定理：
对于任意的矩阵 A ∈ R n × m A \in R^{n\times m} A∈Rn×m，有 ∥ A ⊤ ∥ 2 = ∥ A ∥ 2 \left\|A^\top\right\|_2=\left\|A\right\|_2 A⊤ 2=∥A∥2
证明：
根据矩阵二范数的定义，
∥
A
∥
2
=
λ
m
a
x
(
A
⊤
A
)
\left\|A\right\|_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^\top A)}
∥A∥2=λmax(A⊤A)，即矩阵
A
A
A的二范数等于最大奇异值。设单位矩阵为
I
I
I，
A
⊤
A
A^\top A
A⊤A的一个特征值为
λ
\lambda
λ，以及该特征值对应的特征向量为
x
x
x，则有
A
⊤
A
x
=
λ
x
.
(1)
A^\top Ax=\lambda x. \tag{1}
A⊤Ax=λx.(1)
在公式(1)左右两侧乘上
A
A
A，则有
A
A
⊤
(
A
x
)
=
λ
(
A
x
)
.
(2)
AA^\top (Ax)=\lambda (Ax). \tag{2}
AA⊤(Ax)=λ(Ax).(2)
公式(2)表明
A
⊤
A
A^\top A
A⊤A的所有特征值都是
A
A
⊤
A A^\top
AA⊤的特征值，因此
∥
A
∥
2
≤
∥
A
⊤
∥
2
\bm{\left\|A\right\|_2 \le \left\|A^\top\right\|_2}
∥A∥2≤
A⊤
2。类似地，可以得到
∥
A
⊤
∥
2
≤
∥
A
∥
2
\bm{\left\|A^\top\right\|_2 \le \left\|A\right\|_2}
A⊤
2≤∥A∥2。因此可得
∥
A
T
∥
2
=
∥
A
∥
2
\left\|A^T\right\|_2=\left\|A\right\|_2
AT
2=∥A∥2，定理得证。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-736493.html
PS：证明过程与这篇文章类似。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-736493.html
到了这里，关于证明转置矩阵的二范数与原矩阵的二范数相等的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
