平行截面面积为已知的立体体积
- 考虑夹在垂直于 x x x轴的两个(立体空间)平面 x = a x=a x=a和 x = b x=b x=b, ( a < b ) (a<b) (a<b)之间的立体 V V V的体积(其体积也不妨记为 V V V)
- 假定 [ a , b ] [a,b] [a,b]内任何一点处作垂直于 x x x轴的平面截立体V的面积为 A ( x ) A(x) A(x),且 A ( x ) A(x) A(x)是一个连续函数(为可以执行定积分计算作铺垫)
- 推导体积 V V V的过程也是采用微分法,利用定积分的定义推导公式
- 将
x
x
x轴上的
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]区间划分为
n
n
n分,并设分点为
a
=
x
0
<
x
1
<
⋯
<
x
n
=
b
a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b
a=x0<x1<⋯<xn=b
- 第 i i i个小区间宽度为 Δ x i = x i − x i − 1 \Delta{x_i}=x_i-x_{i-1} Δxi=xi−xi−1, ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,⋯,n)
- 并令 λ = max 1 ⩽ i ⩽ n { Δ x i } \lambda=\max\limits_{1\leqslant{i}\leqslant{n}}\set{\Delta{x_{i}}} λ=1⩽i⩽nmax{Δxi};过 x i x_i xi作垂直于 x x x轴的平面 x = x i x=x_i x=xi, i = 1 , 2 , ⋯ , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n,它们分别截立体V得到 n n n个小部分 V i V_i Vi,任取 ξ i ∈ ( x i − 1 , x i ) \xi_{i}\in{(x_{i-1},x_i)} ξi∈(xi−1,xi),即用底面积为 A ( ξ i ) A(\xi_i) A(ξi),厚度为 Δ x i \Delta{x}_i Δxi的薄片(体积为 A ( ξ i ) Δ x i A(\xi_i)\Delta{x}_{i} A(ξi)Δxi)的体积之和 ∑ i = 1 n A ( ξ i ) Δ x i \sum_{i=1}^{n}A(\xi_i)\Delta{x_i} ∑i=1nA(ξi)Δxi估计(逼近) V V V;
- 即
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
A
(
ξ
i
)
Δ
x
i
\lim\limits_{\lambda\to{0}}{\sum_{i=1}^{n}A(\xi_i)\Delta{x_i}}
λ→0lim∑i=1nA(ξi)Δxi=
∫
a
b
A
(
x
)
d
x
\int_{a}^{b}A(x)\mathrm{d}x
∫abA(x)dx,因此
V
=
∫
a
b
A
(
x
)
d
x
V=\int_{a}^{b}A(x)\mathrm{d}x
V=∫abA(x)dx
(1)
旋转体的体积
-
这类问题可以用定积分计算,还可以用二重积分计算,这里讨论前者,而后者通常会简便
-
旋转面:设有一块由连续曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x), ( f ( x ) ⩾ 0 ) (f(x)\geqslant{0}) (f(x)⩾0)以及直线 x = a , x = b x=a,x=b x=a,x=b, ( a < b ) (a<b) (a<b)与 x x x轴围成的曲边梯形记为 A A A
绕 x x x轴旋转
- 图形
A
A
A绕
x
x
x轴旋转一周而生成的一个旋转体
V
x
V_{x}
Vx,显然垂直于
x
x
x轴的面截该立体得到的是圆盘,并且圆盘体积为
x
x
x的函数
A
(
x
)
A(x)
A(x)=
π
f
2
(
x
)
\pi{f^2(x)}
πf2(x)
(2) - 此时问题转换为截面积已知的立体体积,将(2)式代入(1)式,得
V
x
V_{x}
Vx=
π
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
\pi\int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x
π∫abf2(x)dx
(2-1)
绕 y y y轴旋转
-
图形 A A A绕 y y y轴(或 x = k x=k x=k, x = 0 x=0 x=0就是 y y y轴)旋转一周而生成的一个旋转体 V y V_y Vy,可以考虑使用套筒法取微元积分
- 即,用平行于
y
y
y轴的圆柱面去截此旋转体,截面为周长为
2
π
x
2\pi{x}
2πx,高度为
f
(
x
)
f(x)
f(x)的圆柱侧面,面积记为
A
(
x
)
A(x)
A(x)=
2
π
x
f
(
x
)
2\pi{x}f(x)
2πxf(x)
(3) - 同样代入公式(1),的
V
y
V_y
Vy=
2
π
∫
a
b
x
f
(
x
)
d
x
2\pi\int_{a}^{b}xf(x)\mathrm{d}x
2π∫abxf(x)dx
(3-1)
- 即,用平行于
y
y
y轴的圆柱面去截此旋转体,截面为周长为
2
π
x
2\pi{x}
2πx,高度为
f
(
x
)
f(x)
f(x)的圆柱侧面,面积记为
A
(
x
)
A(x)
A(x)=
2
π
x
f
(
x
)
2\pi{x}f(x)
2πxf(x)
-
y y y轴是 x = 0 x=0 x=0的情形,更一般的,转轴为 x = k x=k x=k时, V x = k V_{x=k} Vx=k= 2 π ∫ a b ∣ k − x ∣ f ( x ) d x 2\pi\int_{a}^{b}|k-x|f(x)\mathrm{d}x 2π∫ab∣k−x∣f(x)dx
(3-2)文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-735524.html -
若是2条曲线围成的区域旋转,则 V x = k V_{x=k} Vx=k= 2 π ∫ a b ∣ k − x ∣ ( f 2 ( x ) − f 1 ( x ) ) d x 2\pi\int_{a}^{b}|k-x|(f_2(x)-f_1(x))\mathrm{d}x 2π∫ab∣k−x∣(f2(x)−f1(x))dx
(3-3),对应公式(3-2)应用割补思想可得到文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-735524.html
类型转换
- 若曲边梯形的曲线方程为 x = ϕ ( y ) x=\phi(y) x=ϕ(y),与直线 y = c , y = d y=c,y=d y=c,y=d, ( c < d ) (c<d) (c<d)以及 y y y轴构成的曲边梯形 B B B作为旋转面
- 绕
y
y
y轴旋转1周得到的立体体积:
V
y
=
π
∫
c
d
ϕ
2
(
y
)
d
y
V_y=\pi\int_{c}^{d}\phi^2(y)\mathrm{d}y
Vy=π∫cdϕ2(y)dy
- 这种情形下,虽然是绕 y y y轴旋转,但用的是切片法作微元
参数方程形式的旋转体积
- 设旋转区域由曲线方程 x = x ( t ) x=x(t) x=x(t), y = y ( t ) y=y(t) y=y(t)构成
- 只需要将普通方程的公式中的 x x x用 x = x ( t ) x=x(t) x=x(t)代替, f ( x ( t ) ) f(x(t)) f(x(t))= y ( t ) y(t) y(t); d x ( t ) \mathrm{d}x(t) dx(t)= x ′ ( t ) d t x'(t)\mathrm{d}t x′(t)dt
小结:两类计算旋转体体积的微元法
- 通常,区域绕着 y y y轴(或 x = k x=k x=k)旋转,一般使用套筒法,但是某些单调曲线,可以用切片法,并且计算可能会更简单
- 利用割补思想,可以将双曲线区域旋转体积问题化为单曲线区域旋转体积问题
应用
例
- 设平面图形 A A A由 x 2 + y 2 ⩽ 2 x x^2+y^2\leqslant{2x} x2+y2⩽2x, y ⩾ x y\geqslant{x} y⩾x所确定,求图形 A A A绕 x = 2 x=2 x=2旋转一周所得旋转体的体积
- 解
- 分析:
- 两曲线交点为 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)
- 圆弧方程的标准形为
(
x
−
1
)
2
+
y
2
=
1
(x-1)^2+y^2=1
(x−1)2+y2=1
(0-1)- 表示为
y
2
y_2
y2=
2
x
−
x
2
\sqrt{2x-x^2}
2x−x2
(0-2), ( y 2 ⩾ 0 ) (y_2\geqslant{0}) (y2⩾0),而曲线 y 1 = x y_1=x y1=x - 或者表示为
x
1
x_1
x1=
1
±
1
−
y
2
1\pm\sqrt{1-y^2}
1±1−y2,考虑到
x
∈
[
0
,
1
]
x\in[0,1]
x∈[0,1],所以
x
1
x_1
x1=
1
−
1
−
y
2
1-\sqrt{1-y^2}
1−1−y2
(0-3)
- 表示为
y
2
y_2
y2=
2
x
−
x
2
\sqrt{2x-x^2}
2x−x2
- x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x∈[0,1], y 2 > y 1 y_2>y_1 y2>y1
- 方法1:利用二重积分
-
V
V
V=
2
π
∬
D
r
(
x
,
y
)
d
σ
2\pi\iint_{D}r(x,y)\mathrm{d}\sigma
2π∬Dr(x,y)dσ=
2
π
∬
D
(
2
−
x
)
d
σ
2\pi\iint_{D}(2-x)\mathrm{d}\sigma
2π∬D(2−x)dσ
(1)- = 2 π ∫ 0 1 d x ∫ x 2 x − x 2 ( 2 − x ) d y 2\pi\int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{x}^{\sqrt{2x-x^2}}(2-x)\mathrm{d}y 2π∫01dx∫x2x−x2(2−x)dy
- =
2
π
∫
0
1
(
2
−
x
)
(
2
x
−
x
2
−
x
)
d
x
2\pi\int_{0}^{1}(2-x)(\sqrt{2x-x^2}-x)\mathrm{d}x
2π∫01(2−x)(2x−x2−x)dx
(2)
- 这个积分的计算要费点功夫:
- 考虑将根号中的部分凑积分: d ( 2 x − x 2 ) \mathrm{d}(2x-x^2) d(2x−x2)= 2 − 2 x 2-2x 2−2x= 2 ( 1 − x ) 2(1-x) 2(1−x)
-
(
2
−
x
)
(
2
x
−
x
2
−
x
)
(2-x)(\sqrt{2x-x^2}-x)
(2−x)(2x−x2−x)=
(
2
−
x
)
2
x
−
x
2
−
(
2
−
x
)
x
(2-x)\sqrt{2x-x^2}-(2-x)x
(2−x)2x−x2−(2−x)x
- = ( 1 + ( 1 − x ) ) 2 x − x 2 − ( 2 − x ) x (1+(1-x))\sqrt{2x-x^2}-(2-x)x (1+(1−x))2x−x2−(2−x)x
- = 2 x − x 2 \sqrt{2x-x^2} 2x−x2+ ( 1 − x ) 2 x − x 2 − ( 2 − x ) x (1-x)\sqrt{2x-x^2}-(2-x)x (1−x)2x−x2−(2−x)x
- 分别对这三项积分
- ∫ 0 1 ( 1 − x ) 2 x − x 2 d x \int_{0}^{1}(1-x)\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x ∫01(1−x)2x−x2dx= 1 2 ∫ 0 1 2 x − x 2 d ( 2 x − x 2 ) \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}(2x-x^2) 21∫012x−x2d(2x−x2)= 1 2 2 3 ( 2 x − x 2 ) 3 2 ∣ 0 1 \frac{1}{2}\frac{2}{3}(2x-x^2)^{\frac{3}{2}}|_{0}^{1} 2132(2x−x2)23∣01= 1 3 \frac{1}{3} 31
-
∫
0
1
2
x
−
x
2
d
x
\int_{0}^{1}\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x
∫012x−x2dx=
∫
0
1
1
−
(
1
−
x
)
2
d
x
\int_{0}^{1}\sqrt{1-(1-x)^2}\mathrm{d}x
∫011−(1−x)2dx=
∫
0
1
1
−
(
x
−
1
)
2
d
(
x
−
1
)
\int_{0}^{1}\sqrt{1-(x-1)^2}\mathrm{d}(x-1)
∫011−(x−1)2d(x−1)
- = ∫ − 1 0 1 − t 2 d t \int_{-1}^{0}\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t ∫−101−t2dt
- = ∫ − π 2 0 cos θ ⋅ cos θ d θ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\cos\theta\cdot\cos\theta\mathrm{d}\theta ∫−2π0cosθ⋅cosθdθ= 1 2 ( θ + 1 2 sin 2 θ ) ∣ − π 2 0 \frac{1}{2}(\theta+\frac{1}{2}\sin{2\theta})|_{-\frac{\pi}{2}}^{0} 21(θ+21sin2θ)∣−2π0= π 4 \frac{\pi}{4} 4π
- 虽然这里用配方法和定积分换元法能够算出结果
- 但是更简便的方法是利用几何角度计算:该被积函数 y = 2 x − x 2 y=\sqrt{2x-x^2} y=2x−x2, ( y ⩾ 0 ) (y\geqslant{0}) (y⩾0), x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x∈[0,1],变形为 y 2 y^2 y2= 2 x − x 2 2x-x^2 2x−x2,即 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 (x-1)^2+y^2=1 (x−1)2+y2=1是一个半径为 1 1 1的 x x x轴以上的部分(半圆弧)的一半(最终剩下 1 4 \frac{1}{4} 41圆)
- 积分结果等于半圆的面积,即 1 4 π \frac{1}{4}\pi 41π
- ∫ 0 1 ( 2 − x ) x d x \int_{0}^{1}(2-x)x\mathrm{d}x ∫01(2−x)xdx= 2 3 \frac{2}{3} 32
- 从而 V V V= 2 π ( 1 3 + π 4 − 2 3 ) 2\pi(\frac{1}{3}+\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}) 2π(31+4π−32)= π 2 2 − 2 π 3 \frac{\pi^2}{2}-\frac{2\pi}{3} 2π2−32π
-
V
V
V=
2
π
∬
D
r
(
x
,
y
)
d
σ
2\pi\iint_{D}r(x,y)\mathrm{d}\sigma
2π∬Dr(x,y)dσ=
2
π
∬
D
(
2
−
x
)
d
σ
2\pi\iint_{D}(2-x)\mathrm{d}\sigma
2π∬D(2−x)dσ
- 定积分计算旋转体的体积直接微元法(一元函数微元法),
- 微元的选取包括套筒法和切片法
- 方法2:
- 套筒微元法,对 x x x积分
-
d
V
\mathrm{d}V
dV=
2
π
r
d
σ
2\pi{r}\mathrm{d}\sigma
2πrdσ
(3)- 其中 r r r= 2 − x 2-x 2−x,表示筒壁到转轴的距离
- d σ \mathrm{d}\sigma dσ= ( y 2 − y 1 ) d x (y_2-y_1)\mathrm{d}x (y2−y1)dx= ( 2 x − x 2 − x ) d x (\sqrt{2x-x^2}-x)\mathrm{d}x (2x−x2−x)dx,这表示筒在厚度为 d x \mathrm{d}x dx下,筒壁截面积(近似为平行四边形面积)
- 从而
d
V
\mathrm{d}V
dV=
2
π
⋅
(
2
−
x
)
⋅
(
2
x
−
x
2
−
x
)
d
x
2\pi\cdot{(2-x)}\cdot(\sqrt{2x-x^2}-x)\mathrm{d}x
2π⋅(2−x)⋅(2x−x2−x)dx
(4) - 从而
V
V
V=
2
π
∫
0
1
(
2
−
x
)
(
2
x
−
x
2
−
x
)
d
x
2\pi\int_{0}^{1}(2-x)(\sqrt{2x-x^2}-x)\mathrm{d}x
2π∫01(2−x)(2x−x2−x)dx
(5),后续步骤和式(2)一样 - 或者应用割补思想简化套筒微元: 2 π ∫ 0 1 ( 2 − x ) 2 x − x 2 d x 2\pi\int_{0}^{1}(2-x)\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x 2π∫01(2−x)2x−x2dx- 2 π ∫ 0 1 ( 2 − x ) x d x 2\pi\int_{0}^{1}(2-x)x\mathrm{d}x 2π∫01(2−x)xdx合并后就是式(5)
- 方法3:(计算最简单👺)
- 使用切片法,对 y y y积分
- 利用割补思想,旋转体的水平截面面积为同心( x = 2 x=2 x=2)两个圆作大圆减小圆 S S S= π ( [ 2 − ( 1 − 1 − y 2 ) ] 2 − ( 2 − y ) 2 ) \pi([2-(1-\sqrt{1-y^2})]^2-(2-y)^2) π([2−(1−1−y2)]2−(2−y)2),
- 从而 d V \mathrm{d}V dV= S d y S\mathrm{d}y Sdy
- V V V= π ∫ 0 1 ( − 2 + 4 y − 2 y 2 + 2 1 − y 2 ) d y \pi\int_{0}^{1}{(-2+4y-2y^2+2\sqrt{1-y^2})}\mathrm{d}y π∫01(−2+4y−2y2+21−y2)dy= π ( − 2 3 + 2 ⋅ π 4 ) \pi(-\frac{2}{3}+2\cdot{\frac{\pi}{4}}) π(−32+2⋅4π)= π 2 2 − 2 π 3 \frac{\pi^2}{2}-\frac{2\pi}{3} 2π2−32π
- 分析:
例
- 求旋轮线(摆线)
x
=
a
(
t
−
sin
t
)
x=a(t-\sin{t})
x=a(t−sint),
y
=
a
(
1
−
cos
t
)
y=a(1-\cos{t})
y=a(1−cost),
t
∈
[
0
,
2
π
]
t\in[0,2\pi]
t∈[0,2π]绕
x
x
x轴旋转所成的旋转体的体积
- V x V_{x} Vx= π ∫ 0 2 π a f 2 ( x ) d x \pi\int_{0}^{2\pi{a}} f^2(x)\mathrm{d}x π∫02πaf2(x)dx= π ∫ 0 2 π [ a ( 1 − cos t ) ] 2 a ( 1 − cos t ) d t \pi\int_{0}^{2\pi} [a(1-\cos{t})]^2a(1-\cos{t})\mathrm{d}t π∫02π[a(1−cost)]2a(1−cost)dt= a 3 π ∫ 0 2 π ( 1 − cos t ) 3 d t a^3\pi\int_{0}^{2\pi}(1-\cos{t})^3\mathrm{d}t a3π∫02π(1−cost)3dt= a 3 π ∫ 0 2 π ( 1 − 3 cos t + 3 cos 2 t − cos 3 t ) d t a^3\pi\int_{0}^{2\pi}(1-3\cos{t}+3\cos^2{t}-\cos^{3}t)\mathrm{d}t a3π∫02π(1−3cost+3cos2t−cos3t)dt= a 3 π ( 2 π − 0 + 3 2 ⋅ 2 π + 0 ) a^3\pi(2\pi-0+\frac{3}{2}\cdot{2\pi}+0) a3π(2π−0+23⋅2π+0)= 5 π a 3 5\pi a^3 5πa3
- 注意三角函数得定积分计算往往利用周期性和奇偶性,不一定要计算原函数才能算出结果,例如 ∫ 0 2 π cos 3 t d t \int_{0}^{2\pi}\cos^{3}t\mathrm{d}t ∫02πcos3tdt=0
- 若绕着 y y y轴旋转一周,求体积
- 方法1:套筒微元法,对
x
x
x积分
-
V
y
V_y
Vy=
2
π
∫
0
2
π
a
x
f
(
x
)
d
x
2\pi\int_{0}^{2\pi{a}}xf(x)\mathrm{d}x
2π∫02πaxf(x)dx=
2
π
∫
0
2
π
a
(
t
−
sin
t
)
⋅
a
(
1
−
cos
t
)
⋅
a
(
1
−
cos
t
)
d
t
2\pi\int_{0}^{2\pi}a(t-\sin{t})\cdot a(1-\cos{t})\cdot a(1-\cos{t})\mathrm{d}t
2π∫02πa(t−sint)⋅a(1−cost)⋅a(1−cost)dt
- = 2 π a 3 ∫ 0 2 π ( t − sin t ) ( 1 − cos t ) 2 d t 2\pi{a^3}\int_{0}^{2\pi}(t-\sin{t})(1-\cos{t})^2\mathrm{d}t 2πa3∫02π(t−sint)(1−cost)2dt
- 记 I I I= ∫ 0 2 π ( t − sin t ) ( 1 − cos t ) 2 d t \int_{0}^{2\pi}(t-\sin{t})(1-\cos{t})^2\mathrm{d}t ∫02π(t−sint)(1−cost)2dt= ∫ 0 2 π ( t − 2 t cos t + t cos 2 t − sin t + 2 sin t cos t − sin cos 2 t ) d t \int_{0}^{2\pi}(t-2t\cos{t}+t\cos^2{t}-\sin{t}+2\sin{t}\cos{t}-\sin\cos^2{t})\mathrm{d}t ∫02π(t−2tcost+tcos2t−sint+2sintcost−sincos2t)dt= 3 π 2 3\pi^2 3π2
- 计算量较大,应用分部积分和三角函数降阶公式,
- ∫ t cos t d t \int{t\cos{t}}\mathrm{d}t ∫tcostdt= ∫ t d sin t \int{t\mathrm{d}\sin{t}} ∫tdsint= t sin t + cos t t\sin{t}+\cos{t} tsint+cost
- ∫ t cos 2 t d t \int{t\cos^{2}t}\mathrm{d}t ∫tcos2tdt= 1 2 ∫ t + t cos 2 t d t \frac{1}{2}\int{t+t\cos{2t}}\mathrm{d}t 21∫t+tcos2tdt= 1 4 t 2 + 1 4 t sin 2 t + 1 8 cos 2 t \frac{1}{4}t^2+\frac{1}{4}t\sin{2t}+\frac{1}{8}\cos{2t} 41t2+41tsin2t+81cos2t
- V y V_{y} Vy= 6 π 3 a 3 6\pi^{3}a^3 6π3a3
-
V
y
V_y
Vy=
2
π
∫
0
2
π
a
x
f
(
x
)
d
x
2\pi\int_{0}^{2\pi{a}}xf(x)\mathrm{d}x
2π∫02πaxf(x)dx=
2
π
∫
0
2
π
a
(
t
−
sin
t
)
⋅
a
(
1
−
cos
t
)
⋅
a
(
1
−
cos
t
)
d
t
2\pi\int_{0}^{2\pi}a(t-\sin{t})\cdot a(1-\cos{t})\cdot a(1-\cos{t})\mathrm{d}t
2π∫02πa(t−sint)⋅a(1−cost)⋅a(1−cost)dt
- 方法2:旋转类型转换,仍然使用切片法,对
y
y
y积分
- 应用割补思想
-
V
y
V_{y}
Vy=
π
∫
0
2
a
x
2
2
(
y
)
d
y
\pi\int_{0}^{2a}x^2_2(y)\mathrm{d}y
π∫02ax22(y)dy-
π
∫
0
2
a
x
2
1
(
y
)
d
y
\pi\int_{0}^{2a}x^1_2(y)\mathrm{d}y
π∫02ax21(y)dy;这里
x
1
(
y
)
x_1(y)
x1(y),
x
2
(
y
)
x_2(y)
x2(y)是同一条曲线的不同区间的部分,表达式一样,但是区间不同
- 令: y ( t 1 ) y(t_1) y(t1)= 0 0 0,求得 t 1 t_1 t1= 0 0 0或 2 π 2\pi 2π
- 令 y ( t 2 ) = 0 y(t_2)=0 y(t2)=0,求得 t 2 = π t_2=\pi t2=π
- 这里参数 t t t表示摆线上的点 A ( x , y ) A(x,y) A(x,y)对应的圆滚动的位置(圆心位置记为 C ′ C' C′),并过 C ′ C' C′作垂线交 x x x轴于 Q Q Q,则 t t t= ∠ A C ′ Q \angle{AC'Q} ∠AC′Q(逆时针角),
- 显然在 0 ⩽ x ⩽ π a 0\leqslant x\leqslant\pi{a} 0⩽x⩽πa, t ∈ [ 0 , π ] t\in[0,\pi] t∈[0,π]而在 π a ⩽ x ⩽ 2 π a \pi{a}\leqslant x\leqslant 2\pi{a} πa⩽x⩽2πa时 t ∈ [ π , 2 π ] t\in[\pi,2\pi] t∈[π,2π]
- 设摆线的一个拱(周期)内,起点为 A ( 0 , 0 ) A(0,0) A(0,0),最高点为 B ( π a , 2 a ) B(\pi{a},2a) B(πa,2a),终点 C ( 2 π a , 0 ) C(2\pi{a},0) C(2πa,0)
- V y V_{y} Vy的外壁曲线 x 2 ( y ) x_2(y) x2(y)在 y : 0 → 2 a y:0\to{2a} y:0→2a对应的参数 t : 2 π → π t:2\pi\to{\pi} t:2π→π;
- V y V_{y} Vy的内壁曲线 x 1 ( y ) x_1(y) x1(y)在 y : 0 → 2 a y:0\to{2a} y:0→2a对应的参数 t : 0 → π t:0\to{\pi} t:0→π
-
V
y
V_{y}
Vy=
π
(
∫
2
π
π
a
2
(
1
−
cos
t
)
2
⋅
a
sin
t
d
t
−
∫
0
π
a
2
(
1
−
cos
t
)
2
⋅
a
sin
t
d
t
)
\pi(\int_{2\pi}^{\pi} a^2(1-\cos{t})^2\cdot{a\sin{t}}\mathrm{d}t-\int_{0}^{\pi} a^2(1-\cos{t})^2\cdot{a\sin{t}}\mathrm{d}t)
π(∫2ππa2(1−cost)2⋅asintdt−∫0πa2(1−cost)2⋅asintdt)
- = π a 3 ( ∫ 2 π π ( 1 − cos t ) 2 sin t d t − ∫ 0 π ( 1 − cos t ) 2 sin t d t ) \pi{a^3}(\int_{2\pi}^{\pi}(1-\cos{t})^2\sin{t}\mathrm{d}t-\int_{0}^{\pi}(1-\cos{t})^2\sin{t}\mathrm{d}t) πa3(∫2ππ(1−cost)2sintdt−∫0π(1−cost)2sintdt)
- = π a 3 ( ∫ 2 π π ( 1 − cos t ) 2 sin t d t + ∫ π 0 ( 1 − cos t ) 2 sin t d t ) \pi{a^3}(\int_{2\pi}^{\pi}(1-\cos{t})^2\sin{t}\mathrm{d}t+\int_{\pi}^{0}(1-\cos{t})^2\sin{t}\mathrm{d}t) πa3(∫2ππ(1−cost)2sintdt+∫π0(1−cost)2sintdt)
- = π a 3 ⋅ ∫ 2 π 0 ( 1 − cos t ) 2 sin t d t \pi{a^3}\cdot\int_{2\pi}^{0}(1-\cos{t})^2\sin{t}\mathrm{d}t πa3⋅∫2π0(1−cost)2sintdt
- = − π a 3 ⋅ ∫ 0 2 π ( 1 − cos t ) 2 sin t d t -\pi{a^3}\cdot\int_{0}^{2\pi}(1-\cos{t})^2\sin{t}\mathrm{d}t −πa3⋅∫02π(1−cost)2sintdt
- = 6 π 3 a 3 6\pi^{3}a^{3} 6π3a3
- 相关计算:wolfram代码:
integrate (x-sin x)^2*sin x dx from x=2pi to pi - integrate (x-sin x)^2*sin x dx from x=0 to pi- (integrate (x-sin x)^2sin x dx from x=2pi to pi - integrate (x-sin x)^2sin x dx from x=0 to pi - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com))= 6 π 2 6\pi^2 6π2
旋转体表面积
- 另见曲线弧长问题的衍生部分
到了这里，关于AM@微元法和定积分的应用@平面图形面积@立体体积@曲线弧长的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
