉矩阵的判别

$A$ 是酉矩阵的充要条件：

所有特征值满足 $\vert\lambda\vert=1$ ，且最大奇异值 $\sigma_{\max}\le 1$
（ $\sigma_{\max}\le 1$ 的等价表述：① $A$ 的算子2范数 $\displaystyle \Vert A\Vert_2=\max_{\Vert\mathbf{x}\Vert\neq\mathbf{0}}\frac{\Vert A\mathbf{x}\Vert}{\Vert\mathbf{x}\Vert}=\sigma_{\max}\le 1$ ；②对于任意向量 $\mathbf{x}$ 有 $\Vert A\mathbf{x}\Vert\le\Vert\mathbf{x}\Vert$ ）

证明：
$A$ 的SVD为 $A=U\Sigma V^H$ ，则 $\det(A^H A)=\det(\Sigma^H\Sigma)=\sigma_1^2\cdots\sigma_n^2$
又因为有恒等式 $\det(A^H A)=\vert\det A\vert^2$ （原因： $\det(A^HA)=(\det \overline{A^T})(\det A)=(\overline{\det A^T})(\det A)=(\overline{\det A})(\det A)=\vert\det A\vert^2$ ）
故 $\det(A^H A)=\sigma_1^2\cdots\sigma_n^2=\vert\det A\vert^2=|\lambda_1\cdots\lambda_n|^2$
故 $\sigma_1\cdots\sigma_n=\vert \lambda_1\cdots\lambda_n\vert=\vert\lambda_1\vert\cdots\vert\lambda_n\vert=1$ ，又因为 $\sigma_{\max}\le 1$ ，可知 $\sigma_1=\cdots=\sigma_n=1$
最终 $A=U\Sigma V^H=UIV^H=UV^H$ ，即知 $A^HA=I$ ， $A$ 是酉矩阵