电容并联放电电阻的RC 电路时间常数计算,一阶线性常系数微分方程

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了电容并联放电电阻的RC 电路时间常数计算,一阶线性常系数微分方程。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

就是在谁都知道的RC 电路里的电容旁边并联一个放电电阻,计算它对时间常数的影响,参考下面的示意图:

电阻并联在电容两端放电时间计算,Circuit,硬件工程,单片机

电路的输入电压是电源电压V,在R0 和R1 之间连接着一个单片机引脚,所以想计算上电后单片机引脚上电压的变化,也就是输出电压Uo。电容C 通过R0 和R1 充电,R2 放电。

计算

以前电路上好像学了简化方法,叫三要素法,但是我忘光了,所以就从基础开始算。

电容两端的电压公式如下:

U c ′ = 1 C I c (1) {U_c}' = \frac{1}{C} I_c \tag{1} Uc=C1Ic(1)

即电压对时间的导数和电容量C 成反比,和电流正比。设,经过电容的电流是 I c I_c Ic,经过R2 的电流是 I 2 I_2 I2,干路电流 I 1 I_1 I1 是两支路之和。因为R2 两端电压和电容电压相等,则:

I 2 = U c R 2 (2) I_2 = \frac{U_c}{R_2} \tag{2} I2=R2Uc(2)

作用在干路电阻R0 + R1 上的电压又是输入电压V 和电容电压 U c U_c Uc 之差,于是干路电流就是:

I 1 = V − U c R 0 + R 1 (3) I_1 = \frac{V - U_c}{R_0 + R_1} \tag{3} I1=R0+R1VUc(3)

电容电压就可以表示成:

U c ′ = 1 C ( I 1 − I 2 ) = 1 C ( V − U c R 0 + R 1 − U c R 2 ) (4) \begin{aligned} {U_c}' &= \frac{1}{C} ( I_1 - I_2) \\ &= \frac{1}{C} (\frac{V - U_c}{R_0 + R_1} - \frac{U_c}{R_2}) \end{aligned} \tag{4} Uc=C1(I1I2)=C1(R0+R1VUcR2Uc)(4)

微分方程的感觉已经有了˜ 整理一下,变成标准的一阶线性微分方程的形式:

U c ′ + K U c = D (5) {U_c}' + KU_c = D \tag{5} Uc+KUc=D(5)

其中,

{ K = R 0 + R 1 + R 2 C R 2 ( R 0 + R 1 ) D = V C ( R 0 + R 1 ) (6) \begin{aligned} \begin{cases} K &= \frac{R_0 + R_1 + R_2}{C R_2 (R_0 + R_1)} \\ D &= \frac{V}{C (R_0 + R_1)} \end{cases} \end{aligned} \tag{6} {KD=CR2(R0+R1)R0+R1+R2=C(R0+R1)V(6)

可见K 和D 都是和时间无关的常数。高数里讲过,这种微分方程是比较简单的,有标准的解法。

解方程和时间常数

其实这一步已经能看出时间常数是什么了,和标准的一阶系统微分方程比较一下,能看出时间常数就是K 的倒数,电容量C 在分子上,C 越大时间常数越大,也符合常识。不过还是激情的解一遍方程吧。

按照标准方法,首先把方程两边同时处理一下:

e K t ( U c ′ + K U c ) = e K t D (7) e^{Kt}({U_c}' + K U_c) = e^{Kt}D \tag{7} eKt(Uc+KUc)=eKtD(7)

此时方程左边可以逆用导数乘法公式,变成:

( e K t ⋅ U c ) ′ = e K t D (8) (e^{Kt} \cdot U_c)' = e^{Kt} D \tag{8} (eKtUc)=eKtD(8)

然后就是两边积分,

( e K t U c ) ∣ 0 t = D ∫ 0 t e K t d t = D K e K t ∣ 0 t e K t U c ( t ) − U c ( 0 ) = D K ( e K t − 1 ) (9) \begin{aligned} ( e^{Kt} U_c ) \vert_0^t &= D \int_0^t e^{Kt} dt \\ &= \frac{D}{K} e^{Kt} \vert_0^t \\ e^{Kt} U_c(t) - U_c(0) &= \frac{D}{K}(e^{Kt} - 1) \end{aligned} \tag{9} (eKtUc)0teKtUc(t)Uc(0)=D0teKtdt=KDeKt0t=KD(eKt1)(9)

初始状态电容电压设为0,所以 U c ( 0 ) = 0 U_c(0) = 0 Uc(0)=0,则上式变为:

e K t U c ( t ) = D K ⋅ ( e K t − 1 ) U c ( t ) = D K ⋅ ( 1 − e − K t ) = D K ⋅ ( 1 − e − t K − 1 ) (10) \begin{aligned} e^{Kt} U_c(t) &= \frac{D}{K} \cdot (e^{Kt} - 1) \\ U_c(t) &= \frac{D}{K} \cdot (1 - e^{-Kt}) \\ &= \frac{D}{K} \cdot (1 - e^{\frac{-t}{K^{-1}}}) \end{aligned} \tag{10} eKtUc(t)Uc(t)=KD(eKt1)=KD(1eKt)=KD(1eK1t)(10)

标准的一阶系统阶跃响应是:

u ( t ) = 1 − e − t T (11) u(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}} \tag{11} u(t)=1eTt(11)

所以时间常数T 就是 K − 1 K^{-1} K1,也就是K 的倒数,观察一下K 倒数的形式:

K − 1 = T = C R 2 ( R 0 + R 1 ) R 0 + R 1 + R 2 = C [ R 2 ∥ ( R 0 + R 1 ) ] (12) \begin{aligned} K^{-1} = T &= \frac{C R_2 (R_0 + R_1)}{R_0 + R_1 + R_2} \\ &= C[R_2 \parallel (R_0 + R_1)] \end{aligned} \tag{12} K1=T=R0+R1+R2CR2(R0+R1)=C[R2(R0+R1)](12)

发现时间常数是C 乘上R2和(R0 + R1)的并联。而式10 前面的系数 D K \frac{D}{K} KD 是:

D K = R 2 V R 0 + R 1 + R 2 (13) \frac{D}{K} = \frac{R_2 V}{R_0 + R_1 + R_2} \tag{13} KD=R0+R1+R2R2V(13)

也就是R2 和(R0 + R1)的串联分压。

结果

这下就可以考虑输出电压Uo 了,Uo 是电容电压加上R1 的压降:

U o = U c ( t ) + I 1 R 1 = U c ( t ) + [ V − U c ( t ) ] R 1 R 0 + R 1 = R 0 R 0 + R 1 ⋅ U c ( t ) + R 1 V R 0 + R 1 (14) \begin{aligned} U_o &= U_c(t) + I_1 R_1 \\ &= U_c(t) + \frac{[V - U_c(t)] R_1}{R_0 + R_1} \\ &= \frac{R_0}{R_0 + R_1} \cdot U_c(t) + \frac{R_1 V}{R_0 + R_1} \end{aligned} \tag{14} Uo=Uc(t)+I1R1=Uc(t)+R0+R1[VUc(t)]R1=R0+R1R0Uc(t)+R0+R1R1V(14)

可见,输出电压Uo 包含一个常数项,就是电源电压V 经过R0 和R1 的分压。也很好理解,在初始状态电容电压为0,就相当于V 经过R0 和R1 接地。

现在回到实际,假设输入电压V = 5V,芯片引脚输入高电平阈值是4V,要计算输出电压上升到4V 的所需时间。假设输出电压初始值低于4V,设那个常数项电压是 U r U_r Ur,也就是要算 U c ( t ) U_c(t) Uc(t) 上升到4V - U r U_r Ur 的时间。

U c ( t ) = 4 − U r R 2 R 0 V ( R 0 + R 1 + R 2 ) ( R 0 + R 1 ) ⋅ ( 1 − exp ⁡ ( − t C [ R 2 ∥ ( R 0 + R 1 ) ] ) ) = 4 − R 1 V R 0 + R 1 (15) \begin{aligned} U_c(t) &= 4 - U_r \\ \frac{R_2 R_0 V}{(R_0 + R_1 + R_2)(R_0 + R_1)} \cdot (1 - \exp(\frac{-t}{C[R_2 \parallel (R_0 + R_1)]})) &= 4 - \frac{R_1 V}{R_0 + R_1} \end{aligned} \tag{15} Uc(t)(R0+R1+R2)(R0+R1)R2R0V(1exp(C[R2(R0+R1)]t))=4Ur=4R0+R1R1V(15)

这个方程,emmm,头皮发麻[doge],不过忽略那些常数的话结构也不复杂。代换整理一下:

A ( 1 − e − t T ) = U d (16) A(1 - e^{\frac{-t}{T}}) = U_d \tag{16} A(1eTt)=Ud(16)

解得:

t = − T ln ⁡ ( 1 − U d A ) (17) t = -T \ln(1 - \frac{U_d}{A}) \tag{17} t=Tln(1AUd)(17)

再看一眼参数A 和T,令串联电阻 R s = R 0 + R 1 R_s = R_0 + R_1 Rs=R0+R1,当放电电阻R2 很大时:

T = C [ R 2 ∥ R s ] ≈ C R s (18) T = C[R_2 \parallel R_s] \approx C R_s \tag{18} T=C[R2Rs]CRs(18)

也就是当R2 很大时,时间常数主要和串联电阻有关。然后把A 分解回左右两部分:

A = R 2 R 2 + R s ⋅ R 0 V R s ≈ ( 1 − R 1 R s ) V = ( 1 − q ) V (19) \begin{aligned} A = \frac{R_2}{R_2 + R_s} \cdot \frac{R_0 V}{R_s} &\approx (1 - \frac{R_1}{R_s}) V \\ &= (1 - q)V \end{aligned} \tag{19} A=R2+RsR2RsR0V(1RsR1)V=(1q)V(19)

当R2 很大时,左侧因子约等于1,右边因子再换一下形式,把R1 和Rs 的比值记为q,0 < q < 1。于是式17 的解可以写成:

t = − C R s ln ⁡ ( 1 − 4 − q V V − q V ) = − C R s ln ⁡ ( V − 4 V ( 1 − q ) ) = − C R s ln ⁡ ( 1 5 ( 1 − q ) ) = C R s ln ⁡ ( 5 ( 1 − q ) ) (20) \begin{aligned} t &= -C R_s \ln(1 - \frac{4 - qV}{V - qV}) \\ &= -C R_s \ln(\frac{V - 4}{V(1 - q)}) \\ &= -C R_s \ln(\frac{1}{5(1 - q)}) \\ &= C R_s \ln(5(1 - q)) \end{aligned} \tag{20} t=CRsln(1VqV4qV)=CRsln(V(1q)V4)=CRsln(5(1q)1)=CRsln(5(1q))(20)

只看这个结果,当电容量C 和串联电阻R_s 固定,如果 ( 1 − q ) = 1 5 (1 - q) = \frac{1}{5} (1q)=51,那么 ln ⁡ ( 1 ) = 0 \ln(1) = 0 ln(1)=0,上升时间就是0 了,说明此时初始电压就是4V,R0 和R1 可以取2k 和8k。

U r = R 1 R s ⋅ V = 4 5 ⋅ 5 = 4 V U_r = \frac{R_1}{R_s} \cdot V = \frac{4}{5} \cdot 5 = 4V Ur=RsR1V=545=4V

总结

浪费时间瞎算了一顿[doge],一开始就拿煎蛋的分压公式算一下初始电压不就行了。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-723689.html

到了这里,关于电容并联放电电阻的RC 电路时间常数计算,一阶线性常系数微分方程的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 定量分析计算51单片机复位电路工作原理 怎么计算单片机复位电容和电阻大小

    下面画出等效电路图  可以知道单片机内必然有一个电阻RX,为了简化分析,我们假设他是线性电阻(不带电容,电感的支路) 还有一个基础知识: 电容器的充电放电曲线: 还需要知道电容电压的变化是连续的,(高数知识)无法跳变。 一个很大的误区就是认为电容一上电

    2024年02月12日
    浏览(50)
  • 电路笔记(一)——RC充放电

    电路: 时间常数:(是指物理量从最大值衰减到1/e所需要的时间) tau = RC 对于充电:时间常数是电容器电压 Uc从0增加到63.2% 所需要的时间。 对于放电:时间常数是电容器电压 Uc从Us减少到36.8% 所需要的时间。 电容充放电一般3 - 5个时间常数可以充满电 假设有电源Us通过电阻

    2024年02月09日
    浏览(42)
  • 无源晶振电路中并联电阻的作用

            一般来说,单片机的时钟电路是使用外部的无源晶振和负载电容组合实现连接到单片机的Xin和Xout引脚上,无源晶振自身无法振荡,因此需要匹配外部谐振电路才可以输出振动信号。         但是在实际电路设计中,也会在晶振两端并联一个电阻。这个电阻叫做

    2024年02月12日
    浏览(61)
  • 基于STM32的电阻、电容测量(NE555芯片RC振荡法)

    做的一个关于电阻和电容的测量电路,都是比较通用的。经过实际测试,电容测量电路还是可以的,电阻测量电路有一个缺点就是,随着测量时长的推移,在小电阻的测量时,比如0-100欧姆测量时,检测到的RC震荡频率会增加, 所以小电阻需要校正一下,否则小电阻容易出现

    2024年02月04日
    浏览(292)
  • 浅谈一下 电路LC串并联谐振(电容,电感)的知识

          新人博主欢迎关注,以下是根据我已有的知识进行的回答,本人才疏学浅,答案中肯定存在不精确不完善之处,请对此问题有更深刻理解的专家进行更专业的讲解,或对我的进行修正。       共振:物体有自己的固有频率,当外来振动频率与固有频率相同时,会产生

    2024年02月11日
    浏览(45)
  • 一种电阻电感电容自动识别及阻抗值测量电路

    笔者大学里一个模拟电赛的题目,做完之后闲着没事就传到这,希望和大家学习交流。 摘要 本电路能够实现自动识别电阻电感电容,并对它们的阻抗值进行测量。当分别接入电阻电感电容时,对应的小灯泡会发光,指示使用者查看相应的万用表。电阻测量范围为0.1 - 1k欧姆,

    2024年02月14日
    浏览(48)
  • 电容充放电曲线

    “电容充电相当于短路,那电容后面的电路上还会有电流吗?”根据这句话,我绘制对应的图,如下: 图1:电容的充电电压曲线和电阻的电流曲线 图1的左图,我们看到了电路图。当我们在时刻0把开关K闭合,电容当然就开始充电。电容的后部是电阻R,题主的提问相当于:电

    2024年02月10日
    浏览(46)
  • 永磁电机参数的测量获取(电感、电阻、极对数、磁链常数)

    最近整理了一下永磁同步电机最经常使用的几个参数的测量和计算方法,记录分享一下。 1. 电阻、电感测量 2. 极对数测量 3. 磁链常数计算 1、电阻、电感测量: 在测量之前要知道电机是星形接法还是三角形接法,大家应该都知道对于星形接法有: 线电流 = 相电流 线电阻

    2024年01月24日
    浏览(43)
  • 【电子实验1】电容充电、放电显示器

    🔎大家好,我是 謓泽 ,希望你看完之后,能对你有所帮助,不足请指正!共同学习交流🔎 🏅2021年度博客之星物联网与嵌入式开发TOP5→周榜38→总榜2629🏅 🆔本文由 泽En 原创 CSDN首发 🙈 如需转载还请通知 ⚠ 📝个人主页:打打酱油desu-CSDN博客 🎁欢迎各位→点赞👍 +

    2024年02月10日
    浏览(46)
  • MOS管栅极串并联电阻作用

    我们经常看到,在电源电路中,功率MOS管的G极经常会串联一个小电阻,几欧姆到几十欧姆不等,那么这个电阻用什么作用呢?    如上图开关电源,G串联电阻R13 这个电阻的作用有2个作用: 限制G极电流,抑制振荡。 MOS管是由电压驱动的,是以G级电流很小,但是因为寄生电

    2024年02月11日
    浏览(42)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包