2023.02.09 2021年填空题5（正定矩阵的几个判别依据，正负惯性指数）
编辑人：Ryanic
原题解析与模型构造
题目：
实二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = t x 1 2 + x 2 2 + 2 t x 2 x 3 + 4 x 3 2 f(x_1,x_2,x_3)=tx_1^2+x_2^2+2tx_2x_3+4x_3^2 f(x1,x2,x3)=tx12+x22+2tx2x3+4x32 的正惯性指数为 3,则参数 t t t 的取值范围为
解答：
由实二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
t
x
1
2
+
x
2
2
+
2
t
x
2
x
3
+
4
x
3
2
(1)
f(x_1,x_2,x_3)=tx_1^2+x_2^2+2tx_2x_3+4x_3^2\tag{1}
f(x1,x2,x3)=tx12+x22+2tx2x3+4x32(1)
得实二次型
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的矩阵为
A
=
[
t
1
t
t
4
]
(2)
A=\left[ \begin{matrix} t & & \\ & 1 & t \\ & t & 4 \end{matrix} \right] \tag{2}
A=
t1tt4
(2)
由正惯性指数为 3,可知
A
A
A 是正定矩阵,故各阶顺序主子式大于 0,即
{
Δ
1
=
t
>
0
,
Δ
2
=
t
>
0
,
Δ
3
=
4
t
−
t
3
>
0.
⟹
t
∈
(
0
,
2
)
(3)
\begin{cases} \Delta_1=t>0,\\ \Delta_2=t>0,\\ \Delta_3=4t-t^3>0. \end{cases}\Longrightarrow t\in(0,2) \tag{3}
⎩
⎨
⎧Δ1=t>0,Δ2=t>0,Δ3=4t−t3>0.⟹t∈(0,2)(3)
故
t
∈
(
0
,
2
)
t\in(0,2)
t∈(0,2).
正负惯性指数与正定矩阵的判别方法
正负惯性指数:
设二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx 的秩为 r r r,则通过可逆线性变换将 f f f 化成标准型后,标准型中系数为正的项的个数 p p p (从而系数为负的项的个数 r − p r-p r−p) 由 f f f 本身惟一确定,并不依赖于所用的线性变换.通常称 p p p 与 r − p r-p r−p 分别为二次型 f f f 的正惯性指数和负惯性指数.
正定矩阵的判别方法:
- n n n 阶实对称矩阵 A A A 为正定矩阵的充要条件是 A A A 的所有特征值都大于零.
- 实对称矩阵 A A A 为正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵 M M M,使得 A = M T M A=M^TM A=MTM,即 A A A 与同阶单位矩阵 I I I 合同.
- 实对称矩阵 A A A 为正定矩阵的充要条件是 A A A 的各阶顺序主子式都大于零.
拓展习题
2.1
题目：
确定参数
λ
\lambda
λ 的取值范围,使二次型
f
(
x
)
f(x)
f(x) 为正定二次型:
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
2
x
1
2
+
x
2
2
+
3
x
3
2
+
2
λ
x
1
x
2
+
2
x
1
x
3
f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+3x_3^2+2\lambda x_1x_2+2x_1x_3
f(x1,x2,x3)=2x12+x22+3x32+2λx1x2+2x1x3
分析：
由实二次型 f ( x ) f(x) f(x) 确定实二次型 f ( x ) f(x) f(x) 的矩阵 A A A,要使二次型 f ( x ) f(x) f(x) 为正定二次型,则实对称矩阵 A A A 为正定矩阵,则根据各阶顺序主子式都大于零,进而确定 λ \lambda λ 的范围.文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-738542.html
解答：
由实二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
2
x
1
2
+
x
2
2
+
3
x
3
2
+
2
λ
x
1
x
2
+
2
x
1
x
3
(1)
f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+3x_3^2+2\lambda x_1x_2+2x_1x_3\tag{1}
f(x1,x2,x3)=2x12+x22+3x32+2λx1x2+2x1x3(1)
得实二次型
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的矩阵为
A
=
[
2
λ
1
λ
1
1
3
]
(2)
A=\left[ \begin{matrix} 2 & \lambda & 1 \\ \lambda & 1 & \\ 1 & & 3 \end{matrix} \right] \tag{2}
A=
2λ1λ113
(2)
要使二次型
f
(
x
)
f(x)
f(x) 为正定二次型,则
A
A
A 为正定矩阵,故各阶顺序主子式大于 0,即
{
Δ
1
=
2
>
0
,
Δ
2
=
2
−
λ
2
>
0
,
Δ
3
=
5
−
3
λ
2
>
0.
⟹
∣
λ
∣
<
5
3
(3)
\begin{cases} \Delta_1=2>0,\\ \Delta_2=2-\lambda^2>0,\\ \Delta_3=5-3\lambda^2>0. \end{cases}\Longrightarrow \lvert \lambda \rvert < \sqrt{\frac{5}{3}} \tag{3}
⎩
⎨
⎧Δ1=2>0,Δ2=2−λ2>0,Δ3=5−3λ2>0.⟹∣λ∣<35(3)
故
∣
λ
∣
<
5
3
\lvert \lambda \rvert < \sqrt{\frac{5}{3}}
∣λ∣<35.文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-738542.html
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