幂级数和幂级数的和函数有什么关系？-Toy模板网

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幂级数和幂级数的和函数有什么关系？

本文例子引用自：80_1幂级数运算，逐项积分、求导【小元老师】高等数学，考研数学

求幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n$ 的和函数
（1）求收敛半径，由于是不缺项级数所以可以使用 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$ ，若是缺项级数则只能使用 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|=\rho|\phi(x)|\lt 1$ ，当然不缺项级数也可使用后者。
$\rho=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}|=1$
（2）判断端点处的敛散性
当 $x = - 1$ 时， $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$ ， $u_n=\frac{1}{n}\rightarrow0$ 且 $u_n=\frac{1}{n}$ 递减，级数收敛（利用交错级数的莱布尼茨定理判别）
当 $x = 1$ 时， $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ ， $p = 1$ ，级数发散（利用p级数判别）
（3）综上，该级数收敛域 $[- 1, 1)$
（4）求收敛域中幂级数的和函数（在收敛域中幂级数等于其和函数，超过收敛域二者不等）
$s(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n=x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\cdots+\frac{1}{n}x^n+\cdots$
逐项求导
$s'(x)=\big(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n\big)'=1+x+x^2+\cdots+\frac{1}{n}x^{n-1}+\cdots=\frac{1}{1-x}$
左右两端同时积分（右侧逐项积分）
$s(x)=s(0)+\int_0^xs'(t)dt=0+\int_0^x\frac{1}{1-t}dt=-\ln(1-x)$
上式为什么还有 $s (0)$ ?
$\int_0^xs'(t)dt=s(x)|_0^x=s(x)-s(0)\\ ~\\ s(x)=s(0)+\int_0^xs'(t)dt$
最终收敛域上幂级数的和函数为：
$s(x)=-\ln(1-x)，x\in[-1,1)$
我们为什么要兜圈子先对级数求导（或积分）然后再进行积分（或求导）呢？
主要想利用等比级数，因为其和函数容易求得，而逐项求导和积分的目的是将所给幂级数变换为等比级数，随后利用等比级数求出所给幂级数的和函数

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我们在图像中看看到底幂级数和幂级数的和函数有什么关系？
下图中幂级数的图像为绿色曲线，其实不是真正的图像，因为 $n$ 为无穷大，笔者这里 $n$ 只取到了9，仅做示意。下图中红色曲线为幂级数和函数的图像，我们可以发现在收敛域中幂级数等于其和函数，超过收敛域二者是不等的
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