Those who do not remember the past are condemned to repeat it.
那些不能铭记历史的人注定要重蹈覆辙。
在动态规划——经典案例分析中我们提到了斐波那契数列的求解思路。知道动态规划的主要优点是能够在解决问题时避免重复计算,通过利用已经计算过的结果来加速求解过程。
斐波那契数列的递归操作是怎么完成的,使用动态规划帮我们节省了哪些重复的计算?
这些问题是本文所要研究和探讨的内容。
斐波那契数列是一个经典的数学问题,定义如下:
- F(0) = 0, F(1) = 1
- F(n) = F(n-1) + F(n-2),其中 n > 1
如果采用递归进行求解的话,代码如下
long fib(int n){
if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
return fib(n-1) + fib(n-2);
}
此时算法的时间复杂度为 F ( n ) = Θ ( ϕ n ) F(n)= \Theta(\phi^n) F(n)=Θ(ϕn),其中 ϕ = 5 + 1 2 ≈ 1.618 \phi=\frac{\sqrt{5}+1 }{2} \approx1.618 ϕ=25+1≈1.618
以 fib(7)
作为例子,分析它的的递归调用树
可以看到存在比较多的重复计算, 其中 fib(2)
重复计算了 8 次; fib(3)
重复计算了 5 次。但我们没有必要重复计算
F
k
F_k
Fk 的值如果已经计算出
F
k
F_k
Fk 的值,不妨存储下来,下次需要的时候直接使用。可以形象地称中间计算结果的存储空间为 备忘录 。
#define UNKNOWN -1
std::vector<long> f;
long fib_m(int n) {
if (f[n] == UNKNOWN)
f[n] = fib_m(n - 1) + fib_m(n - 2);
return f[n];
}
long fib_m_driver(int n) {
f = std::vector<long>(n + 1,UNKNOWN);
f[0] = 0; f[1] = 1;
return fib_m(n);
}
通过引入 备忘录 空间 f [ n ] f[n] f[n] ,我们可以将递归的很多重复计算支点消除。此时算法的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n) ;空间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。
走到这一步其实还存在优化空间,对于每一个 fib(n)
,我们其实只需要知道 fib(n-1)
和 fib(n-2)
的值,所以无需保存fib(0)
至fib(n-3)
的值。所以空间复杂度可以进一步减少到
O
(
1
)
O(1)
O(1)文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-744860.html
long fib_o(int n) {
long prev = 1, curr = 0, next;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
next = curr + prev;
prev = curr;
curr = next;
}
return curr;
}
这是自底向上的主动填充 备忘录 。这一步需要根据递归关系决定如何填充 备忘录 。通过自底向上填写 备忘录 ,我们消除了递归调用的时空开销。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-744860.html
小结
- 动机:在递归求解的过程中重复求解子问题
- 策略: 通过空间换时间,将子问题的解存储下来,避免重复计算
- 空间: 子问题的数量
- 子问题的数量由子问题的参数决定
斐波那契数的子问题只有一个参数且O i< n
- 动态规划关键: 找到正确且高效的递归关系
- 求解方式
- 自顶向下: 被动填充备忘录,递归调用决定备忘录的填充顺序
- 自底向上: 主动填充备忘录,需要根据递归关系决定如何填充备忘录
自底向上没有递归调用的时空开销
到了这里,关于动态规划:“以宇换宙”的优雅工艺的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!