离散数学-集合论-关系的概念、表示和运算（7）

离散数学-关系的概念、表示和运算

0前言

函数是x 到y 的映射，这种映射反就是一种关系。因为定义域x 是一个集合、值域y 也是一个集合所以函数就是一个<x, y> 有序对的集合。因此，我们可以通过二元关系来定义函数的概念，利用有序对的集合来表示函数。

1 有序对与笛卡尔积

1.1 有序对

定义： 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组称为 有序对 ，记作<x,y>。
性质: 1.当x≠y时， 有序性 <x,y>≠<y,x>；
2.<x,y>=<u,v>的充分必要条件是x=u且y=v。
例1 <x+2,4> = <5,2x+y>，求 x和 y.
解：由有序对相等的充要条件有：
$\{\begin{array}{l}x+2=5\\ 2x+y=4\end{array}$
解得：x=3,y=-2.

1.2 笛卡尔积

定义 设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作AXB， 即 A X B ={ <x,y> | x$\in$A $\wedge$ y$\in$B }
例2 A={a,b},B={0,1,2}则：
AXB={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}
BXA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}
例3 A={$\text{Ø}$},P(A)XA
P(A)={{$\text{Ø}$}}
P(A)XA={<$\text{Ø}$,$\text{Ø}$>,<{$\text{Ø}$},$\text{Ø}$>}

1.3 笛卡尔积得性质

(1)不满足交换律  AXB≠BXA (A≠B,A≠$\text{Ø}$,B≠$\text{Ø}$)
(2)不满足结合律  (AXB)XC≠AX(BXC) (A≠$\text{Ø}$,B≠$\text{Ø}$)
(3)对于并或交运算满足分配律  
  AX(B∪C)=(AXB)∪(AXC)
  (B∪C)XA=(BXA)∪(CXA)
  AX(B∩C)=(AXB)∩(AXC)
  (B∩C)XA=(BXA)∩(CXA)
(4)  A$\subseteq$C$\wedge$B$\subseteq$D$\Rightarrow$AXB$\subseteq$CXD

证明：
（1）由定义可得：AX$\text{Ø}$=$\text{Ø}$,$\text{Ø}$XA=$\text{Ø}$
设A=B
$\Rightarrow$A=$\text{Ø}$$\vee$B=$\text{Ø}$
可推出满足交换律
（2）当A=$\text{Ø}$$\vee$B=$\text{Ø}$$\vee$C=$\text{Ø}$时，结果等于$\text{Ø}$，满足结合律。
（3）任取<x,y>
    <x,y>∈AX(B∪C)
$\iff$x∈A$\wedge$y∈B∪C
$\iff$x∈A$\wedge$(y∈B$\vee$y∈C)
$\iff$(x∈A$\wedge$y∈B)$\vee$(x∈A$\wedge$y∈C)
$\iff$<x,y>∈AXB$\vee$<x,y>∈AXC
$\iff$<x,y>∈(AXB)∪(AXC)
所以有AX(B∪C)=(AXB)∪(AXC)

2 关系的定义

2.1 二元关系

定义 如果一个集合满足以下条件之一, 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R.
（1）集合非空, 且它的元素都是有序对
（2）集合是空集

如<x,y>∈R, 可记作 xRy；
实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}.
R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系。

2.2 A上的二元关系

定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上的二元关系.

例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3 是从 A 到 B的二元关系, R3 也是 A上的二元关系.

集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素个数，如果|A|=n, |A×A|=$n^2$, A×A的子集有 $2^{n^2}$个. 每一个子集代表一个A上的二元关系，所以 A上有$2^{n^2}$个不同的二元关系.
例如 |A|=3, 则 A上有$2^{3^2}$=512个不同的二元关系.
|A|=m,|B|=n则AXB的元素数|AXB|=mn,AXB有$2^m\cdot 2^n=2^{mn}$不同的二元关系。

2.3 关系的类型

空关系：设 A 为任意集合，空集$\text{Ø}$是 AXA的子集，称为空关系.
全域关系$E_A$：$E_A$={<x,y>|x∈A$\wedge$y∈A}=AXA
恒等关系$I_A$：$I_A$={<x,x>|x∈A}
小于等于关系$L_A$：$L_A$={<x,y>|x,y∈A$\wedge$x≤y},A$\subseteq$R,R为实数集
整除关系$D_A$：$D_A$={<x,y>|x,y∈B$\wedge$x整除y}，B$\subseteq$Z*,Z*为非0整数
包含关系$R_{\subseteq }$：$R_{\subseteq }$={<x,y>|x,y∈A$\wedge$x$\subseteq$y},A是集合族

例如, A={1,2}, 则
$E_A$={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
$I_A$={<1,1>,<2,2>}
例如A={1,2,3},B={a,b},则
$L_A$={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,< 3,3>}
$D_A$={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,< 3,3>}
A=P(B)={$\text{Ø}$，{a}，{b}，{a,b}}
$R_{\subseteq }$={<$\text{Ø}$,$\text{Ø}$>，<$\text{Ø}$,{a}>，<$\text{Ø}$,{b}>，<$\text{Ø}$,{a,b}>，<{a},{a}>，<{a},{a,b}>，<{b},{b}>，<{b},{a,b}>，<{a,b},{a,b}>}

2.4 关系表示

关系的表示方式有三种：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图。
关系集合表达式：A X B ={ <x,y> | x$\in$A $\wedge$ y$\in$B }
关系矩阵：若A={$a_1,a_2,a_3......a_m$},B={$b_1,b_2,b_3.......b_n$}R是从A到B的关系，R的关系是R={$<a_1,b_1>，<a_2,b_2>,.....,<a_m,b_n>$}矩阵是:

关系图： 若A= {$x_1,x_2,\dots ,x_m$}，R是从A上的关系，R的关系图是$G_R$=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集.如果<$x_i,x_j$>属于关系R，在图中就有一条从 $x_i$ 到 $x_j$的有向边.
注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系。
例如：A={1,2,3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},则R的关系矩阵和关系图。

3 关系的运算

3.1 定义域、 值域和 域,逆,复合

$domR$={$x|\exists y(<x,y>\in R)$}
$ranR$={$y|\exists y(<x,y>\in R)$}
$fldR=domR\cup ranR$
$R^{-1}$={$<x,y>|<x,y>\in R$}
$R\circ S$={$<x,z>|\exists y(<x,y>\in R\wedge <y,z>\in S)$}

例如：R={<1，2>，<1，3>，<2，4>，<4，3>}
$domR$={1，2，4}      每个有序对的第一个值
$ranR$={2，3，4}         每个有序对的第二个值
$fldR$={1,2,3,4}
$R^{-1}$={<2，1>，< 3，1>，<4，2>，< 3，4>}     有序对的第一个值和第二个值颠倒
设S={<2,5>,< 3,4>}
$R\circ S$={<1,5>,<1,4>,<4,4>}     即R中的<1,2>和S中的<2,5>复合可得<1,5>; <1,3><3,4 >复合<1,4>

3.2 限制与像
（1）R在A上的限制记作R$\upharpoonright$A，其中：R$\upharpoonright$A={<x,y>|xRy$\wedge$x∈A}
（2）A在R下的像记作R[A],其中R[A]=ran(R$\upharpoonright$A)
例如：R={<1,2>，<1，3>，<2，2>，<2，4>，< 3，2>}则
    R$\upharpoonright${1}={<1,2>,<1,3>}  x值为1的有序对
    R$\upharpoonright$$\text{Ø}$=$\text{Ø}$
    R$\upharpoonright${2,3}={<2,2>,<2,4>,< 3,2>}  x值为2或3的有序对
    R[{1}]=ran(R$\upharpoonright${1})={2,3}  R$\upharpoonright${1}中有序对的值域
    R[$\text{Ø}$]=$\text{Ø}$
    R[{3}]={2}  其中R$\upharpoonright${3}={< 3,2>}，结果为其值域

3.2 关系中的恒等式
$⧫$设$F$是任意的关系，则：
（1）($F^{-1}{)}^{-1}$=$F$
（2）$dom{F}^{-1}=ranF,ran{F}^{-1}=domF$
证：（1）任取<x,y>,由逆的定义有：
<x,y>∈$(F^{-1}{)}^{-1}$$\iff$<y,x>∈$F^{-1}$$\iff$<x,y>∈$F$
所以有($F^{-1}{)}^{-1}$=$F$。
（2）任取$x$
$x$∈$dom{F}^{-1}$$\iff$$\exists$y(<x,y>∈$F^{-1}$)$\iff$$\exists$y(<y,x>∈$F$)$\iff$$x\in ranF$
所以有$ran{F}^{-1}=domF$

$⧫$设$F,G,H$是任意的关系，则：
（3）$(F\circ G)\circ H$=$F\circ (G\circ H)$
（4）$(F\circ G{)}^{-1}$=$G^{-1}\circ F^{-1}$
证：（3）任取<x,y>,
    <x,y>∈$(F\circ G)\circ H$
$\iff$$\exists t(<x,t>\in F\circ G\wedge <t,y>\in H)$
$\iff$$\exists t(\exists s(<x,s>\in F\wedge <s,t>\in G)\wedge <t,y>\in H)$
$\iff$$\exists t\exists s(<x,s>\in F\wedge <s,t>\in G\wedge <t,y>\in H)$
$\iff$$\exists s(<x,s>\in F\wedge \exists t(<s,t>\in G\wedge <t,y>\in H)$
$\iff$$\exists s(<x,s>\in F\wedge <s,y>\in G\circ H)$
$\iff$<x,y>∈$F\circ (G\circ H)$
所以$(F\circ G)\circ H$=$F\circ (G\circ H)$
（4）任取<x,y>,
    <x,y>∈$(F\circ G{)}^{-1}$
$\iff$<y,x>∈$(F\circ G)$
$\iff$$\exists t(<y,t>\in F\wedge <t,x>\in G)$
$\iff$$\exists t(<x,t>\in G^{-1}\wedge <t,y>\in F^{-1})$
$\iff$<x,y>∈$G^{-1}\circ F^{-1}$
所以：$(F\circ G{)}^{-1}$=$G^{-1}\circ F^{-1}$

$⧫$设R为A上的关系则：
（5）$R\circ I_A$=$I_A\circ R$=$R$
证： 任取<x,y>
    <x,y>∈$R\circ I_A$
$\iff$$\exists t(<x,t>\in R\wedge <t,y>\in I_A)$
$\iff$$\exists t(<x,t>\in R\wedge t=y\wedge y\in A)$
$\iff$<x,y>∈$R$

$⧫$设$F,G,H$的任意关系，则：
（6）$F\circ (G\cup H)=F\circ G\cup F\circ H$
（7）$(G\cup H)\circ F=G\circ F\cup H\circ F$
（8）$F\circ (G\cap H)\subseteq F\circ G\cap F\circ H$
（9）$(G\cap H)\circ F\subseteq G\circ F\cap H\circ F$
证： （8）任取<x,y>,
    <x,y>∈$F\circ (G\cap H)$
$\iff$$\exists t(<x,t>\in F\wedge <t,y>\in G\cap H)$
$\iff$$\exists t(<x,t>\in F\wedge <t,y>\in G\wedge <t,y>\in H)$
$\iff$$\exists t((<x,t>\in F\wedge <t,y>\in G)\wedge (<x,t>\in F\wedge <t,y>\in H))$
$\iff$$\exists t(<x,t>\in F\wedge <t,y>\in G)\wedge \exists t(<x,t>\in F\wedge <t,y>\in H)$
$\iff$<x,y>∈$F\circ G\wedge <x,y>\in F\circ H$
$\iff$<x,y>∈$F\circ G\cap F\circ H$
所以有$F\circ (G\cap H)\subseteq F\circ G\cap F\circ H$

$⧫$设F为关系，A,B为集合，则：
（10）F$\upharpoonright$(A∪B)=F$\upharpoonright$A∪F$\upharpoonright$B
（11）F[A∪B]=F[A]∪F[B]
（12）F$\upharpoonright$(A∩B)=F$\upharpoonright$A∩F$\upharpoonright$B
（13）F[A∩B]=F[A]∩F[B]
证：（11）任取<x,y>
    <x,y>∈F$\upharpoonright$(A∪B)
$\iff$<x,y>∈$F\wedge x\in A\cup B$
$\iff$<x,y>∈$F\wedge (x\in A\vee x\in B)$
$\iff$(<x,y>∈$F\wedge x\in A)\vee$$(<x,y>\in F\wedge x\in B)$
$\iff$(<x,y>∈F$\upharpoonright$A)$\vee$(<x,y>∈F$\upharpoonright$B)
$\iff$(<x,y>∈F$\upharpoonright$A∪F$\upharpoonright$B
所以有F$\upharpoonright$(A∪B)=F$\upharpoonright$A∪F$\upharpoonright$B
（13）任取y,
    y∈F[A∩B]
$\iff$$\exists x(<x,y>\in F\wedge x\in A\cap B)$
$\iff$$\exists x(<x,y>\in F\wedge x\in A\wedge x\in B)$
$\iff$$\exists x((<x,y>\in F\wedge x\in A)\wedge$$(<x,y>\in F\wedge x\in B))$
$\iff$$\exists x((<x,y>\in F\wedge x\in A)\wedge$$\exists x(<x,y>\in F\wedge x\in B))$
$\iff$y∈F[A]$\wedge$y∈F[B]
$\iff$y∈F[A]∩F[B]
所以有F[A∩B]=F[A]∩F[B]

3.3 关系的幂运算
定义：
设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：
（1）$R^0$={<x,x>|x∈A}=$I_A$
（2）$R^{n+1}$=$R^n\circ R$
注意：
对于A上的任何关系$R_1$和$R_2$都有$R_1^0=R_2^0=I_A$
对于A上的任何关系R都有$R^1=R^0\circ R=I_A\circ R=R$

例如，设A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},求R的各次幂，分别用关系矩阵和关系图表示。
解：R的关系矩阵为：
M = [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] M= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M= ​0100​1000​0100​0010​ ​
则$R^2,R^3,R^4$的关系矩阵分别是:
M 2 = [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] = [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] M^2= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M2= ​0100​1000​0100​0010​ ​ ​0100​1000​0100​0010​ ​= ​1000​0100​1000​0100​ ​
M 3 = M 2 M = [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] = [ 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] M^3=M^2M= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M3=M2M= ​1000​0100​1000​0100​ ​ ​0100​1000​0100​0010​ ​= ​0100​1000​0100​1000​ ​
M 4 = M 3 M = [ 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] = [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] M^4=M^3M= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M4=M3M= ​0100​1000​0100​1000​ ​ ​0100​1000​0100​0010​ ​= ​1000​0100​1000​0100​ ​
因此$M^4=M^2$,即$R^4=R^2$，由此可以得到：
$R2=R4=R6=\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
$R3=R5=R7=\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
而R^0,即IA的关系矩阵是
M 0 = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] M^0= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} M0= ​1000​0100​0010​0001​ ​
用关系图的方法得到$R^0,R^1,R^2,R^3$等的关系图。

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• 设A为n元集，R是A上的关系，则存在自然数s和t，使得$R^s=R^t$
• 设R是A上的关系，m,n∈N，则
  $R^m\circ R^n=R^{m+n}$
  $(R^m{)}^n=R^{mn}$

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