【数学分析】闭区间套定理及其证明-Toy模板网

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业余爱好者学习温故数学知识，做个记录。

闭区间套定理描述

如果数列 ${a_n\}, \{ b_n \}$ 满足：
(1) $a_{n-1} \leq a_n \leq b_n \leq b_{n - 1}, \ \ \ \ \forall n$
(2) $\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0$
则有:
(1). 数列 ${ a_n \}, \{ b_n \}$ 收敛与相同的极限值c。
$\lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}b_n = c$
(2). c是满足以下条件的唯一实数:
$a_n \leq c \leq b_n, \ \ \ \ \forall n$

闭区间套定理理解

如果将 $a_k, b_k]$ 看做一个闭区间，可以看到当 $k$ 逐渐增大时，前面的区间是包含后面的。即
$[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset ... \supset [a_k, b_k] \supset ...$
为闭区间的包含关系，所以叫闭区间套定理。定理的意思就是对于无穷的嵌套闭区间，最终一定是收敛的，而且收敛到了唯一的值。

闭区间套定理证明

证明: 对于数列 ${ a_n \}$ , 有 $a_{n-1} \leq a_n$ ，所以数列 ${ a_n \}$ 是一个单调递增数列。同时对于 $\forall n$ ，都有 $a_n < b_1$ ，即数列 ${ a_n \}$ 是有上界的，根据之前讲过的单调有界定理，单调递增数列如果有上界，那么其必定是收敛的，设其收敛到 $a$ ，即
$\lim_{n \to \infty}a_n = a$
同理数列 ${ b_n \}$ 是一个单调递减有下界的数列，因此也是收敛的，设其收敛到 $b$ ，即
$\lim_{n \to \infty}b_n = b$
下面证明 $a = b$ 。根据第二个条件 $\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0$ ，因为里面的 ${ a_n \}$ ， ${ b_n \}$ 都是收敛的，因此可以用极限的运算法则，将极限符号放到括号里面，即
$\lim_{n \to \infty}b_n - \lim_{n \to \infty} a_n = 0$
即 $b - a = 0$ ， b = a。
因此第一个结论证毕，即 ${ a_n \}$ 和 ${ b_n \}$ 收敛到了相同的极限值。