模式识别 —— 第一章 贝叶斯决策理论

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模式识别 —— 第一章 贝叶斯决策理论

前言

新的学期开始了,当然是要给不爱吃香菜的月亮记录学习笔记呀~

没多久了,待夏花绚烂之时~人山人海,我们如约而至!

以后清河海风 溶溶月色 共赏之人 就在身侧 mua~

贝叶斯决策

先验概率

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先验概率就是人们根据一些先验知识预先知道的一些概率。比如,南理工男女比例7:3.

类条件概率

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就是在先验概率 w i w_i wi的条件下发生 x x x事件的概率。
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后验概率

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由这张图也可以看出,最大后验概率决策其实就是最小错误决策。

最大后验概率决策(最小错误率决策)

后验概率形式:

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条件概率形式
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其实就是用贝叶斯公式展开后约去分母

似然比形式
贝叶斯最小最大决策,模式识别,概率论,机器学习,人工智能通过上式移项得到。

对数形式
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主要是方便求导,也可将之后的累乘化为累加。

最小风险决策

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从不同性质的错误会引起不同程度的损失这一考虑出发,我们有时宁肯扩大一些总的错误率,也要使总的损失最小。这就提出了最小损失准则的决策方法。例如,有时2类代价相差很大,比如医疗诊断的场合、工业检测。

为了区分不同错误的代价,我们这里引入了决策代价。

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对应的决策代价表如下:
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在采取决策 a j a_j aj的条件期望是:

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看所有判决对应的期望,选最小的风险判决。

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整体流程如下:
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最小错误率判决(最大后验概率判决)与最小风险决策的似然比形式一样,只不过在判别阈值上最小风险决策要加上损失代价。

含拒取的最小损失判别规则

例如,人脸识别中有一些未识别的情况,而不是错误的将你识别成另外一个人。那么当后验概率小于多少时采取拒取呢?如下图推导:

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N-P判决

在实际问题中,可能存在某一个错误较另一个错误更为重要。于是我们想在限定一类错误的概率下使得另一类错误的概率最小。

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  • 例如,在人脸识别中判断错误比未识别要严重许多。所以我们要求判断错误的概率要不超过 1 0 − 6 10^{-6} 106(要不超过6位密码的安全级才能投入使用)。在此基础上,我们尽量降低拒取的概率。这里用的是拉格朗日乘子法,不再详解。

判别函数和决策面

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正态分布下的贝叶斯决策

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对于二维正态分布有如下公式:
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这里的 Σ \Sigma Σ是协方差矩阵

协方差方差矩阵

协方差定义
X、Y 是两个随机变量,X、Y 的协方差 cov(X, Y) 定义为:
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协方差矩阵定义
矩阵中的数据按行排列与按列排列求出的协方差矩阵是不同的,这里默认数据是按行排列。即每一行是一个observation(or sample),那么每一列就是一个随机变量。
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求解协方差矩阵的步骤
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协方差代表的意义

正相关
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负相关
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不相关
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  • 当X 与Y 正相关时,它们的分布大部分在区域(1)和(3)中,小部分在区域(2)和(4)中,所以平均来说,有 ( X − E X ) ( Y − E Y ) > 0 (X-EX)(Y-EY)>0 (XEX)(YEY)>0

  • 当 X与 Y负相关时,它们的分布大部分在区域(2)和(4)中,小部分在区域(1)和(3)中,所以平均来说,有 ( X − E X ) ( Y − E Y ) < 0 (X-EX)(Y-EY)<0 (XEX)(YEY)<0

  • 当 X与 Y不相关时,它们在区域(1)和(3)中的分布,与在区域(2)和(4)中的分布几乎一样多,所以平均来说,有 ( X − E X ) ( Y − E Y ) = 0 (X-EX)(Y-EY)=0 (XEX)(YEY)=0

所以,我们可以定义一个表示X, Y 相互关系的数字特征,也就是协方差.

c o v ( X , Y ) = E ( X − E X ) ( Y − E Y ) cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY) cov(X,Y)=E(XEX)(YEY)

c o v ( X , Y ) > 0 cov(X, Y)>0 cov(X,Y)>0时,表明 X与Y 正相关;

c o v ( X , Y ) < 0 cov(X, Y)<0 cov(X,Y)<0时,表明X与Y负相关;

c o v ( X , Y ) = 0 cov(X, Y)=0 cov(X,Y)=0时,表明X与Y不相关。

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