【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记1 距离与范数1

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高等工程数学 突击笔记1

距离与范数1


写在开头

高等工程数学这个课真的很恶心,感谢B站UP ASH丶零 学长留下的突击视频,本笔记旨在记录看视频时遇到的疑问并写出我的一些想法。


一、什么是范数

范数主要是对矩阵和向量的一种描述,有了描述那么“大小就可以比较了”,从字面理解一种比较构成规范的数。有了统一的规范,就可以比较了。
例如:1比2小我们一目了然,可是(3,5,3)和(6,1,2)哪个大就不太好比了
这时候就用到了范数
(3,5,3)的2范数为根号(43),(6,1,2)的2范数为根号(41),那就可以说在2范数这个擂台上(3,5,3)大。
(3,5,3)的无穷范数为5,(6,1,2)的无穷范数为6,因此无穷范数的对比中(6,1,2)大。
引自 [范数(简单的理解)、范数的用途、什么是范数]

向量范数可以描述一个向量的大小,矩阵范数则是用来描述一个矩阵造成的变化的大小。

向量范数
L-0范数:用来统计向量中非零元素的个数。
L-1范数:向量中所有元素的绝对值之和。可用于优化中去除没有取值的信息,又称稀疏规则算子。
L-2范数:典型应用——欧式距离。可用于优化正则化项,避免过拟合。(平方和开根号)
L-∞范数:计算向量中的最大值。
矩阵范数
L-1范数:矩阵列合中最大的那个
L-2范数:谱范数,暂且理解为最大的特征值
L-∞范数:矩阵行合中最大的那个

不同的范数只是比较的方法不同,就好比想比较两个班身高,可以让最高个的出来比,也可以算平均数。

二、诱导范数

前面说矩阵是一种变换,而矩阵范数则是衡量变换程度的值,那么怎么来衡量这个变换呢?我们可以把一个已知的向量丢给这个矩阵,再把变换之后的向量和变换前的向量做比较,两者之间的差距就可以拿来衡量矩阵的变换程度。两个向量的比较用的是向量范数,而通过这个向量范数比较得出的矩阵范数就叫他的诱导范数

在一种向量的范数下,考虑所有的单位向量高等工程数学南理工,矩阵在矩阵变换之后取出其中变化最大的那一个
高等工程数学南理工,矩阵变换之后最大的向量的向量范数就可以作为矩阵的矩阵范数。
图片引自: 矩阵的【范数】:也是一种长度

注意变换之前的向量要做单位化。
高等工程数学南理工,矩阵19年第一题
高等工程数学南理工,矩阵计算A矩阵的2范数
先计算特征值
高等工程数学南理工,矩阵A的2矩阵范数就是最大的特征值3

高等工程数学南理工,矩阵先将用于衡量看的向量单位化。第二个等于想了半天,似乎是利用了矩阵范数的相容性。

总结

提示:这里对文章进行总结:

先写这么多,第一章还剩下谱半径与特征值、条件数与误差。等复习到再说,打游戏去了————文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-726831.html

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