线性代数：矩阵的秩-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了线性代数：矩阵的秩。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

线性代数：矩阵的秩

1. 定义

矩阵的秩（Rank）是线性代数中一个非常重要的概念，表示一个矩阵的行向量或列向量的线性无关的数量，通常用 $r(\boldsymbol{A})$ 表示。具体来说：

对于一个 $m\times n$ 的实矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，它的行秩 $r(\boldsymbol{A})$ 定义为 $\boldsymbol{A}$ 的各行向量的线性无关的最大数量；
对于一个 $m\times n$ 的实矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，它的列秩 $r(\boldsymbol{A})$ 定义为 $\boldsymbol{A}$ 的各列向量的线性无关的最大数量。

对于一个 $m\times n$ 的实矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，有以下性质成立：

$r(\boldsymbol{A})\leq \min\{m,n\}$ ；
如果 $\boldsymbol{A}$ 是一个方阵，那么 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}^T)$ ；
对于任意的 $m\times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $n\times p$ 矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，有 $r(\boldsymbol{AB})\leq \min\{r(\boldsymbol{A}),r(\boldsymbol{B})\}$ ；
对于任意的 $m\times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和任意非零常数 $c$ ，有 $r(c\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A})$ 。

2. 计算方法

1. 高斯消元法

高斯消元法是求解线性方程组的一种有效方法，同时也可以用来计算矩阵的秩。具体来说，我们可以对矩阵进行行变换，将其转化为阶梯形矩阵，然后通过阶梯中非零元素的个数来确定矩阵的秩。

2. 初等矩阵法

对于任意一个可逆矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，我们都可以利用一系列的初等矩阵（Elementary Matrix）将它转化为一个行简化阶梯矩阵（Row Reduced Echelon Form，RREF），而该过程中，这些初等矩阵的乘积就是 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 。因此，我们可以通过对 $n\times n$ 的单位矩阵 $\boldsymbol{I}_n$ 不断左乘初等矩阵，得到 $\boldsymbol{A}$ 的 RREF，并计算 RREF 中非零元素的数量，从而确定矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩。

3. 求解特征值和特征向量

对于一个 $n\times n$ 的方阵 $\boldsymbol{A}$ ，我们可以通过求解其特征值和特征向量来确定其秩。具体来说，我们可以先求解出 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值，然后将其代入矩阵 $\boldsymbol{A}-\lambda_i\boldsymbol{I}_n$ 中，得到新的矩阵 $\boldsymbol{B}_i$ ，然后计算矩阵 $\boldsymbol{B}_i$ 的秩即可。