数学概率 | 旋转矩阵、欧拉角、四元数

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目录

一,旋转矩阵

二维旋转矩阵

三维旋转矩阵

二,欧拉角

三,四元数

四,矩阵、欧拉角、四元数相互转换

四元数转矩阵

矩阵转四元数

欧拉角转矩阵

矩阵转欧拉角

欧拉角转四元数

四元数转欧拉角


一,旋转矩阵

二维旋转矩阵

R() = 

推导,以二维平面为例旋转:

  •  = cos( + ) = coscos - sinsin =  cos * x - sin * y 
  •  = sin( + ) = sincos + cossin = sin * x + cos * y

( , ) = (x , y) *   =(cos * x - sin * y ,sin * x + cos * y)

数学概率 | 旋转矩阵、欧拉角、四元数,数学,数学

//Houdini vex 验证
matrix2 m = ch2('m');
vector2 p = set(@P.x, @P.y);
p *= m;

@P.x = p.x;
@P.y = p.y;

三维旋转矩阵

() = 

 () = 

 () = 

参考二维推导,如绕z轴旋转:

 ( , ,z) = (x , y , z) *  = (cos * x - sin * y ,sin * x + cos * y , z)

注,已经过Houdini vex 验证;

二,欧拉角

        欧拉角(Euler Angle),由著名数学家莱昂哈德·欧拉(1707-1783)提出,旨在用三个角度来表示刚体在三维空间的旋转,自身有一些局限性;

  • 在坐标系中描述物体姿态的三个角,依据绕x轴Roll,绕y轴Pitch、绕z轴Yaw的三个角度旋转可还原描述的姿态;

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由两种旋转方式(静态、动态,这两种方式的所获得的旋转矩阵转是一样的:

  • 绕固定(参考)坐标轴旋转(静态),绕自身坐标轴旋转(动态),旋转轴会发生变化,按照不同的旋转轴顺序,所获欧拉角也不同;
  • 如在VEX中,绕固定(参考)坐标轴X-Y-Z旋转角度对应 (α,β,γ) ,旋转矩阵为(注意坐标轴顺序):

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注,已经过Houdini vex 验证(使用上述旋转矩阵或transfrom节点),默认计算旋转顺序为XYZ,则其他实际顺序结果如下:

  • 旋转顺序XYZ,其过程为先绕X轴(世界坐标轴),在绕Y轴(世界坐标轴),在绕Z轴(世界坐标轴);
  • 旋转顺序XZY,其过程为先绕X轴(世界坐标轴),在绕Z轴(世界坐标轴),在绕特定轴(世界坐标轴);
  • 旋转顺序YXZ,其过程为先绕Y轴(世界坐标轴),在绕X轴(局部坐标轴),在绕Z轴(世界坐标轴);
  • 旋转顺序YZX,其过程为先绕Y轴(世界坐标轴),在绕Z轴(世界坐标轴),在绕X轴(局部坐标轴);
  • 旋转顺序ZXY,其过程为先绕Z轴(世界坐标轴),在绕X轴(局部坐标轴),在绕特定轴(世界坐标轴);
  • 旋转顺序ZYX,其过程为先绕Z轴(世界坐标轴),在绕Y轴(局部坐标轴),在绕X轴(局部坐标轴);

如欧拉角在俯仰角出现±90°,会出现万向锁现象,是欧拉角表征姿态的一个固有缺陷;

在进行姿态解算时往往会优先使用四元数方法进行描述;

三,四元数

        四元数是由爱尔兰数学家Hamilton发明的,由1个实数加上3个复数组合而成,通常可以表示成 w + xi + yj + zk 或者(w,(x,y,z)),其中w、x、y、z都是实数;

对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转:

  • i,旋转代表Y轴与Z轴相交平面中,Y轴正向向Z轴正向的旋转(数学概率 | 旋转矩阵、欧拉角、四元数,数学,数学);
  • j,旋转代表Z轴与X轴相交平面中,Z轴正向向X轴正向的旋转(数学概率 | 旋转矩阵、欧拉角、四元数,数学,数学);
  • k,旋转代表X轴与Y轴相交平面中,X轴正向向Y轴正向的旋转(数学概率 | 旋转矩阵、欧拉角、四元数,数学,数学);
  • -i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转;

q = w + xi + yj + zk

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如绕某向量 K=(, , ) 旋转,则四元数为:

  • (x,y,z)  =  (, , ) *   
  • w =   
  • 且满足条件:+++=1

注,已经过Houdini vex 验证,在vex内四元数为((x,y,z),w);

四,欧拉角与四元数比较

欧拉角

  • 单轴旋转,两轴旋转,使用欧拉角,不必使用四元数;;
  • 需考虑旋转顺序;
  • 万向锁及奇怪的插值;

四元数

  • 三轴旋转,使用四元数;
  • 无万向锁或变化轴问题(gimbal lock/changing axes )
  • 插值即平滑且有方向,一致可预测;
  • 计算简单;

五,矩阵、欧拉角、四元数相互转换

四元数转矩阵

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矩阵转四元数

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欧拉角转矩阵

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矩阵转欧拉角

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欧拉角转四元数

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四元数转欧拉角

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注:文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-742126.html

  • 欧拉角,直观易理解,存在万向锁问题;
  • 旋转矩阵,不直观,计算复杂(尤其求微积分时);
  • 四元数,不直观,但无奇点,能表征任何旋转关系,且表示简单,只有四个元素,计算量小;

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