题目
1049. 最后一块石头的重量 II
中等
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有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
- 如果
x == y，那么两块石头都会被完全粉碎； - 如果
x != y，那么重量为x的石头将会完全粉碎，而重量为y的石头新重量为y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。
示例 1：
输入：stones = [2,7,4,1,8,1] 输出：1 解释： 组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]， 组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]， 组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]， 组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
示例 2：
输入：stones = [31,26,33,21,40] 输出：5
提示：
1 <= stones.length <= 301 <= stones[i] <= 100
思路和解题方法
使用了 0-1 背包问题的思想，通过动态规划的方式求解。
具体思路如下：
- 首先，计算所有石头的总重量
sum。- 然后，将问题转化为将石头分成两堆，使得两堆的重量尽可能接近
sum/2。- 创建一个大小为
15001的动态规划数组dp，用于记录容量为j的背包所能装载的最大重量。- 使用双重循环遍历石头数组
stones和背包容量j，进行动态规划的状态转移。- 在每次状态转移时，比较当前背包容量
j能够装载的最大重量dp[j]和将当前石头放入背包后所能得到的重量dp[j - stones[i]] + stones[i]，取较大值更新dp[j]。- 最后，返回两堆石头的重量差值，即
sum - dp[target] - dp[target]。
复杂度
时间复杂度:
O(n*m)
时间复杂度为 O(n * m)。
其中 n 是石头的数量，m 是石头总重量的一半。这是因为代码中使用了两层循环，外层循环遍历石头数组，内层循环遍历背包容量。对于每个背包容量，都需要进行一次状态转移操作，因此总共需要进行 n * m 次状态转移。
空间复杂度
O(m)
空间复杂度为 O(m)。
其中 m 是石头总重量的一半。这是因为代码中创建了一个大小为 15001 的动态规划数组
dp，用于记录不同背包容量下的最大重量。由于背包容量的最大值为石头总重量的一半，因此数组dp的大小为 m+1，即 15001。因此，所需的额外空间随着石头总重量的增加而增加，但是与石头的数量无关。需要注意的是，代码中使用了一个固定大小的动态规划数组
dp，这是因为题目给定了石头的最大数量为 30，每块石头的重量最大为 100。根据题目的限制条件，可以确定石头总重量的上限为 3000，因此背包容量的上限为 1500。为了保证数组dp能够覆盖所有可能的背包容量，将其大小设置为 15001。如果题目的限制条件发生变化，可能需要调整数组dp的大小以适应新的情况。
c++ 代码
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
vector<int> dp(15001, 0); // 创建一个大小为 15001 的动态规划数组 dp，初始值都为 0
int sum = 0; // 计算所有石头的总重量
for (int i = 0; i < stones.size(); i++) {
sum += stones[i];
}
int target = sum / 2; // 目标是将石头分为两堆，使得两堆的重量尽可能接近 sum/2
for (int i = 0; i < stones.size(); i++) {
for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
// 动态规划的核心逻辑
// dp[j] 表示容量为 j 的背包所能装载的最大重量
// dp[j-stones[i]]+stones[i] 表示将当前石头放入容量为 j 的背包中所能得到的重量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
return sum - dp[target] - dp[target]; // 返回两堆石头的重量差值
}
简洁写法(使用库函数做加法)
class Solution {
public:
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
vector<int> dp(15001,0);
int sum = accumulate(stones.begin(), stones.end(), 0);
int target = sum/2;
for(int i = 0;i<stones.size();i++)
for(int j = target;j>=stones[i];j--)
dp[j] = max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
return sum - dp[target] - dp[target];
}
};
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