abstract
- 平面直线的参数方程的3种表示形式
- 直线参数方程间的转换
直线参数方程
- 以下从不同角度推导直线参数方程
- 分别记为第1,2,3形式参数方程
从运动轨迹的角度
- 直线可以看作是质点匀速运动的曲线
- 设质点从 M 0 ( x 0 , y 0 ) M_0(x_0,y_0) M0(x0,y0)出发,沿着与 x x x轴成 α \alpha α角的方向作匀速直线运动,其速录为 v 0 v_0 v0,把速度再 x , y x,y x,y轴上分解,大小分别为 v x = v 0 cos α v_x=v_0\cos\alpha vx=v0cosα, v y = v 0 sin α v_y=v_0\sin{\alpha} vy=v0sinα
- 设
M
(
x
,
y
)
M(x,y)
M(x,y)为
t
t
t时刻质点所在位置,则如下参数方程组
(1)( t ⩾ 0 ) (t\geqslant{0}) (t⩾0)- x = x 0 + v x t = x 0 + t v 0 cos α x=x_0+v_x{t}=x_0+tv_0\cos\alpha x=x0+vxt=x0+tv0cosα;
- y = y 0 + v y t = y 0 + t v 0 sin α y=y_0+v_y{t}=y_0+tv_0\sin\alpha y=y0+vyt=y0+tv0sinα;
- 若不考虑物理意义,取参数 t ∈ ( − ∞ , + ∞ ) t\in(-\infin,+\infin) t∈(−∞,+∞),方程组(1)就是直线的一种参数方程,参数为 t t t
从普通方程转换导参数方程
- 设直线的点斜式方程为
y
−
y
0
=
k
(
x
−
x
0
)
y-y_0=k(x-x_0)
y−y0=k(x−x0)
- 其中 k = tan α k=\tan{\alpha} k=tanα, α \alpha α为直线的倾斜角( α ∈ [ 0 , π ) \alpha\in[0,\pi) α∈[0,π));
- 则 y − y 0 = tan α ( x − x 0 ) y-y_0=\tan{\alpha}(x-x_0) y−y0=tanα(x−x0)= sin α cos α ( x − x 0 ) \frac{\sin{\alpha}}{\cos\alpha}(x-x_0) cosαsinα(x−x0), ( α ≠ π 2 ) (\alpha\neq{\frac{\pi}{2}}) (α=2π)
- 即
x
−
x
0
cos
α
\frac{x-x_0}{\cos{\alpha}}
cosαx−x0=
y
−
y
0
sin
α
\frac{y-y_0}{\sin{\alpha}}
sinαy−y0,令其比值为参数
t
t
t,即有
- x − x 0 = t cos α x-x_0=t\cos\alpha x−x0=tcosα, y − y 0 y-y_0 y−y0= t sin α t\sin\alpha tsinα
- 这里的参数 t t t有明显的几何意义: ∣ t ∣ |t| ∣t∣表示直线上的任一点 M M M到定点 M 0 M_0 M0的距离
- 整理:得方程组
(2)参数 t ∈ R t\in{\mathbb{R}} t∈R,- x = x 0 + t cos α x=x_0+t\cos{\alpha} x=x0+tcosα;
- y = y 0 + t sin α y=y_0+t\sin\alpha y=y0+tsinα
向量法
-
设直线过点 M 0 ( x 0 , y 0 ) M_0(x_0,y_0) M0(x0,y0),且与平面向量 a = ( l , m ) \bold{a}=(l,m) a=(l,m)平行 ( l , m ≠ 0 ) (l,m\neq{0}) (l,m=0),
-
在直线上任取点 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y),则向量 M 0 M → / / a \overrightarrow{M_0M}//\bold{a} M0M//a, M 0 M → \overrightarrow{M_0M} M0M= ( x − x 0 , y − y 0 ) (x-x_0,y-y_0) (x−x0,y−y0)
-
两向量平行的充要条件是 x − x 0 l = y − y 0 m \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m} lx−x0=my−y0,记该比值式比值为 t t t,
-
整理得方程组
(3)- x = x 0 + l t x=x_0+lt x=x0+lt,
- y = y 0 + m t y=y_0+mt y=y0+mt,
- 参数 t ∈ R t\in\mathbb{R} t∈R
参数方程间的转换
从第3型转化为第2型方程组
-
方法1:
-
设(3)转换的第2型方程组为
- x = x 0 + u cos α x=x_0+u\cos\alpha x=x0+ucosα
- y = y 0 + u sin α y=y_0+u\sin\alpha y=y0+usinα
-
和(3)比较可知, u cos α = l t u\cos\alpha=lt ucosα=lt; u sin α = m t u\sin\alpha=mt usinα=mt,则 tan α = m l \tan{\alpha}=\frac{m}{l} tanα=lm
-
只要求出 cos α \cos\alpha cosα, sin α \sin\alpha sinα关于 l , m l,m l,m的表示式即可:
-
cos α \cos\alpha cosα= ± l m 2 + l 2 \pm{\frac{l}{\sqrt{m^2+l^2}}} ±m2+l2l
-
sin α = ± m m 2 + l 2 \sin\alpha=\pm\frac{m}{\sqrt{m^2+l^2}} sinα=±m2+l2m
-
根据 α \alpha α的来取定两个式子的符号:
-
cos α = l m 2 + l 2 \cos\alpha=\frac{l}{\sqrt{m^2+l^2}} cosα=m2+l2l
-
sin α = m m 2 + l 2 \sin\alpha=\frac{m}{\sqrt{m^2+l^2}} sinα=m2+l2m
-
-
-
方法2:
- 由于2型方程中的 α \alpha α是直线的倾斜角,因此,根据直线某个同向方向向量 ( l , m ) (l,m) (l,m)可得
- l 1 l_1 l1: cos α = l m 2 + l 2 \cos\alpha=\frac{l}{\sqrt{m^2+l^2}} cosα=m2+l2l; sin α = m m 2 + l 2 \sin\alpha=\frac{m}{\sqrt{m^2+l^2}} sinα=m2+l2m
- l 2 l_2 l2: cos α = − l m 2 + l 2 \cos\alpha=-\frac{l}{\sqrt{m^2+l^2}} cosα=−m2+l2l; sin α = − m m 2 + l 2 \sin\alpha=-\frac{m}{\sqrt{m^2+l^2}} sinα=−m2+l2m
- 两组都可以:验证:
- l 1 l_1 l1: x = x 0 + t cos α x=x_0+t\cos{\alpha} x=x0+tcosα; y = y 0 + t sin α y=y_0+t\sin\alpha y=y0+tsinα
- l 2 l_2 l2: x = x 0 − t cos α x=x_0-t\cos{\alpha} x=x0−tcosα; y = y 0 − t sin α y=y_0-t\sin\alpha y=y0−tsinα
- 当 t = 1 t=1 t=1时 ( x 0 + cos α , y 0 + sin α ) (x_0+\cos\alpha,y_0+\sin\alpha) (x0+cosα,y0+sinα)和 t = − 1 t=-1 t=−1时 ( x 0 − cos α , y 0 − sin α ) (x_0-\cos\alpha,y_0-\sin\alpha) (x0−cosα,y0−sinα)都同时在 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2上,说明 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2是同一条直线
- 或者分别将 l 1 l_1 l1, l 2 l_2 l2化为普通方程,可得相同的直角坐标方程: y − y 0 x − x 0 = tan α \frac{y-y_0}{x-x_0}=\tan{\alpha} x−x0y−y0=tanα
例
-
设直线 x = 5 + 3 t x=5+3t x=5+3t; y = 10 − 4 t y=10-4t y=10−4t;将其表示为第2形式参数方程文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-724033.html
-
从第3型转化为第2型:文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-724033.html
- cos α = 3 3 2 + 4 2 \cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{3^2+4^2}} cosα=32+423= 3 5 \frac{3}{5} 53; sin α \sin\alpha sinα= − 4 3 2 + 4 2 \frac{-4}{\sqrt{3^2+4^2}} 32+42−4= − 4 5 -\frac{4}{5} −54
- 另一组取值 cos α = − 3 5 \cos\alpha=-\frac{3}{5} cosα=−53, sin α = 4 5 \sin\alpha=\frac{4}{5} sinα=54也可以
- 两组取值都有( tan α = − 4 3 \tan\alpha=-\frac{4}{3} tanα=−34)
- 所以
- x = 5 + 3 5 u x=5+\frac{3}{5}u x=5+53u; y = 10 − 4 5 u y=10-\frac{4}{5}u y=10−54u
- x = 5 − 3 5 u x=5-\frac{3}{5}u x=5−53u; y = 10 + 4 5 u y=10+\frac{4}{5}u y=10+54u
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