目录
二维随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量及其概率分布
连续型随机变量及其概率密度
条件分布
二维随机变量的函数分布
二维随机变量及其分布函数
二维随机变量的定义：
X和Y是定义在随机试验E的样本空间Ω上的两个随机变量，他们构成的向量（𝑋，𝑌）称为二维随机变量/向量
二维随机变量分布函数的定义：
{𝑋≤𝑥}与{𝑌≤𝑦}的交事件记为{𝑋≤𝑥,𝑌≤𝑦}，则称：
为二维随机变量（𝑋，𝑌）的分布函数/联合分布函数
二维随机变量分布函数𝐹(𝑥,𝑦)的性质：
1）
对任意固定x：
2）𝐹(𝑥,𝑦)对每个固定变量是单调不减函数
3）𝐹(𝑥,𝑦)关于x和y均右连续
4）对任意的𝑥1<𝑥2，𝑦1<𝑦2，有：
边缘分布：
随机变量X的分布函数为𝐹𝑋(𝑥)，随机变量Y的分布函数为𝐹𝑌(𝑦)，分别称为二维随机变量（𝑋，𝑌）的关于X和关于Y的边缘分布函数
随机变量的独立性：
二维随机变量（𝑋，𝑌）与边缘分布函数𝐹𝑋(𝑥)和𝐹𝑌(𝑦)满足:
则称X与Y相互独立
二维离散型随机变量及其概率分布
二维离散型随机变量的定义：
如果二维随机变量（𝑋，𝑌）所有可能取值是有限对或可列无限对，则称（𝑋，𝑌）是二维离散型随机变量
二维离散型随机变量的概率分布/联合分布律：
上式称为二维随机变量（𝑋，𝑌）的概率分布或联合分布律
边缘概率分布/边缘分布律：
上式称为二维随机变量（𝑋，𝑌）关于X的边缘分布律
离散型随机变量的独立性：
上式为离散型随机变量X和Y相互独立的充分必要条件
连续型随机变量及其概率密度
二维连续型随机变量及概率密度的定义：
称(𝑋,𝑌)为二维连续型随机变量，𝐹(𝑥,𝑦)为分布函数，𝑓(𝑥,𝑦)为联合概率密度
概率密度𝑓(𝑥,𝑦)的性质：
1）𝑓(𝑥,𝑦)≥0
2）
3）若𝑓(𝑥,𝑦)在(𝑥,𝑦)处连续：
4）
边缘概率密度：
𝑓𝑋(𝑥)称为二维随机变量𝑋,𝑌关于X的边缘概率密度
连续型随机变量的独立性：
上式为连续型随机变量X和Y相互独立的充分必要条件
二维均匀分布：
称（X，Y）在区域D上服从均匀分布
二维正态分布：
称（X，Y）服从参数为(𝜇1，𝜇2，𝜎1，𝜎2，𝜌)的二维正态分布，记作:
X和Y相互独立的充分必要条件是𝜌=0
条件分布
离散型随机变量的条件分布：
为在条件𝑌=𝑌𝑗下随机变量X的条件概率分布
连续型随机变量的条件分布：
若极限存在，则称此极限值𝐹𝑋|𝑌(𝑋|𝑌)为在Y=y的条件下X的条件分布函数
𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦)称为在Y=y的条件下X的条件概率密度
二维随机变量的函数分布
二维离散型随机变量的函数分布：
列出𝑋+𝑌、𝑋/𝑌所有可能取值，计算二维变量中所有符合条件的概率之和
二维连续型随机变量的函数分布：
Z的函数分布为：
其概率密度为：
X+Y的概率密度密度：
如果X和Y相互独立：
若X和Y服从正态分布𝑋~𝑁(𝜇1,𝜎12)和𝑌~𝑁(𝜇2,𝜎22)，则Z=X+Y也服从正态分布，且:
𝑀=𝑚𝑎𝑥(𝑥,𝑦)和𝑁=𝑚𝑖𝑛(𝑥,𝑦)的分布函数：
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-731020.html
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