线性代数｜分块矩阵的运算规则

1 分块矩阵的加法

定理 1　设矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有
A = ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s r ) , B = ( B 11 ⋯ B 1 r ⋮ ⋮ B s 1 ⋯ B s r ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{11} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{A}_{s1} & \cdots & \boldsymbol{A}_{sr} \end{pmatrix}, \hspace{1em} \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{B}_{11} & \cdots & \boldsymbol{B}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{B}_{s1} & \cdots & \boldsymbol{B}_{sr} \end{pmatrix} A= ​A11​⋮As1​​⋯⋯​A1r​⋮Asr​​ ​,B= ​B11​⋮Bs1​​⋯⋯​B1r​⋮Bsr​​ ​
其中 ${\mathbf{A}}_{ij}$ 与 ${\mathbf{B}}_{ij}$ 的行数相同、列数相同，那么
A + B = ( A 11 + B 11 ⋯ A 1 r + B 1 r ⋮ ⋮ A s 1 + B s 1 ⋯ A s r + B s r ) \boldsymbol{A+B} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{11}+\boldsymbol{B}_{11} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1r}+\boldsymbol{B}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{A}_{s1}+\boldsymbol{B}_{s1} & \cdots & \boldsymbol{A}_{sr}+\boldsymbol{B}_{sr} \end{pmatrix} A+B= ​A11​+B11​⋮As1​+Bs1​​⋯⋯​A1r​+B1r​⋮Asr​+Bsr​​ ​

证明　设矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$，$\mathbf{B}=(b_{ij})$，令 $\mathbf{D}=(d_{ij})=\mathbf{A}+\mathbf{B}$，则对任意 $i,j$，都有 $d_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。

设
C = ( c i j ) = ( C 11 ⋯ C 1 r ⋮ ⋮ C s 1 ⋯ C s r ) = ( A 11 + B 11 ⋯ A 1 r + B 1 r ⋮ ⋮ A s 1 + B s 1 ⋯ A s r + B s r ) \boldsymbol{C} = (c_{ij}) = \begin{pmatrix} \boldsymbol{C}_{11} & \cdots & \boldsymbol{C}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{C}_{s1} & \cdots & \boldsymbol{C}_{sr} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{11}+\boldsymbol{B}_{11} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1r}+\boldsymbol{B}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{A}_{s1}+\boldsymbol{B}_{s1} & \cdots & \boldsymbol{A}_{sr}+\boldsymbol{B}_{sr} \end{pmatrix} C=(cij​)= ​C11​⋮Cs1​​⋯⋯​C1r​⋮Csr​​ ​= ​A11​+B11​⋮As1​+Bs1​​⋯⋯​A1r​+B1r​⋮Asr​+Bsr​​ ​
因为 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 采用相同的分块法，所以对任意 $i,j$，都有 $a_{ij}$ 在 $\mathbf{A}$ 中所在的分块 ${\mathbf{A}}_{kl}$ 与 $b_{ij}$ 在 $\mathbf{B}$ 中所在的分块 ${\mathbf{B}}_{kl}$ 的位置相同。于是根据 $C_{kl}=A_{kl}+B_{kl}$，则有 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=d_{ij}$。

所以 $\mathbf{C}$ 与 $\mathbf{D}$ 等价，得证。

2 数与分块矩阵相乘

定理 2　设 A = ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s r ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{11} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{A}_{s1} & \cdots & \boldsymbol{A}_{sr} \end{pmatrix} A= ​A11​⋮As1​​⋯⋯​A1r​⋮Asr​​ ​，$\lambda$ 为数，那么
λ A = ( λ A 11 ⋯ λ A 1 r ⋮ ⋮ λ A s 1 ⋯ λ A s r ) \lambda \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \lambda \boldsymbol{A}_{11} & \cdots & \lambda \boldsymbol{A}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \lambda \boldsymbol{A}_{s1} & \cdots & \lambda \boldsymbol{A}_{sr} \end{pmatrix} λA= ​λA11​⋮λAs1​​⋯⋯​λA1r​⋮λAsr​​ ​

证明　设矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$，令 $\mathbf{D}=(d_{ij})=\lambda \mathbf{A}$，则对于任意 $i,j$，都有 $d_{ij}=\lambda a_{ij}$。

设
C = ( c i j ) = ( C 11 ⋯ C 1 r ⋮ ⋮ C s 1 ⋯ C s r ) = ( λ A 11 ⋯ λ A 1 r ⋮ ⋮ λ A s 1 ⋯ λ A s r ) \boldsymbol{C} = (c_{ij}) = \begin{pmatrix} \boldsymbol{C}_{11} & \cdots & \boldsymbol{C}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{C}_{s1} & \cdots & \boldsymbol{C}_{sr} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \boldsymbol{A}_{11} & \cdots & \lambda \boldsymbol{A}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \lambda \boldsymbol{A}_{s1} & \cdots & \lambda \boldsymbol{A}_{sr} \end{pmatrix} C=(cij​)= ​C11​⋮Cs1​​⋯⋯​C1r​⋮Csr​​ ​= ​λA11​⋮λAs1​​⋯⋯​λA1r​⋮λAsr​​ ​
对于任意 $i,j$，不妨设 $a_{ij}$ 在 $\mathbf{A}$ 中所在的分块为 ${\mathbf{A}}_{kl}$，根据 ${\mathbf{C}}_{kl}=\lambda {\mathbf{A}}_{kl}$，则有 $c_{ij}=\lambda a_{ij}=d_{ij}$。

所以 $\mathbf{C}$ 与 $\mathbf{D}$ 等价，得证。

3 分块矩阵与分块矩阵相乘

定理 3　设 $\mathbf{A}$ 为 $m\times l$ 矩阵，$\mathbf{B}$ 为 $l\times n$ 矩阵，分块成
A = ( A 11 ⋯ A 1 t ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s t ) , B = ( B 11 ⋯ B 1 r ⋮ ⋮ B t 1 ⋯ B t r ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{11} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1t} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{A}_{s1} & \cdots & \boldsymbol{A}_{st} \end{pmatrix}, \hspace{1em} \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{B}_{11} & \cdots & \boldsymbol{B}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{B}_{t1} & \cdots & \boldsymbol{B}_{tr} \end{pmatrix} A= ​A11​⋮As1​​⋯⋯​A1t​⋮Ast​​ ​,B= ​B11​⋮Bt1​​⋯⋯​B1r​⋮Btr​​ ​
其中 ${\mathbf{A}}_{i1},{\mathbf{A}}_{i2},\cdots ,{\mathbf{A}}_{it}$ 的列数分别等于 ${\mathbf{B}}_{1j},{\mathbf{B}}_{2j},\cdots ,{\mathbf{B}}_{tj}$ 的行数，那么
A B = ( C 11 ⋯ C 1 r ⋮ ⋮ C s 1 ⋯ C s r ) \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{C}_{11} & \cdots & \boldsymbol{C}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{C}_{s1} & \cdots & \boldsymbol{C}_{sr} \\ \end{pmatrix} AB= ​C11​⋮Cs1​​⋯⋯​C1r​⋮Csr​​ ​
其中
$${\mathbf{C}}_{ij}=\sum _{k=1}^t{\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}i=1,\cdots ,2;j=1,\cdots ,r$$

证明　设矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$，$\mathbf{B}=(b_{ij})$，令 $\mathbf{D}=(d_{ij})=\mathbf{A}\mathbf{B}$，显然 $\mathbf{D}$ 为 $m\times n$ 矩阵，则对任意 $i,j$，都有
$$d_{ij}=\sum _{k=1}^l{a}_{ik}{b}_{kj}i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n$$
设
C = ( c i j ) = ( C 11 ⋯ C 1 r ⋮ ⋮ C s 1 ⋯ C s r ) = ( ∑ k = 1 t A 1 k B k 1 ⋯ ∑ k = 1 t A 1 k B k r ⋮ ⋮ ∑ k = 1 t A s k B k 1 ⋯ ∑ k = 1 t A s k B k r ) \boldsymbol{C} = (c_{ij}) = \begin{pmatrix} \boldsymbol{C}_{11} & \cdots & \boldsymbol{C}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{C}_{s1} & \cdots & \boldsymbol{C}_{sr} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^t \boldsymbol{A}_{1k} \boldsymbol{B}_{k1} & \cdots & \sum_{k=1}^t \boldsymbol{A}_{1k} \boldsymbol{B}_{kr} \\ \vdots & & \vdots \\ \sum_{k=1}^t \boldsymbol{A}_{sk} \boldsymbol{B}_{k1} & \cdots & \sum_{k=1}^t \boldsymbol{A}_{sk} \boldsymbol{B}_{kr} \\ \end{pmatrix} C=(cij​)= ​C11​⋮Cs1​​⋯⋯​C1r​⋮Csr​​ ​= ​∑k=1t​A1k​Bk1​⋮∑k=1t​Ask​Bk1​​⋯⋯​∑k=1t​A1k​Bkr​⋮∑k=1t​Ask​Bkr​​ ​
要证明定理 3，只需要证明 $\mathbf{C}$ 等价于 $\mathbf{D}$。

（a）${\mathbf{C}}_{ij}={\sum }_{k=1}^t{\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}$ 是有意义的；即对任意 $k=1,2,\cdots ,t$，${\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}$ 都是有意义的，且互为同型矩阵，其行数为 ${\mathbf{A}}_{ik}$ 共同的行数，列数为所有 ${\mathbf{B}}_{kj}$ 共同的列数。

因为 ${\mathbf{A}}_{i1},{\mathbf{A}}_{i2},\cdots ,{\mathbf{A}}_{it}$ 的列数分别等于 ${\mathbf{B}}_{1j},{\mathbf{B}}_{2j},\cdots ,{\mathbf{B}}_{tj}$ 的行数，所以对任意 $k$，其对应的 ${\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}$ 都是有意义的。

因为对任意 $k$，${\mathbf{A}}_{ik}$ 均来自分块矩阵的第 $i$ 行，所以 ${\mathbf{A}}_{ik}$ 的行数是固定的，不妨设为 $m^{\prime }$；同理对任意 $k$，${\mathbf{B}}_{kj}$ 的列数是固定的，不妨设为 $n^{\prime }$。因此，对于任意 $k$，${\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}$ 均为 $m^{\prime }\times n^{\prime }$ 型矩阵，互为同型矩阵，其行数为所有 ${\mathbf{A}}_{ik}$ 共同的行数，列数为所有 ${\mathbf{B}}_{kj}$ 共同的列数。

（b）$\mathbf{C}$ 可以构成矩阵；即对任意 $i=1,2,\cdots ,s$，${\mathbf{C}}_{ij}$ 的列数相同；对任意 $j=1,2,\cdots ,r$，${\mathbf{C}}_{ij}$ 的行数相同。

根据（a）可知，${\mathbf{C}}_{ij}$ 为 $m^{\prime }\times n^{\prime }$ 型矩阵，其中 $m^{\prime }$ 是 ${\mathbf{A}}_{ik}$ 共同的行数，$n^{\prime }$ 是 ${\mathbf{B}}_{kj}$ 共同的列数。因此，当 $i$ 为定值时，$m^{\prime }$ 也为定值，于是 ${\mathbf{C}}_{ij}$ 的行数也是定值；当 $j$ 为定值时，$n^{\prime }$ 也是定值，于是 ${\mathbf{C}}_{ij}$ 的列数也是定值。

（c）$\mathbf{C}$ 与 $\mathbf{D}$ 为同型矩阵。

根据（b）可知，$\mathbf{C}$ 的行数为 ${\mathbf{C}}_{1j},{\mathbf{C}}_{2j},\cdots ,{\mathbf{C}}_{sj}$ 的行数之和。根据（a）可知，因为 ${\mathbf{C}}_{ij}$ 为 $m^{\prime }\times n^{\prime }$ 型矩阵，其中 $m^{\prime }$ 是 ${\mathbf{A}}_{ik}$ 共同的行数，所以 ${\mathbf{C}}_{1j},{\mathbf{C}}_{2j},\cdots ,{\mathbf{C}}_{sj}$ 的行数之和即 ${\mathbf{A}}_{1k},{\mathbf{A}}_{2k},\cdots ,{\mathbf{A}}_{sk}$ 的行数之和。因为 ${\mathbf{A}}_{ik}$ 来自分块矩阵 $\mathbf{A}$，所以 ${\mathbf{A}}_{1k},{\mathbf{A}}_{2k},\cdots ,{\mathbf{A}}_{sk}$ 的行数之和等于 $\mathbf{A}$ 分块前的行数 $m$。

同理可证 $\mathbf{C}$ 的列数等于 $\mathbf{B}$ 分块前的列数 $n$。

综上所述，$\mathbf{C}$ 与 $\mathbf{D}$ 均为 $m\times n$ 型矩阵，为同型矩阵。

（d）对于任意 $i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n$，均有 $c_{ij}=d_{ij}$。

不妨设 $c_{ij}$ 在 $\mathbf{C}$ 中所在的分块为 ${\mathbf{C}}_{i_1{j}_1}$，其中 $i_1=1,\cdots ,2;j_1=1,\cdots ,r$；不妨设 $c_{ij}$ 在分块 ${\mathbf{C}}_{{\mathbf{i}}_1{\mathbf{j}}_1}$ 中为第 $i_2$ 行的第 $j_2$ 个元素。于是有
$$c_{ij}=\sum _{k=1}^t{\left({\mathbf{A}}_{i_{1}k}{\mathbf{B}}_{k{j}_1}\right)}_{i_2{j}_2}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$
根据（a）可知，对于任意 $k=1,2,\cdots ,t$，均有 ${\mathbf{A}}_{i_{1}k}$ 为 $m^{\prime }\times t_k^{\prime }$ 矩阵，${\mathbf{B}}_{k{j}_1}$ 为 $t_k^{\prime }\times n^{\prime }$ 矩阵。于是，上式 $(3.1)$ 可以写成
$$c_{ij}=\sum _{k=1}^t\sum _{k’=1}^{t_k^{\prime }}{{\mathbf{A}}_{i_{1}k}}_{(i_2,k^{\prime })}{{\mathbf{B}}_{k{j}_1}}_{(k^{\prime },j_2)}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$
其中 ${{\mathbf{A}}_{i_{1}k}}_{(i_2,k^{\prime })}$ 表示分块 ${\mathbf{A}}_{i_{1}k}$ 的 $(i_2,k^{\prime })$ 元，${{\mathbf{B}}_{k{j}_1}}_{(k^{\prime },j_2)}$ 表示分块 ${\mathbf{B}}_{k{j}_1}$ 的 $(k^{\prime },j_2)$ 元。因为 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 均为分块矩阵，所以分块 ${\mathbf{A}}_{i_{1}k}$ 的 $(i_2,k^{\prime })$ 元为 $\mathbf{A}$ 分块前的第 $i$ 行，分块 ${\mathbf{B}}_{k{j}_1}$ 的 $(k^{\prime },j_2)$ 元为 $\mathbf{B}$ 分块前的第 $j$ 列。

又因为 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 均为分块矩阵，所以有 ${\sum }_{k=1}^t{t}_k^{\prime }=l$；且当 $k$ 取不同值时，无论 $k^{\prime }$ 取任何值，不同分块 ${\mathbf{A}}_{i_{1}k}$ 的 $(i_2,k^{\prime })$ 元均不可能取到 $\mathbf{A}$ 中的相同元素，不同分块 ${\mathbf{B}}_{k{j}_1}$ 的 $(k^{\prime },j_2)$ 元也不可能取到 $\mathbf{B}$ 中的相同元素。

于是式 $(3.2)$ 可以写成
$$c_{ij}=\sum _{k=1}^l{a}_{ik}{b}_{kj}=d_{ij}i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n$$
综上所述，$\mathbf{C}$ 等价于 $\mathbf{D}$，得证。

4 分块矩阵的转置

定理 4　设 A = ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s r ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{11} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{A}_{s1} & \cdots & \boldsymbol{A}_{sr} \end{pmatrix} A= ​A11​⋮As1​​⋯⋯​A1r​⋮Asr​​ ​，则 A T = ( A 11 T ⋯ A s 1 T ⋮ ⋮ A 1 r T ⋯ A s r T ) \boldsymbol{A}^T = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{11}^T & \cdots & \boldsymbol{A}_{s1}^T \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{A}_{1r}^T & \cdots & \boldsymbol{A}_{sr}^T \end{pmatrix} AT= ​A11T​⋮A1rT​​⋯⋯​As1T​⋮AsrT​​ ​。

证明　设矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$，令 $\mathbf{D}=(d_{ij})={\mathbf{A}}^T$，则对于任意 $i,j$，都有 $d_{ij}=a_{ji}$。

设
C = ( c i j ) = ( C 11 ⋯ C 1 r ⋮ ⋮ C s 1 ⋯ C s r ) = ( A 11 T ⋯ A s 1 T ⋮ ⋮ A 1 r T ⋯ A s r T ) (4.1) \boldsymbol{C} = (c_{ij}) = \begin{pmatrix} \boldsymbol{C}_{11} & \cdots & \boldsymbol{C}_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{C}_{s1} & \cdots & \boldsymbol{C}_{sr} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{11}^T & \cdots & \boldsymbol{A}_{s1}^T \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{A}_{1r}^T & \cdots & \boldsymbol{A}_{sr}^T \end{pmatrix} \tag{4.1} C=(cij​)= ​C11​⋮Cs1​​⋯⋯​C1r​⋮Csr​​ ​= ​A11T​⋮A1rT​​⋯⋯​As1T​⋮AsrT​​ ​(4.1)
对于任意 $i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n$。不妨设：$c_{ij}$ 在 $\mathbf{C}$ 中所在的分块为 ${\mathbf{C}}_{i_1{j}_1}$，其中 $i_1=1,\cdots ,2;j_1=1,\cdots ,r$；该分块中第 $1$ 行第 $1$ 列的元素为 $\mathbf{C}$ 中的第 $i_2$ 行的第 $j_2$ 列，其中 $i_2=1,2,\cdots ,m;j_2=1,2,\cdots ,n$，该分块有 $i_3$ 行和 $j_3$ 列；不妨设 $c_{ij}$ 在分块 ${\mathbf{C}}_{{\mathbf{i}}_1{\mathbf{j}}_1}$ 中为第 $i_4$ 行的第 $j_4$ 个元素。其中有：
$$i=i_2+i_4-1,j=j_2+j_4-1$$
根据式 $(4.1)$ 可知，${\mathbf{C}}_{i_1{j}_1}={\mathbf{A}}_{j_1{i}_1}^T$。因为 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 都是分块矩阵，所以 ${\mathbf{A}}_{j_1{i}_1}$ 的第 $1$ 行第 $1$ 列的元素为 $\mathbf{A}$ 中的第 $j_2$ 行的第 $i_2$ 列。因为 $c_{ij}$ 在分块 ${\mathbf{C}}_{{\mathbf{i}}_1{\mathbf{j}}_1}$ 中为第 $i_4$ 行的第 $j_4$ 个元素，所以 $c_{ij}$ 在分块 ${\mathbf{A}}_{j_1{i}_1}$ 中为第 $j_4$ 行的第 $i_4$ 列。于是有：
$$c_{ij}=aji=d_{ij}$$
所以 $\mathbf{C}$ 与 $\mathbf{D}$ 等价，得证。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-723883.html

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