特征值与相似矩阵

一 特征值

1.1 定义

通俗

​ 向量α在矩阵A的线性变换作用下，保持方向不变，进行比例为λ的伸缩。

官方（注意是方阵）

特征方程

​ （λE-A)α = 0 （α!=0）特征向量不能为0，但是特征值可以为0或虚数。方程中λ的次数应与A的阶数相同，否则不是特征方程。

特征空间

​ 一个特征空间是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合，可以证明该集合是一个线性子空间。

注意上图有两个特征空间，分别为两条不同的直线

其他：若特征值存在则r(λE-A)<n

1.2 性质

特征值与矩阵关系

• $\sum λ_i = tr(A) \quad $
• ${\prod }_{i=0}^n\lambda =|A|$
• $r(A)=n则{\lambda }_i\ne 0$

特征值与特征向量关系（设A是n阶矩阵，λ₀为A的k阶特征值）

• 若k=1，即λ₀为单特征值，则属于该特征值的线性无关的特征向量只有一个
• 若k>1，则属于该特征值的线性无关的特征向量个数不超过k个，r(λE-A)>=n-k
• n阶矩阵A的每行元素之和为 k，则k是其中一个特征值，A[1,1,1] = k[1,1,1]

矩阵与特征值及对应特征向量的关系

证明特征值
$$\begin{gathered} |\lambda E-A^T|=|(\lambda E-A{)}^T|=|\lambda E-A{|}^T=|\lambda E-A| \\ \because A^{-1}A\alpha =\alpha =A^{-1}\lambda \alpha ,\therefore A^{-1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha 即特征值为\frac{1}{\lambda } \\ {A}^{\ast }A=|A|A^{-1}A=|A|E \\ \because A^{\ast }A\alpha =|A|\alpha =A^{\ast }\lambda \alpha ,\therefore A^{\ast }\alpha =\frac{|A|}{\lambda }\alpha 即特征值为\frac{|A|}{\lambda } \end{gathered}$$

证明特征向量

​ $A\alpha ={\lambda }_0\alpha \Rightarrow P^{-1}AP\cdot P^{-1}\alpha ={\lambda }_0{P}^{-1}\alpha \Rightarrow B\cdot P^{-1}\alpha ={\lambda }_0{P}^{-1}\alpha ,\therefore \beta =P^{-1}\alpha$

注意上表是由A开始往下推，从下到上推不一定成。如A=[0 1;0 0]，A² = 0，取α=[1 0]，则对应λ=0，显然Aα!=0α。见1800P81 27题
其他

• 不同特征值对应的特征向量线性无关

若A是对称阵则无关且正交 ${\alpha }_i^{\top }A{\beta }_j={\lambda }_1{\alpha }_i^{\top }{\beta }_j\Rightarrow \left({\lambda }_2-{\lambda }_1\right){\alpha }_i^{\top }\beta j=0$

• 不同λ对应的α的线性组合一定不是该矩阵的特征向量（a、b != 0）

证明：令$ A(a\alpha+b\beta)=\lambda_{3}(a\alpha+b\beta) $则$a \left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right) \alpha + b \left(\lambda_{e}-\lambda_{3}\right) \beta=0$ $\because \alpha, \beta 线性无关 \therefore \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3} $ 矛盾

• k重根的特征值，若有k个不同特征向量，则它们之间线性无关？否则呢

• A 和A^T有相同特征值但是特征向量可以不同

• 三角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素
• 一个n阶矩阵一定有n个特征值（包括重根）
• r(A)<n，则|A|=0，则0是其中一个特征值
• r(A)=1的矩阵，天生有当特征值为0时的n-1个线性无关的特征向量。取特征值=0时候，行化简为只剩一行，因此有n-1个特征向量
• 矩阵的秩 与 单单矩阵特征值不是0的个数这唯一因素 无关
• n阶矩阵有n个线性无关的特征向量不能说明满秩，但可以说明λ的K重根对应k个特征向量。（λ=0，|A|=0，不可逆、不满秩）

【例题】2021数一

1.3 求法

定义法：AX = λX

公式法：|λE-A|X = 0 【X!=0 、|λE-A| = 0】

关联法：用A*、A^-等相关矩阵的特征值、利用相似矩阵B的特征值

已知部分特征值时，根据tr(A) 和 “特征方程”

三阶矩阵与特征值关系，线代讲义P119（待补充）

如何准确求出矩阵的特征值表达式？

二 正交基

参阅线性代数及其应用

2.1 正交分解定理

定理

证明

2.2 施密特正交化

对Rⁿ的子空间W的一个基{x₁,…x_p}定义

${\mathbf{v}}_1=x_1$
${\mathbf{v}}_2=x_2-\frac{x_2\cdot v_1}{v_1\cdot v_1}{v}_1$
${\mathbf{v}}_3=x_3-\frac{x_3\cdot v_1}{{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_1}{v}_1-\frac{x_3\cdot v_2}{{\mathbf{v}}_2\cdot v_2}{v}_2$
$⋮$
${\mathbf{v}}_p={\mathbf{x}}_p-\frac{x_p\cdot {\mathbf{v}}_1}{{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_1}{\mathbf{v}}_1-\frac{{\mathbf{x}}_p\cdot {\mathbf{v}}_2}{{\mathbf{v}}_2\cdot {\mathbf{v}}_2}{\mathbf{v}}_2-\cdots -\frac{{\mathbf{x}}_p\cdot {\mathbf{v}}_{p-1}}{{\mathbf{v}}_{p-1}\cdot {\mathbf{v}}_{p-1}}{\mathbf{v}}_{p-1}$

那么{v₁,…v_p}是W的一个正交基，此外Span{v₁,…v_k} = Span{x₁,…x_k}，其中1<=k<=p

证明

单位化

对称矩阵不同特征值对应的特征向量之间互相正交，只对同一特征值下且不正交的特征向量进行正交化。

三 相似矩阵

题目中出现A、然后又有特征向量的，可能是凑AP=PB相似，又相似的强关联，秩，行列式都相等，得到B后可以得出A的很多性质

3.1 定义

​ 设A、B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，称矩阵A与矩阵B相似，记为A~B。

​ 若存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，其中B为对角矩阵，则称A可以相似对角化。

注意：

• 矩阵的k重λ没有k个不同的特征向量只能说明不能相似对角化，但它还是可以相似于另外一个也不能相似对角化的矩阵，即还是可相似于某个矩阵。

3.2 性质

相似是一种很强的关联性。若A~B，则有|A|=|B|。

​ 由此可得 A* + A^-1 ~ B* + B^-1 =P^-1A*P+P^-1A^-1P=P^-1(A*+A^-1)P（把B用A表示，然后提取因式转乘法）【只要在证明后面可逆矩阵P是相同的，则线性组合后仍然相似】。

A* + A^T 不一定相似 B* + B^T，除非(P^T)^-1 = P^-1 即P^T=P，是对称矩阵时成立或当A、B是对称矩阵时候，A+A^T = 2A。

矩阵相似必要条件

• 特征多项式相同，即$ |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}| $
• $ \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} $ 有相同的特征值
• 行列式相同 $ |\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=\prod_{i=1}^{n} \lambda_{i} $
• 矩阵之迹相同 $ \sum_{i=1}^{n} a_{i i}=\sum_{i=1}^{n} b_{i i}=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} $
• 矩阵之秩相同 $ r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B}) $

矩阵相似充要条件

• r(A)=r(B) 有n个线性无关的特征向量

• r(λE-A)=r(λE-B) 每个特征值对应的特征向量的个数相等

• 两个矩阵均可对角化且特征值相同

矩阵相似的充要条件

​ n阶矩阵与一个对角矩阵相似的充要条件是：A有n个线性无关的特征向量（可以通过缩放使得为对角矩阵）

3.3 判断

判断两个矩阵是否相似的步骤（看看符不符合必要条件，再找充要条件）

• 特征值、行列式（是否相等）
• 判断矩阵之迹 （是否相等）
• 判断矩阵之秩 （是否相等）【经过P^-1 P后矩阵的秩是不变的，若不等则必然不相似】
• 【补充，符合同一个P的组合均可】如：λE-A 相似 λE-B ， A* + A^-1 ~ B* + B^-1 等等
• 【充要条件】
  • r(A)=r(B) 有n个线性无关的特征向量
  • 出题点：r(λ_重E-A)与r(λ_重E-B) （是否都相等）【特征向量不一定要相等】
  • A、B均可对角化且特征值相同则必相似

例题

https://zhuanlan.zhihu.com/p/151231495

3.4 求法

根据特征多项式求出λ，$ |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}| $

由 $|\lambda E-A|X=0$，求出可逆阵P₁， $|\lambda E-B|X=0$，求出可逆阵P₂

根据 $P_1^{-1}A{P}_1=P_2^{-1}B{P}_2,P_2{P}_1^{-1}A{P}_1{P}_2^{-1}=B,(P_1{P}_2^{-1}{)}^{-1}A(P_1{P}_2^{-1})=B$

令 $P = P_1 P_2^{-1} $，即为所求

四 特殊矩阵

4.1 正交矩阵

背景

​ 旋转，几何度量是不变的。

定义

​ 若QQ^T = E则称Q为正交矩阵。

​ 行向量与列向量皆为正交的单位向量的矩阵称为正交矩阵。

性质

• Q^T = Q^-1
• |Q| = ±1
• Q的特征值λ=±1
• 正交变换 Y = QX（X、Y为向量），则|Y|=|X|
• Q = (β₁,…β_n)为正交矩阵的充要条件是(β₁,…β_n)为两两正交的规范向量组
• 利用不同特征值对应的特征向量之间正交，若已知几个α，可以求出另外一个特征向量。

证明

(3)$\because Ax=\lambda x(x\ne 0),(Ax{)}^{T}Ax=(\lambda x{)}^{T}Ax\therefore ({\lambda }^2-1)x^{T}x=0,\because x^{T}x\ge 0,\therefore |\lambda |=1$

(4)$ |Y|^{2}=Y{\top} Y=X^{\top} Q^{\top} Qx=X^{\top} X=|x|^{2} \Rightarrow|Y|=|X| $

注意：QQ^T = E ，可在矩阵乘法中插入。

4.2 实对称矩阵

定义

​ 每个元素均为实数的对称矩阵称为实对称矩阵，即A^T=A。

性质

• (A^TA)^T=A^TA，因此A^TA是对称阵

• 若A^T = A 则A一定可对角化

• 不同特征值的特征向量之间两两正交

• 对称矩阵的秩 == 非零特征值的个数

• k重特征值必有k个线性无关的特征向量 P=(α_i,…α_n)

• 实对称矩阵的λ一定是实数，且不同λ对应的特征向量两两正交

• AP=Pdiag{λ}，P由|λE-A|得到，r(A) = r(diag{λ})，r(λ_kE-A)=n-k

• 存在正交矩阵Q使得 Q^-1AQ = Q^TAQ = diag(λ_i)【对同一λ不同α进行Schimidt正交】

五 对角化理论

对角矩阵：除对角线外的元素均为0

5.1 定义

​ A为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P使得
P − 1 A P = ( λ 1 λ 2 ⋱ λ n ) \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left(\begin{array}{llll}\lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}\end{array}\right) P−1AP= ​λ1​​λ2​​⋱​λn​​ ​
则称矩阵A可相似对角化 或A可对角化(不说明一般指代相似对角化) 或A与对角矩阵相似。AP=Pλ

注意：AP=A(α_i,…α_n) = λ(α_i,…α_n)，证明α_i均为矩阵A的属于λ_i的特征向量。

5.2 性质

• 可存在λ=0的特征值，因此可对角化的矩阵A不一定满秩。且r(A)=r(diag(λ))。若r(A)=n且λ单根则必可对角化

• 特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数相同则可对角化。即r(λ_iE-A)=n-n_i （i为λ对应的重数）

• 若A不是实对称矩阵，则A对角化过程中不可对特征向量进行正交规范化。因为不同特征值对应的特征向量之间仅是无关，不是正交。

• P₁=PB，且B是根据同一特征值不同特征向量线性组合而成的，则AP₁ == diag(λ)P₁【同一特征值对应的特征向量线性组合后仍然是该特征值的特征向量】

5.3 判断

判断矩阵能否(相似)对角化

• 实对称矩阵可相似对角化

• 特征值与特征向量的关系

  • (充分条件) 若是n个单根特征值，则有n个线性无关的特征向量，即可对角化

  • (充要条件) 有n个线性无关的特征向量

  • (充要条件)(命题点)存在重根，若k重根对应k个线性无关的特征向量即r(λE-A)=n-k，则可对角化

• 利用与其相似的矩阵能否对角化从而进行判断

一般默认对角化为相似对角化

• 矩阵A对角化是指，存在可逆矩阵P,Q使得PAQ为对角矩阵。
• 矩阵A相似对角化是指，存在可逆矩阵P使得PAP^-1为对角矩阵。

例子:一个主对角线元素相同的若当矩阵，可以对角化，但无法相似对角化。

5.4 求法

求出使得A变为对角化矩阵的P矩阵

• 求出所有特征值
• 由(λE-A)X = 0得到特征向量，(α₁…α_m)==P （技巧：单根时秩<n,最后一行可写为0）
• 构成矩阵AP=diag(λ_i)P
• 若需正交，则使用斯密特正交化，再单位化

注意

• A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
• 当待对角化矩阵中部分已符合对角化时，可以仅计算余下的部分，然后合并即可。
• 若已知A相关的特征值，则根据特征值的性质，可以得出其他A矩阵的特征值及特征向量，完成对角化。？

综合题型

回顾一些性质：

• 对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交
• $tr(A)=\sum a_i=\sum {\lambda }_i，|A|=\prod {\lambda }_i$
• 有n个线性无关的特征向量，则k重根对应的 r(入E-A)=k
• |λE-A| = 0
• $|A+KE|=\prod ({\lambda }_i+K)$

求特征值(及向量)

常用方法：公式法，关联矩阵法(A*，A^-)

特征值的理解

内积的巧用

相似的使用

4. 相似矩阵特征值相同，也可以直接 A换成λ，直接得到方程式 ${\lambda }^3+{\lambda }^2-4\lambda -4=0$

性质运用

1. 基础性质

矩阵相似

思路：

2. 情形3

对角化

思路

1. 特征值为单值

矩阵的幂

特征值求矩阵

其他

参考文章

https://www.zhihu.com/question/21874816/answer/181864044文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-738938.html

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