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闭区间套定理描述
如果数列
{
a
n
}
,
{
b
n
}
\{a_n\}, \{ b_n \}
{an},{bn}满足：
(1)
a
n
−
1
≤
a
n
≤
b
n
≤
b
n
−
1
,
∀
n
a_{n-1} \leq a_n \leq b_n \leq b_{n - 1}, \ \ \ \ \forall n
an−1≤an≤bn≤bn−1, ∀n
(2)
lim
n
→
∞
(
b
n
−
a
n
)
=
0
\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0
limn→∞(bn−an)=0
则有:
(1). 数列
{
a
n
}
,
{
b
n
}
\{ a_n \}, \{ b_n \}
{an},{bn}收敛与相同的极限值c。
lim
n
→
∞
a
n
=
lim
n
→
∞
b
n
=
c
\lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}b_n = c
n→∞liman=n→∞limbn=c
(2). c是满足以下条件的唯一实数:
a
n
≤
c
≤
b
n
,
∀
n
a_n \leq c \leq b_n, \ \ \ \ \forall n
an≤c≤bn, ∀n
闭区间套定理理解
如果将
[
a
k
,
b
k
]
[a_k, b_k]
[ak,bk]看做一个闭区间，可以看到当
k
k
k逐渐增大时，前面的区间是包含后面的。即
[
a
1
,
b
1
]
⊃
[
a
2
,
b
2
]
⊃
.
.
.
⊃
[
a
k
,
b
k
]
⊃
.
.
.
[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset ... \supset [a_k, b_k] \supset ...
[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃...⊃[ak,bk]⊃...
为闭区间的包含关系，所以叫闭区间套定理。定理的意思就是对于无穷的嵌套闭区间，最终一定是收敛的，而且收敛到了唯一的值。
闭区间套定理证明
证明: 对于数列
{
a
n
}
\{ a_n \}
{an}, 有
a
n
−
1
≤
a
n
a_{n-1} \leq a_n
an−1≤an，所以数列
{
a
n
}
\{ a_n \}
{an}是一个单调递增数列。同时对于
∀
n
\forall n
∀n， 都有
a
n
<
b
1
a_n < b_1
an<b1， 即数列
{
a
n
}
\{ a_n \}
{an}是有上界的，根据之前讲过的单调有界定理，单调递增数列如果有上界，那么其必定是收敛的， 设其收敛到
a
a
a， 即
lim
n
→
∞
a
n
=
a
\lim_{n \to \infty}a_n = a
n→∞liman=a
同理数列
{
b
n
}
\{ b_n \}
{bn}是一个单调递减有下界的数列，因此也是收敛的，设其收敛到
b
b
b， 即
lim
n
→
∞
b
n
=
b
\lim_{n \to \infty}b_n = b
n→∞limbn=b
下面证明
a
=
b
a = b
a=b。根据第二个条件
lim
n
→
∞
(
b
n
−
a
n
)
=
0
\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0
limn→∞(bn−an)=0， 因为里面的
{
a
n
}
\{ a_n \}
{an}，
{
b
n
}
\{ b_n \}
{bn}都是收敛的，因此可以用极限的运算法则，将极限符号放到括号里面，即
lim
n
→
∞
b
n
−
lim
n
→
∞
a
n
=
0
\lim_{n \to \infty}b_n - \lim_{n \to \infty} a_n = 0
n→∞limbn−n→∞liman=0
即
b
−
a
=
0
b - a = 0
b−a=0， b = a。
因此第一个结论证毕，即
{
a
n
}
\{ a_n \}
{an}和
{
b
n
}
\{ b_n \}
{bn}收敛到了相同的极限值。
下面证明第二个结论, 即 { a n } \{ a_n \} {an}和 { b n } \{ b_n \} {bn} 收敛到的值是唯一的，且满足 a n ≤ c ≤ b n , ∀ n a_n \leq c \leq b_n, \ \ \forall n an≤c≤bn, ∀n。
首先根据前面的证明，c为
{
a
n
}
\{ a_n \}
{an}的上确界，同时是
{
b
n
}
\{ b_n \}
{bn} 的下确界，因此一定有
足
a
n
≤
c
≤
b
n
a_n \leq c \leq b_n
an≤c≤bn。
关于 c c c的唯一性，对于收敛数列，不难证明其收敛到的值一定是唯一的。因此 c c c自然唯一。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-737143.html
证毕。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-737143.html
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