幂迭代法，和逆幂迭代法
写在前面
承接笔记3，先补一个盖尔圆的题目
如果特征值是复数，则会有成对出现，并且两个特征值的位置关于实轴对称
题目引自: 南理工-高等工程数学突击
一、幂迭代法
对于五次或五次以上的多项式方程一般没有公式求解，所以对阶数较大的矩阵，其特征值计算往往非常困难。幂迭代法是一种近似求得特征值的办法。
幂迭代法可以得到按模最大的特征值
主要证明如下，不看证明也行
1. 将A的特征值从大到小排列
2. 这些特征值对应的特征向量为
3. 任取一个非零向量v0，用A构造一个向量序列
4. 把v0用特征向量表示出来
5. 带入Vk
6. 将最大的λ1提出来
7. 因此
这里的i表示向量的第i个分量
写出来的步骤就是
-
对A使用幂法，求出其按模长最大的特征值λ。
-
任取
-
则
-
有
那么Vk也就近似于λ1对应的特征向量x1
二、逆幂迭代法
逆幂迭代法可以求得矩阵A的最小特征值，其思路就是对A的逆矩阵进行幂迭代，得到的最大特征值就是A的最小特征值的倒数。
三、规范化迭代方式
由
可知
为了克服这一问题，通常采用规范化迭代方法。具体做法为：每一次都将迭代向量的最大分量化为1之后，再带入下一次迭代。
这样的话在k足够大的时候
四、A分解
实际计算中可以先把A做LU分解,其余不变
在逆幂法中
例
19年第二题
注意两种迭代法只能求出最大和最小特征值，而对于靠近λ的问题可以转化成求 A-λI 的最小特征值。
选列主元分解与LU分解的区别就是在A前面加个P，留到第三章再说文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-737648.html
总结
第二章结束，第三章下星期再说文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-737648.html
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