【考研数学】概率论与数理统计 —— 第七章 | 参数估计（2，参数估计量的评价、正态总体的区间估计）-Toy模板网

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一、参数估计量的评价标准

1.1 无偏性

设 $X$ 为总体， $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本， $\theta$ 为未知参数，设 $\widehat{\theta}=\varphi(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 为参数 $\theta$ 的一个点估计量，若 $E(\widehat{\theta})=\theta$ ，称 $\widehat{\theta}$ 为参数 $\theta$ 的无偏估计量。

【例】 设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\begin{cases} 2x/\theta^2 & 0<x<\theta \\ 0 &else\end{cases}$ $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。

（1）求参数 $\theta$ 的矩估计量；（2）求参数 $\theta$ 的最大似然估计量；（3）矩估计量是否为无偏估计。

解：（1） $E(X)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx=2\theta/3$ ，令 $2\theta/3=\overline{X}$ ，则可得矩估计量 $\widehat{\theta}=\frac{3\overline{X}}{2}.$ （2）构造似然函数 $L(\theta)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)=\frac{2^n}{\theta^{2n}}x_1x_2\cdots x_n(0<x_i<\theta,i=1,2,\cdots,n).\\ \frac{d\ln L}{d\theta}=-\frac{2n}{\theta}<0.$ 可知 $L(\theta)$ 是 $\theta$ 的减函数，因此最大似然估计量 $\widehat{\theta}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ 。

（3） $E(\widehat{\theta})=3/2\cdot E(\overline{X})=3/2\cdot2\theta/3=\theta$ ，故是无偏估计量。

1.2 有效性

设 $X$ 为总体， $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本， $\theta$ 为未知参数，设 $\widehat{\theta}_1,\widehat{\theta}_2$ 都是参数 $\theta$ 的无偏估计量，若 $D(\widehat{\theta}_1)<D(\widehat{\theta}_2)$ ，称 $\widehat{\theta}_1$ 为更有效的参数估计量。

1.3 一致性

设 $X$ 为总体， $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本， $\theta$ 为未知参数，设 $\widehat{\theta}=\varphi(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 为参数 $\theta$ 的一个估计量，若对任意 $\epsilon>0$ ，有 $\lim_{n\to\infty}P\{|\widehat{\theta}-\theta|<\epsilon\}=1$ 称 $\widehat{\theta}$ 作为 $\theta$ 的估计量具有一致性（或相合性）。

二、一个正态总体参数的双侧区间估计

前面我们所学的两种方法为点估计法，即只能得到一个值，但实际上我们并非需要那么精确，况且点估计出来也不一定好，因此我们最好是估计一个区间范围。

2.1 对参数 μ \mu μ 的双侧区间估计

设 $\sim N(\mu,\sigma^2)$ 为总体， $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本， $0<\alpha<1$ ，求参数的置信度为 $1-\alpha$ 的双侧置信区间。

1. 参数 $\sigma^2$ 已知

对 $\overline{X}$ 标准化为标准正态分布，令其在 $-z_{\alpha\over 2}$ 和 $z_{\alpha\over 2}$ 内的概率为 $1-\alpha$ ，可求出置信区间为 $\bigg(\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha\over2},\overline{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha\over2}\bigg)$ 2. 参数 $\sigma^2$ 未知

则利用 $t$ 分布，即取 $\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1)$ 令其在 $(-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1))$ 的概率为 $1-\alpha$ ，可计算出置信区间为 $\bigg(\overline{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha\over2}(n-1),\overline{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha\over2}(n-1)\bigg)$ 此外还有对 $\sigma^2$ 的区间估计，汇总成下表：

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三、一个正态总体的单侧置信区间

其实单侧也就是双侧的区间取一端，如估计 $\mu$ 且 $\sigma^2$ 已知，单侧置信区间为： $\bigg(\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha\over2},+\infty\bigg),\bigg(-\infty,\overline{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha\over2}\bigg)$ 其余以此类推。