排列矩阵和三角矩阵——Matlab解线性方程组（2）-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了排列矩阵和三角矩阵——Matlab解线性方程组（2）。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

前言

一、排列矩阵是什么？

二、三角形矩阵

总结

前言

上一篇文章讲了线性方程组的高斯消元法。本文是一个辅助概念，讲解上文得到的P矩阵和L与U矩阵所代表的排列矩阵和上三角矩阵。

一、排列矩阵是什么？

排列矩阵（permutation matrix)是单位矩阵经过行列交换而得到的新矩阵。它在每行或每列上有且仅有一个1，其他元素都为0.例如：

如上一篇文章所说，对任意矩阵A左乘一个排列矩阵P，就是对矩阵A的行进行排列。如果对任意矩阵A右乘一个排列矩阵P，就是对矩阵A的列进行排列。

Matlab中提供了一种快速建立排列矩阵的方法：

即用一个排列向量（permutation vector）作为行或者列的索引，对于上面那个排列矩阵P，设p为排列向量，则有：

p = [1,3,2];

即，第一行的第一列是1，第二行的第三列是1，第三行的第2列是1.

此时，P*A 和A（p，：）都表示对A进行行排列；而A*P和A（：，p）都表示对A进行列排列。

clear,clc
p=[1 3 2];
P=[1 0 0;0 0 1;0 1 0];
A=[10 -7 0;-3 2 6;5 -1 5];
P*A
A(p,:)
A*P
A(:,p)

输出如下：

matlab求解上三角矩阵方程组,Matlab练习,matlab,算法,矩阵

输出结果确实符合所需排列要求。

这两种方式都可以在Matlab中讲矩阵进行排列。更接近传统数学表达方式，而则会占用更少的内存，且运算速度更快。

二、三角形矩阵

三角形矩阵就是所有非零元素集中在主对角线之上或之下。如果所有非零元素在主对角线之上，叫上三角矩阵(upper triangular)如果所有非零元素在主对角线之下，叫下三角矩阵。

特别地，如果主对角线上的元素都为1，则可以叫做单位三角矩阵。

如上一节的例子：

就是一个单位下三角矩阵（unit lower triangualr）。

如果系数矩阵为三角矩阵，则对于方程，其中U为n阶方阵，b为列向量。则求其解x可以如下有两种算法。

%% 从b向量中逐个减去矩阵U列的倍数
x=zeros(n,1);
for k=n:-1:1
    x(k)=b(k)/U(k,k);
    i=(1:k-1)';
    b(i)=b(i)-x(k)*U(i,k);
end

%% 使用U矩阵的行和解出的部分x作内积
x=zeros(n,1);
for k=n:-1:1
	j=k+1:n;
    x(k)=(b(k)-U(k,j)*x(j))/U(k,k);
end