两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。
正惯性指数是矩阵正特征值个数，负惯性指数是矩阵负特征值个数。
即合同矩阵的充分必要条件是特征值的正负号个数相同。
证明：
本论证中的所有矩阵先假设为对称矩阵，但不限于对称矩阵。
根据定义，若矩阵A和矩阵B满足
B
=
P
T
A
P
(1.1)
B = P^T A P \tag{1.1}
B=PTAP(1.1)
则称A与B合同。
根据对称矩阵的性质，可以得出：
A
=
Q
T
Λ
Q
(1.2)
A = Q^T \Lambda Q \tag{1.2}
A=QTΛQ(1.2)
其中， Λ \Lambda Λ既可以是普通的对角矩阵（即标准型），也可以是规范型（即对角元素的绝对值为1）。
将（1.1）带入（1.2）可得：
B = P T Q T Λ Q P = ( Q P ) T Λ ( Q P ) (1.3) B =P^T Q^T \Lambda Q P =(QP) ^T \Lambda (Q P)\tag{1.3} B=PTQTΛQP=(QP)TΛ(QP)(1.3)
假设 （ Q P ） = R （Q P）= R （QP）=R，则（1.3）可化为
B = ( R ) T Λ ( R ) (1.4) B =(R) ^T \Lambda (R)\tag{1.4} B=(R)TΛ(R)(1.4)
假若对角矩阵 Λ \Lambda Λ是标准型，则 Λ \Lambda Λ一定可以利用矩阵乘法化为规范型矩阵。
从（1.2）和（1.4）可以得出，若A和B满足合同条件（1.1），等价于合同矩阵有相同的特征值（规范型），结论得证。
注意：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-739511.html
- 在对称矩阵中，合同跟相似是等价的，两者能够相互推导。但是在非对称矩阵中，合同和相似是不同的。
- 赫尔韦兹定理证明，可以参考对角线主子式的定义，以及特征值之积等于矩阵的行列式，这两点来证明。从第一阶主子式开始，依次递增的推论出第二个、第三个…第n个特征值的正负号。
还是要感谢万能的知乎。
关于赫尔韦兹定理的证明如下：https://zhuanlan.zhihu.com/p/652751194文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-739511.html
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