目录
0 参考的知识点和目录
1 向量
1.1 向量的概念
1.2 向量如何表示
1.3 向量/矩阵的优秀表示方法：即向量空间内的有向线段
2 矩阵
2.1 矩阵就是多个列向量的集合/合并（& 而不是 +），矩阵就是多个列向量的一种简化书写方式？
2.2 矩阵的加法 =等价于= 向量的加法
2.3 矩阵的数乘 =等价于= 向量的数乘
2.4 矩阵的点乘 =等价于= 列向量（或者行向量）的点乘
3 矩阵的特点
3.1 矩阵里不同位置的元素，影响范围是指定的有规律的
3.1.1 矩阵里数字的位置和影响范围
3.2 矩阵的本质是旋转和缩放
3.2.1 各种缩放/旋转的矩阵效果
3.2.2 矩阵里数字的效果
0 参考的知识点和目录
1 向量
1.1 向量的概念
- 向量/数组：一组有序的数
- 对应概念
- 标量/数：一个数字，单个的数
1.2 向量如何表示
常规的代数表示方法
- 比如，这样的向量 [1,5] [1,2,3] [1,3,5,7,9]
一维的几何方法表示
- 一般的表示方法就是
- 代数表示方法，基本就是原样列举： [1,2,3] 和 [1,3,2]
- 几何表示，比如用坐标轴上的点，表示向量/数组中的多个 数字元素。但是这好像没啥意义，只是简单的用一条线上的不同点，表示了这个离散的数组，而且在坐标轴上还看不出来次序呢。
- 比如下图，[1,2,3] 和 [1,3,2] 就不好区分
二维的坐标轴表示
- 如果是2维的，比如是2个向量呢
- 用一根数量轴表示，全叠一起了，更不行把
- 比如表示1个2维向量 [1,3]
- 比如表示2个2维向量 [1,3] 和 [2,4]
- 比如表示2个2维向量 [3,1] 和 [4,2]
方式1：
- 如果把1个向量的全部元素全部标记在1个坐标轴上，不但有时候没法区分1个向量，有时候也无法区别2个向量。
方式2：
- 如果把1个向量的不同元素，映射为不同坐标轴上的点，那么向量本身就是成用多个坐标轴表示的一个有向线段。
- 这个有向线段，起点永远是原点，终点就是向量坐标（向量的元素）
- 只要向量的元素，或元素排序不同，最终向量的图形显示就会不同！
- 显然这个表示方法更好！
1.3 向量/矩阵的优秀表示方法：即向量空间内的有向线段
所以数学家们选的这个向量表示方法确实很巧妙，向量空间=张成空间
- 向量空间必须有原点
- 所有的向量都从原点出发
- 每个向量都是起点是原点，终点就是向量坐标（向量的元素）的一条有向线段
- 简化来看，终点（终点的坐标组）其实就可以代表向量了
2 矩阵=向量组
某些场合，列向量可以基本等价于行向量。乘法时不行。
- 矩阵就是多个列向量的集合
- 矩阵就是向量组
- 矩阵就是多个列向量的简要写法
- 矩阵完全可以拆分为多个列向量，只能用拆分为多个列向量的方法
- 反之，列向量可以合并为矩阵,只能用 and这种符号
- 因为矩阵 = 列向量1 & 列向量2 & ..... 按顺序从左到右合并的关系，而不是向量相加的关系
但是只能用 合并/and 来形容，而不能用加法来形如多向量合并为矩阵这个过程
矩阵 ≠ 列向量1 & 列向量2 & .....
矩阵 ≠ 列向量1+列向量2+ .....
2.1 矩阵就是多个列向量的集合/合并（& 而不是 +），矩阵就是多个列向量的一种简化书写方式？对，矩阵就是向量组
矩阵的列向量
- 矩阵的每一列向量都代表这个方向的基底ei 走到了对应列向量的位置。
- 比如这个矩阵 ，它实际是 和 这2个列向量组成的。
- 第1个列向量 是第1个列向量对应的基 ，伸缩旋转到 的位置
- 第2个列向量 是第2个列向量对应的基 ，伸缩旋转到 的位置
2.2 矩阵的加法 =等价于= 向量的加法
简化书写，浓缩书写
- 矩阵是把多个列向量写在一起的简化形式
- 也就是说以下是等价的：
- 如果把矩阵拆为多个列向量
- 矩阵相加，等于多个列向量分别相加后，再次合并为矩阵
2.3 矩阵的数乘 =等价于= 向量的数乘
- 如果把矩阵拆为多个列向量
- 矩阵标量乘法，等于多个列向量分别标量相乘后，再次合并为矩阵
2.4 矩阵的点乘 =等价于= 列向量（或者行向量）的点乘
- 矩阵的乘法，要特别注意，左乘和右乘
- 下面是AX=b的情况
- 需要把A拆为列向量
- 矩阵乘法和列向量乘法是等价的
- 下面是XA=b的情况
- 需要把A拆为行向量（反正要灵活一点）
- 矩阵乘法和这里拆的行向量乘法也是等价的
3 矩阵的特点
3.1 矩阵里不同位置的元素，影响范围是指定的有规律的
3.1.1 矩阵里数字的位置和影响范围
- 矩阵里的数字的位置
- 矩阵拆分为列向量
比如如果是 A*X=Y, x左乘矩阵A
展开下
- 位置在a11的元素，会影响矩阵结果的，第1行第1个元素，第2个元素
- 位置在a12的元素，会影响矩阵结果的，第1行第1个元素，第2个元素
- 总结 ：第1行元素a11,a12 只会影响结果矩阵的第1行的内容
- 位置在a21的元素，会影响矩阵结果的，第2行第1个元素，第2个元素
- 位置在a22的元素，会影响矩阵结果的，第2行第1个元素，第2个元素
- 总结：第2行元素a11,a12 只会影响结果矩阵的第2行的内容
所以
- 总结 ：矩阵A第1行元素只会影响结果矩阵Y(或b)的第1行的内容
- 总结： 矩阵A第2行元素只会影响结果矩阵Y(或b)的第2行的内容
- A矩阵左上角2,只会影响b11 和b12
- A矩阵右下角3,只会影响b21 和b22
3.2 矩阵的本质是旋转和缩放
3.2.1 各种缩放/旋转的矩阵效果
- 参考前面总结得各种特殊矩阵
线性代数的学习和整理7：各种特殊效果矩阵汇总_奔跑的犀牛先生的博客-CSDN博客行向量列向量[ 1 00 1]应该很多种把[ 1 00 2][ 5 01 0][] 零矩阵正交矩阵。https://blog.csdn.net/xuemanqianshan/article/details/132390306?spm=1001.2014.3001.5502
3.2.2 矩阵里数字的效果
- 矩阵里的数字0
- 矩阵里的数字1，表示不进行缩放
- 矩阵里的数字2等，表示缩放
- 矩阵里的数字-3 表示缩放-3倍，并且反向
比如下面这个矩阵：单位矩阵，单位矩阵如果放左边，就是表示对矩阵的第1行元素*1，对第2行元素*1，其实就是什么都不做。
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到了这里，关于线性代数的学习和整理6：如何表示向量/矩阵？ 矩阵就是向量组，矩阵的本质是什么？的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
