矩阵理论| 特殊矩阵：Hermite矩阵/共轭对称矩阵-Toy模板网

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Hermite矩阵

Hermite矩阵是复数域上的“对称矩阵”

Hermite矩阵性质

其性质与实对称矩阵基本一致：

实数特征值；
有一套正交的特征向量（各个特征子空间正交+代数重数=几何重数）

此外，Hermite矩阵也是复正定矩阵的前提（就如实数域中对称矩阵是正定矩阵的前提）：

$\boldsymbol{A}$ 为Hermite矩阵 $\iff$ 对于任意 $\bold x\in\mathbb C^n$ ，二次型 $\mathbf{x}^{H} \boldsymbol{A} \mathbf{x}$ 为实数，
即：“复Hermite正定矩阵”等价于“复正定矩阵”

还有以下性质：

对称/Hermite矩阵，一个非负的特征值 = 一个奇异值

判定Hermite矩阵的充要条件

矩阵 $\bold A$ 是Hermite矩阵，有如下几个充要条件（ $\iff$ ）：

原始定义： $\bold A=\bold A^H$
对于任意 $\bold x\in\mathbb C^n$ ，二次型 $\mathbf{x}^{H} \boldsymbol{A} \mathbf{x}$ 为实数
$\bold A$ 酉相似于实对角阵 $\bold {A=U^T}diag(\lambda_1,...,\lambda_n)\bold U$
$\bold A^H\bold A=\bold A^2$

证明：
①分析：这里使用SVD和Jordan标准型都不奏效，使用SVD $\Sigma V^{H}$ 可以简化 $A^{H} A=\left(V \Sigma U^{H}\right)\left(U \Sigma V^{H}\right)=V \Sigma^{2} V^{H}$ ，但无法简化矩阵幂 $A^{2}=U \Sigma V^{H} U \Sigma V^{H}$ ；Jordan标准型 $A=S J S^{-1}$ 可以简化矩阵幂 $A^{2}=S J^{2} S^{-1}$ ，但无法简化 $A^{H} A=\left(S^{-1}\right)^{H} J^{H} S^{H} S J S^{-1}$ ；
这里反映了一个问题：我们看待矩阵分解时，常常过度关注分解式所产生的简约形式，反而因此忽略了变换矩阵
这里合适的方法是，使用使用 Schur 定理将矩阵三角化，因为其左右变换矩阵都是酉矩阵，有助于化简
②证明：
根据 Schur 定理矩阵三角化，任意矩阵可以酉三角化为上三角矩阵 $A=U T U^{H}$ ，且 $T$ 的对角线上的元素为特征值 $\lambda_1,...,\lambda_n$
由于 $\bold A^H\bold A=\bold A^2$ ，而 $A^{2}=U T^{2} U^{H}$ ， $A^{H} A=U T^{H} U^{H} U T U^{H}=U T^{H} T U^{H}$
故有 $T^{2}=T^{H} T$ ，计算其对角元为 $\lambda_{j}^{2}=\left|\lambda_{j}\right|^{2}+\sum_{i<j}\left|t_{i j}\right|^{2}$ ，显然 $t_{i j}=0$ ， $\lambda_{j}$ 为实数
进而 $T=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)$ ，可以得到 $A^{*}=U^{*} T^{*} U=U^{*} T U=A$ ，证毕