本文将从原理上详细解释KMP算法中的next数组以及nextval数组，尽量让大家明白它们到底在记录什么，为什么要这样算。以及现在普遍的KMP算法实现当中的next数组与前两者有何不同。篇幅较长，但尽量讲清楚。
next数组
next数组到底在记录什么？
虽然数据结构中对next数组有定义，但并不易于理解，因此我个人对next数组进行了一个简单解释：
next数组指示了当前模式串在该位置匹配冲突（即失配，个人习惯称冲突）时，应该将模式串的哪一位与此位对齐。
这里为刚学习KMP的朋友解释一下，KMP算法进行字符串匹配时，被检索的串称为“文本串”，要检索的目标串称为“模式串”。next数组与nextval数组的求解只与模式串有关。
举个例子：
假设需要在字符串 “abaabbcabaabcac” 中查找是否存在字符串 “abaabcac”，那么 "abaabbcabaabcac"就是文本串，"abaabcac"就是模式串。
这里其它的许多详解中会直接告诉你，next数组的第一位是0，第二位是1，然后从第三位开始继续算什么的，但很少看到有解释为什么第一位一定是0，第二位一定是1。
为了解释这个问题，我们首先要搞清楚模式串的“位”是什么样的。
对“abaabcac”来说，第一个字符a就是第一位，不要受一些编程语言思维的影响认为这是第0位。
| 位数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 模式串 | a | b | a | a | b | c | a | c |
但是为了便于理解，我们假想模式串的最前面还有一个空白字符位，称为第0位，即：
| 位数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 模式串 | a | b | a | a | b | c | a | c |
现在，我们再来对照前面给出的定义：
next数组指示了当前模式串在该位置匹配冲突时，应该将模式串的哪一位与此位对齐。
是不是就理解为什么第一位一定是0，第二位一定是1了？
还没有？那我们再假想一个文本串加上来。
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： x x x x x x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
现在标红的位置发生冲突，那么下一步应该让模式串的哪一位跟当前冲突的 x 位对齐呢？没错，就是第0位。也就是变成：
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： x x x x x x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
位数： 0 1 2 3 4 5 6 7 8
所以，当模式串的第一位发生冲突时，应该将模式串的第0位与当前位置对齐，也就是next[1]=0;
继续看第二位发生冲突的情况：
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： a x x x x x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
此时需要将模式串移动为：
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： a x x x x x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
位数： 0 1 2 3 4 5 6 7 8
所以，当模式串的第二位发生冲突时，应该将模式串的第1位与当前位置对齐，也就是next[2]=1;
无论模式串如何变化，只要其长度大于等于2，这两种情况都是固定的，因此next[1]一定为0，next[2]一定为1。
继续看第三位发生冲突的情况：
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： a b x x x x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
这时，假如我们仍然只移动一位，可以吗？
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： a b x x x x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
可以发现，如果仍然只移动一位，那么 x 位之前的位置也出现了冲突！
因此究竟该将模式串的哪一位与冲突的位置对齐呢？
一个重要原则是：当前冲突位置之前的一位不能有冲突！
换句话说，要解决第三位的冲突，移动模式串时起码要保证第二位是无冲突的。
那现在出现冲突了怎么办呢？
。
。
。
想想next数组本身的作用？不就是指示了出现了冲突时，应该将哪一位与该位置对齐吗？！
想到这里，问题就变得简单了。
现在第二位出现了冲突，按next[2]指示应该将第一位的a与该位置对齐，那现在冲突解决了吗？
显然b不等于a，没有解决。但是问题已经转化成了第一位的位置出现冲突了！
继续查next[1]，等于0，也就是说需要将模式串的第0位与该位置对齐。第0位是空的，我们认为它一定不会产生冲突，至此，第二位的冲突顺利解决了，那现在我们和第二位对齐的是哪一位呢？没错，是第0位，如下：
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： a b x x x x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
位数： 0 1 2 3 4 5 6 7 8
那和第三位（待解决的冲突位）对齐的自然是第0位的下一位，即第一位。由此，便可以得到next[3]=1。
而这个过程就是其他计算详解中所提到的，【找到当前要求的next字符的前一个字符，以它为标准，找到其next对应下标的字符，和这个字符做比较。若相等，那么当前字符的next值就位此字符next加一；若不等，继续找现在字符next所指的下一个字符，还是和之前的字符比较，直到找到第一个位置为止，那么next为1。】其实就是依据现有next值解决前一位冲突的过程。
为了让大家更熟悉这个过程，再继续看一下第四位发生冲突的情况：
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： a b a x x x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
按前面所讲，要确定需要让哪一位与第四位对齐，起码要保证第三位是无冲突的。
第三位是什么？字符a，第三位冲突时需要对齐的是哪一位？是next[3]=1，即第一位的字符a。
显然a和a是相等的，至此第三位的冲突已经解决，我们将模式串的第一位与第三位对齐，如下：
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： a b a x x x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
位数： 0 1 2 3 4 5 6 7 8
那和第四位（待解决的冲突位）对齐的自然是第一位的下一位，即第二位。由此，便可以得到next[4]=2。
第五位冲突的情况：
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： a b a a x x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
至少保证第四位无冲突，第四位为字符a，next[4]=2，所指示字符为第二位的b，a不等于b，转化为第二位的冲突；next[2]=1，所指示的字符位第一位的a，a等于a，冲突解决。此时和第四位对齐的是第一位的a，如下：
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： a b a a x x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
位数： 0 1 2 3 4 5 6 7 8
那和第五位（待解决的冲突位）对齐的自然是第一位的下一位，即第二位。由此，便可以得到next[5]=2。
第六位冲突的情况：
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： a b a a b x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
至少保证第五位无冲突，第五位为字符b，next[5]=2，所指示字符为第二位的b，b等于b，冲突解决。此时和第五位对齐的是第二位的b，如下：
待求位： 1 2 3 4 5 6 7 8
文本串： a b a a b x x x x x x x x x x x
模式串： a b a a b c a c
位数： 0 1 2 3 4 5 6 7 8
那和第六位（待解决的冲突位）对齐的自然是第二位的下一位，即第三位。由此，便可以得到next[6]=3。
第七位和第八位的冲突大家可以自行计算，最终便可以得到模式串的next数组值：
| 位数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 模式串 | a | b | a | a | b | c | a | c |
| next值 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 1 | 2 |
nextval数组
nextval数组在记录什么？ 为什么需要nextval数组？
其实和next数组一样，nextval数组也是用来指示当前模式串在该位置匹配冲突时，应该将模式串的哪一位与此位对齐的。
既然nextval数组的作用和next数组一样，那为什么需要nextval数组呢？
在严蔚敏的《数据结构(C语言版)》中，说明了next数组存在的问题，我们同样以该例子来讲。
假设文本串为 “aaabaaaab”，模式串为 “aaaab”。
根据前面的讲述，我们可以得到模式串的next数组值如下：
| 位数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 模式串 | a | a | a | a | b |
| next值 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
冲突发生在第四位：
文本串： a a a b a a a a b
模式串： a a a a b
根据next值，next[4]=3，需要将第3位与该位置对齐：
文本串： a a a b a a a a b
模式串： a a a a b
但此时仍有冲突，这时冲突发生在模式串的第三位，根据next[3]=2，需要将第二位与此位置对齐：
文本串： a a a b a a a a b
模式串： a a a a b
仍有冲突，发生在模式串第二位，next[2]=1,将模式串第一位与此位置对齐：
文本串： a a a b a a a a b
模式串： a a a a b
依然冲突，发生在模式串第一位，next[1]=0,将模式串第0位与此位置对齐：
文本串： a a a b a a a a b
模式串： a a a a b
至此，冲突解决，匹配成功。
但整个过程效率很低，因为模式串前四个字符都为a，当第一次发生冲突时，就可以知道应该直接将第0位和该位置对齐，中间的几次比较和移动都是多余的。
因此，nextval所做的工作就是对next值进行一次修正，排除掉无效移动。
而计算nextval值也有一个原则：保留不同。
为什么说是保留不同呢？分析一下上述例子问题产生的原因就清楚了：
由于计算next值时，我们不清楚当前位置的情况，最多只考虑到了冲突的前一位，就可能导致移动后对齐的字符仍和上一个冲突的字符相同，而这种情况必然会继续冲突。
所以我们要对next值进行一次筛选，保证冲突位置指示的应该对齐的字符和原字符不同。（注：这里我们认为第0位的空白字符与所有字符都不同）
以aaaab为例：
next[1]=0，第一位冲突指示的第0位为空白字符，和第一位本身的a不同，保留原next值，故nextval[1]=0；
next[2]=1,第二位冲突指示的第一位为字符a，和第二位本身的a相同，继续看第一位next[1]的值，（因为相同就表示按next值的此次对齐是无效的，会继续发生第一位的冲突，因此继续看next[1]）next[1]=0,指示的第0位位空白字符，和第二位本身的a不同，保留next[1]的值，故nextval[2]=0；
以此类推，可以得到nextval值如下：
| 位数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 模式串 | a | a | a | a | b |
| next值 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| nextval值 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 |
现在普遍的KMP实现算法中的next数组又在记录什么？
关于这个问题，似乎很少有人进行解释，但这个问题却很容易让人困惑。因为现在普遍的KMP实现算法中所谓的next数组记录的东西和前面所说的next数组以及nextval数组是有区别的。
为了进行区分，我们称这些KMP实现算法中的next数组为Knext数组。
虽然Knext数组在使用时的功能和next数组以及nextval数组相似，但是其记录的内容和求解方法却与next以及nextval有着很大不同。
由于nextval与next没有本质区别，我们单比较Knext与next之间的异同。
相同之处
- Knext和next都是为了提高算法效率，让串的匹配快速找到下一个可能的起始位置，避免文本串指针的回退。
- Knext和next的求解过程都属于动态规划，需要依赖于之前求解出的Knext值和next值。
不同之处
-
Knext记录的是到对应位为止的最长相等前后缀的长度。
这一点可以说是Knext与next最本质的区别，next直接指示了冲突发生时需要对齐的模式串位置，而Knext则是提供了一个基于前缀和后缀的参考，若要直接将其作为指示当前位置冲突时需要对齐的模式串位置（该对齐仍然是基于最长相等前后缀进行选择的，但next和nextval不会涉及前后缀的概念），需要做另外的处理（如统一减1或整体右移）。
这里补充一下什么是最长相等前后缀：
前缀：不包含最后一个字符的所有以第一个字符开头的连续子串
后缀：不包含第一个字符的所有以最后一个字符结尾的连续子串
以模式串 aaabbab 为例，
第一位a：没有前缀和后缀，因此最长相等前后缀长度为0，即Knext[1]=0；
第二位a：前缀 {a}，后缀 {a}，最长相等前后缀长度为1，即Knext[2]=1；
第三位a：前缀 {a，aa}，后缀{a，aa}，最长相等前后缀长度为2，即Knext[3]=2；
第四位b：前缀{a，aa，aaa}，后缀{b，ab，aab}，最长相等前后缀长度为0，即Knext[4]=0；
第五位b：前缀{a，aa，aaa，aaab}，后缀{b，bb，abb，aabb}，最长相等前后缀长度为0，即Knext[5]=0；
第六位a：前缀{a，aa，aaa，aaab，aaabb}，后缀{a，ba，bba，abba，aabba}，最长相等前后缀长度为1，即Knext[6]=1；
第七位b：前缀{a，aa，aaa，aaab，aaabb，aaabba}，后缀{b，ab，bab，bbab，abbab，aabbab}，最长相等前后缀长度为0，即Knext[7]=0。
为了更直观地看出它们之间的差异，这里给出模式串aaabbab的next、nextval和Knext值：
| 位数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 模式串 | a | a | a | b | b | a | b |
| next值 | 0 | 1 | 2 | 3 | 1 | 1 | 2 |
| nextval值 | 0 | 0 | 0 | 3 | 1 | 0 | 2 |
| Knext值 | 0 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 |
关于Knext的求解方法这里不再赘述，可以参考代码随想录的相关讲解。
下方代码块是一个典型的Knext数组求解的实现。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-736080.html
void getNext(int* next, const string& s) {
int j = 0;
next[0] = 0;
for(int i = 1; i < s.size(); i++) {
while (j > 0 && s[i] != s[j]) {
j = next[j - 1];
}
if (s[i] == s[j]) {
j++;
}
next[i] = j;
}
}
根据个人习惯不同，Knext的求解代码可能会在初始化和比较判断时有差异，但其本质是相同的。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-736080.html
到了这里，关于【KMP】从原理上详解next数组和nextval数组的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
![[数据结构] 串与KMP算法详解](https://imgs.yssmx.com/Uploads/2024/02/825350-1.png)
