线性组合与线性相关
同学们大家好,今天我们来学习线性组合与线性相关
给定向量组 和向量 ,如果存在一组实数 ,使:
则称向量 能由向量组 线性表示,或称向量 是向量组 的线性组合。
给定向量组 ,如果存在不全为零的实数 ,使:
则称向量组 是线性相关的,否则称它为线性无关。
定义 简洁、准确,但并不形象,因此,我们并不打算从定义开始讲。而会采用大家都熟悉的颜色混合,为此,首先科普一下人眼是怎么感知色彩的。
1 色彩感知
首先给出人眼构造的图片
观察上图的右侧会发现人眼大致有三种感光细胞,分别感光红色、绿色、和蓝色。如果通过特定光线,单独“激活”这三种感光细胞,我们分别就会看到红、绿、蓝。
如果光线可以“混合”激活这三种感光细胞,就好像用调色板调色一样,这样就能看到这世界的五颜六色。
下面,我们就来看看颜色混合和线性组合有什么关系。
2 向量化
第一步就是将颜色混合这个过程,用向量运算表示出来。首先还是给出红、绿、蓝三种颜色,并将它们混合。
混合后可以看到,出现了一些新的颜色,比如最中间的这个白色,它就是由红、绿、蓝混合而成。也就是说
如果将红色用向量 表示,绿色用向量 表示,蓝色用向量 表示,这样上面这个式子就可以表示为
通过向量加法可知,白色的向量值为
这里多说一句,把颜色用向量表示,这种做法被大量的应用于作图软件中,比如从下面这张某应用的截图中,可以看到,白色就是 。
完成了向量化后,下面我们就来讲解为什么怎么用线性组合来表述颜色混合。
3 线性组合
给定向量组 和向量 ,如果存在一组实数 ,使:
则称向量 能由向量组 线性表示,或称向量 是向量组 的线性组合。
从定义中,我们可以看出,若
那么就称 是向量组 的线性组合。回到前面颜色混合的例子,显然红、绿、蓝与白色是定义里的这个式子。
此时的 就是 , 就是 , 就是 , 就是 , 还是 , 就是
这样我们就看出,白色是红、绿、蓝的线性组合
4 线性相关
解释了什么是线性组合,下面来看看什么是线性相关。
给定向量组 ,如果存在不全为零的实数 ,使:
则称向量组 是线性相关的,否则称它为线性无关。
与线性组合相同,还是需要满足一个式子,不同的是,线性相关的定义中要求系数不全为零。下面还是用前面颜色混合的例子,对此定义进行讲解。
对上面的式子变形,可以得到
这时可以看到,变形后的式子就是定义中的那个式子,且向量的系数也不为零。这样,由红、绿、蓝、白组成的向量组,就是线性相关的。
5 联系
细心的同学可能已经发现了,在讲解线性组合与线性相关时,都用到了这个式子。
根据它,我们说,白色是红、绿、蓝的线性组合。同样根据它,我们得到红、绿、蓝、白这个向量组是线性相关的。也就是说
反过来,若 和 这个向量组是线性无关的,那么可以得到, 不是 到 的线性组合。
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