【考研数学】线性代数第六章 —— 二次型（3，正定矩阵与正定二次型）-Toy模板网

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一、基本概念

1.1 引例

（1）二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2+2x_3^2=\pmb{X^TAX}$ 有如下特点：

对任意的 $x_1,x_2,x_3$ ，有 $f(x_1,x_2,x_3)\geq0$ ；
$f(x_1,x_2,x_3)=0$ 当且仅当 $x_1=x_2=x_3=0$ ，或对任意 $\pmb{X}\ne\pmb{0}$ ，有 $\pmb{X^TAX}>0$ 。

（2）二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-2x_1x_2+4x_2^2+6x_3^2=(x_1-x_2)^2+3x_2^2+6x_3^2=\pmb{X^TAX}$ 有如下特点：

对任意的 $x_1,x_2,x_3$ ，有 $f(x_1,x_2,x_3)\geq0$ ；
$f(x_1,x_2,x_3)=0$ 当且仅当 $x_1=x_2=x_3=0$ ，或对任意 $\pmb{X}\ne\pmb{0}$ ，有 $\pmb{X^TAX}>0$ 。

1.2 正定二次型概念

对二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\pmb{X^TAX}$ ，若对任意 $\pmb{X}\ne\pmb{0}$ ，总有 $\pmb{X^TAX}>0$ ，称 $XTAX \pmb{X^TAX}$ 为正定二次型， $\pmb{A}$ 为正定矩阵。

二、正定二次型的判别

定理 1 —— 二次型 $XTAX \pmb{X^TAX}$ 为正定二次型的充分必要条件是 $\pmb{A}$ 的特征值均为正数。

定理 2 —— 二次型 $XTAX \pmb{X^TAX}$ 为正定二次型的充分必要条件是 $\pmb{A}$ 的顺序主子式都大于 0 ，即 $a_{11}>0,\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}>0,\cdots,|\pmb{A}|>0.$ 定理 3 —— 设 $AT=A \pmb{A^T=A}$ ，则 $\pmb{A}$ 为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 $\pmb{B}$ 使得 $A=BTB \pmb{A=B^TB}$ 。

定理 4 —— 设 $AT=A \pmb{A^T=A}$ ，则 $\pmb{A}$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\pmb{A}$ 与 $\pmb{E}$ 合同。

定理 5 —— 设 $AT=A \pmb{A^T=A}$ ，则 $\pmb{A}$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\pmb{A}$ 的正惯性指数为 $n$ 。

定理 6 —— 设 $A,B \pmb{A,B}$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶实对称矩阵，则 $\begin{bmatrix} \pmb{A} & \pmb{0} \\ \pmb{0} & \pmb{B} \end{bmatrix}$ 为正定矩阵的充分必要条件为 $A,B \pmb{A,B}$ 均为正定矩阵。