线性代数｜分块对角矩阵的定义和性质

前置知识：

• 阶梯形行列式的性质

定义　设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵，若 $\mathbf{A}$ 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即
A = ( A 1 O A 2 ⋱ O A s ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_1 & & & \boldsymbol{O} \\ & \boldsymbol{A}_2 & & \\ & & \ddots & \\ \boldsymbol{O} & & & \boldsymbol{A}_s \end{pmatrix} A= ​A1​O​A2​​⋱​OAs​​ ​
其中 ${\mathbf{A}}_i(i=1,2,\cdots ,s)$ 都是方阵，那么称 $\mathbf{A}$ 为分块对角矩阵。

根据阶梯状行列式的性质，分块对角矩阵的行列式具有如下性质：

性质 1　分块对角矩阵的行列式满足
$$|\mathbf{A}|=|{\mathbf{A}}_1||{\mathbf{A}}_2|\cdots |{\mathbf{A}}_s|$$

证明　由阶梯状行列式的性质可知，显然满足。

根据性质 1 可知，分块对角矩阵的逆矩阵具有如下性质

性质 2　若 $|{\mathbf{A}}_i|\ne 0(i=1,2,\cdots ,s)$，则 $|\mathbf{A}|\ne 0$，并有
A − 1 = ( A 1 − 1 O A 2 − 1 ⋱ O A s − 1 ) \boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_1^{-1} & & & \boldsymbol{O} \\ & \boldsymbol{A}_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ \boldsymbol{O} & & & \boldsymbol{A}_s^{-1} \end{pmatrix} A−1= ​A1−1​O​A2−1​​⋱​OAs−1​​ ​

证明　不妨设 B = ( A 1 − 1 O A 2 − 1 ⋱ O A s − 1 ) \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_1^{-1} & & & \boldsymbol{O} \\ & \boldsymbol{A}_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ \boldsymbol{O} & & & \boldsymbol{A}_s^{-1} \end{pmatrix} B= ​A1−1​O​A2−1​​⋱​OAs−1​​ ​，根据分块对角矩阵的性质，有
A B = ( A 1 O A 2 ⋱ O A s ) ( A 1 − 1 O A 2 − 1 ⋱ O A s − 1 ) = ( A 1 A 1 − 1 O A 2 A 2 − 1 ⋱ O A s A s − 1 ) = ( E O E ⋱ O E ) = E \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_1 & & & \boldsymbol{O} \\ & \boldsymbol{A}_2 & & \\ & & \ddots & \\ \boldsymbol{O} & & & \boldsymbol{A}_s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_1^{-1} & & & \boldsymbol{O} \\ & \boldsymbol{A}_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ \boldsymbol{O} & & & \boldsymbol{A}_s^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{A}_1^{-1} & & & \boldsymbol{O} \\ & \boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{A}_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ \boldsymbol{O} & & & \boldsymbol{A}_s \boldsymbol{A}_s^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{E} & & & \boldsymbol{O} \\ & \boldsymbol{E} & & \\ & & \ddots & \\ \boldsymbol{O} & & & \boldsymbol{E} \end{pmatrix} = \boldsymbol{E} AB= ​A1​O​A2​​⋱​OAs​​ ​ ​A1−1​O​A2−1​​⋱​OAs−1​​ ​= ​A1​A1−1​O​A2​A2−1​​⋱​OAs​As−1​​ ​= ​EO​E​⋱​OE​ ​=E
根据逆矩阵的定义可知，矩阵 $\mathbf{B}$ 为矩阵 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵，即 $\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{-1}$。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-726703.html

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